2025年九年级中考数学二轮专题：“隐圆”类问题与练习

专题五、“隐圆”类问题 中考几何隐圆模型知识与概念总结 隐圆模型是中考几何中一类重要题型，题目中不直接给出圆，但需通过构造辅助圆或利用圆的性质解题。掌握隐圆模型能帮助快速识别几何关系，简化计算。 一、常见隐圆模型及核心知识点 1. 定点定长模型（圆的定义） 概念：到定点距离等于定长的点的轨迹是圆。 核心：若题目中存在动点到某定点距离恒定，则可构造以定点为圆心、定长为半径的圆。 2. 定弦定角模型 概念：若一条固定长度的弦所对的角为定角，则该角的顶点轨迹为圆（弦的两端点外）。 核心： · 定角为锐角时，轨迹为优弧；定角为钝角时，轨迹为劣弧。 · 圆心角 圆周角，半径可用正弦定理计算：。 3. 四点共圆模型 概念：若四边形对角互补，或某边同侧两角相等，则四点共圆。 核心性质： · 对角互补：。 · 同弦等角：（共弦 ）。 4. 直角三角形的隐圆（直径所对圆周角） 概念：直角三角形斜边为圆的直径，直角顶点在圆上。 核心：若 ，则 在以 为直径的圆上。 5. 动点轨迹隐圆（旋转或对称变换） 概念：通过旋转全等、对称性等变换，发现动点轨迹为圆。 核心：旋转角固定时，动点轨迹可能是圆。 二、隐圆模型解题步骤 1. 识别条件：寻找定角、定长、垂直、对称等隐含圆的信息。 1. 构造辅助圆：根据条件确定圆心和半径。 1. 应用圆的性质：利用圆周角定理、垂径定理等简化问题。 1. 结合几何变换：如旋转、反射，寻找轨迹或最值。 三、注意事项 · 隐圆常与最值问题结合（如点到圆上点的最大/最小距离）。 · 动态问题中注意轨迹是否为完整圆，可能需排除特殊点。 · 坐标系中可联立方程求圆与直线的交点。 通过掌握隐圆模型，能快速转化复杂几何问题，提升解题效率。建议结合图形理解，强化对圆的性质的应用。 典型题目： 1．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 3．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ． 5．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为 ． 6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ． 7．阅读下列材料，回答问题. 材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”.解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变.从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值. 解决问题： （1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件____________时，有最小值为____________. （2）如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到的距离最小值为__________. （3）如图③，，P、Q分别是射线、上两个动点，C是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由. （4）如图④，在矩形中，，，点E是中点，点F是上一点，把沿着翻折，点B落在点处，求的最小值，并说明理由. （5）如图⑤，在中，，，，以边中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由. 8．如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．    （1）求证：AE=CF； （2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长． （3）求线段OF长的最小值． 9．如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值． 10．如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 参考答案 1．A 【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 2．D 【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， 取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， 点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P， 当点O、点P、点C三点共线时，PC最小 在中， ，，， ， 最小值为 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 3．D 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 4． 【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝AC＝1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大． 【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T． ∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∵AO＝OC＝1， ∴OE＝AC＝1， ∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大， ∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线， ∴FC＝FE， ∴∠FCE＝∠FEC， ∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°， ∴∠CAE＝∠FCE， ∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°， ∴∠FEC＝∠EAT， ∴∠CAE＝∠EAT＝30°， ∵CF＝FE，OC＝OE， ∴OF⊥EC， ∵AD⊥CE， ∵OF∥AD， ∴∠COF＝∠CAD＝30°， ∴CF＝OC•tan30°＝， ∴CF的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大． 5． 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，AC最大，根据中点坐标公式可得结论． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2， ∴C在⊙B上，且半径为2， ∴当C在AB的延长线上时，AC最大， 过点C作CD⊥x轴， ∵点，的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵CD⊥x轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， 解得：， ∴C点的纵坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点的纵坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时点C的位置是解题的关键． 6． 【分析】首先根据运动特点分析出点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，然后分点恰好落在边上和点恰好落在边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下的长度，从而得出结论． 【详解】解：∵点B与关于DE对称， ∴，则点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上， ①如图所示，当点恰好落在边上时，此时，连接和， 由题意及“三线合一”知，，， ∴在中，， 此时，根据对称的性质，， ∴由等面积法，， ∴， 在中，； ②如图所示，当点恰好落在边上时，连接、、和， 由题意，， ∴，， ∴， 即：， ∴， 即：， ∵点B与关于DE对称， ∴，， ∴， ∴，， 由对称的性质，， ∴， ∴， ∴， 即：此时点为的中点， ∴此时，， 综上，长的范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键． 7．（1）A，B，O在一条直线上（或）；2；（2）2；（3），见解析；（4），见解析；（5）1，见解析. 【分析】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，这时A，B，O在一条直线上； （2）作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出AD的长度，用AD的长度减去半径即为圆上动点P到的距离最小值； （3）根据点C与点O之间的距离永远不变说明点C的运动轨迹为圆，利用弧长公式求路径长即可； （4）先根据EB为定值，确定点B’的运动轨迹，然后当D,B’,E三点共线时，DB’最小，利用勾股定理求出DE的长度，再减去半径即可； （5）过O点作，利用三角形中线的性质得出OP,OQ 的长度，从而求出PQ的最小值. 【详解】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，有最小值为3-1=2此时A，B，O在一条直线上（或）；   （2）如图，作AD⊥BC于点D ∵ 由勾股定理得 点P到的距离最小值为 （3）如图，连接， ∵，C是中点，，∴所以C是以O为圆心，半径为2的圆上，所以 （4）如图，连接DE 因为点E是定点，，所以的轨迹为以E为圆心，2为半径的圆上.，∴的最小值为 （5）如图，过O点作，交圆O于点Q， 由三角形中线的性质得，，所以最小值为1 【点睛】本题主要考查根据材料求最小距离，找到动点的运动轨迹是解题的关键. 8．（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明△ADE≌△CDF，即可得到AE＝CF； （2）先利用，求得长，再利用，求得，然后设PF=x利用勾股定理求得x的值，即可求得OF的长； （3）本题考查了利用三角形全等转化的思想解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，由旋转得：，， 四边形是正方形， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图2，过作的垂线，交的延长线于， 是的中点，且， ，，三点共线， ， 由勾股定理得：， ， ， 由（1）知：， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 或（舍， ，， 由勾股定理得：， （3）解：如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动， 延长到点，使得，连接， ，， ， ， 当最小时，为、、三点共线， ， ， 的最小值是．    【点睛】本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识，解题关键是注意构造辅助线进行解答. 9． 【分析】由题意易得∠PEC=∠PDC=90°，所以P、D、C、E四点共圆，又因为∠EOD=120°，所以当直径最小时，弦DE的值最小． 【详解】解：∵PD⊥BC，PE⊥AC， ∴∠PEC=∠PDC=90°， ∴四边形PDCE对角互补， ∴P、D、C、E四点共圆，如图2． ∴∠EOD=2∠ECD=120°， 要使得DE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC最小，则当CP⊥AB时，PC最短， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键． 10．(1)见解析 (2)2或 (3)135；；45； 【分析】（1）由旋转可得，，进而得到，从而证明，根据全等三角形的对应边线段得证结论； （2）分点P在的上方或下方两种情况求解即可； （3）连接，由得到，从而点D在以点A为圆心，半径为的圆上．当点D在的延长线上时，有最大值，最大值为，根据，可求得．当点D在线段上时，有最小值，最小值为，根据，可求得． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在的上方，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接 由①得，， ∵， ∴， ∴点B，P，D在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为2或． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上． 如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时， ∵， ∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值， 最小值为， 此时． 故答案为：135；；45； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$