21.3 实际问题与一元二次方程-同步训练2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 一、选择题： 1.据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，已知进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为  （    ） A、1280+1280(1+x)+1280(1+x)2＝6080 B、6080(1+x)+6080(1-x)2＝1280   C、1280(1+x)2＝6080 D、6080(1-x)2＝1280 2.某商品连续两次涨价，由每件元涨为每件元，平均每次上涨的百分比为(    ) A. B. C. D. 3.病毒是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播．在某市人群密集区，因缺乏必要的预防措施，该病毒零号病人一天能传染人，统计得到在两天共有人因此患病，求平均每天一人传染了多少人．根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 4.某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了场，共有多少支队伍参加比赛？(    ) A. B. C. D. 5.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株设每盆多植株，则可以列出的方程是(    ) A. B. C. D. 6.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利万元，已知月份和月份利润的月增长率相同．设，月份利润的月增长率为，那么满足的方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为(    ) A. B. C. D. 8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车月份的售价为万元，月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，可列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有人下单购买某款老陈醋，小时后购买人数达到，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程______． 10.某种文化衫平均每天销售件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可以多售出件如果每天要盈利元，请问每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为______． 11.要为一幅长，宽的照片配一个相框相框不遮挡照片，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度应是多少厘米？设相框边的宽度是，则列出的方程应为          ． 12.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，则该群一共有______人． 13.数学趣题解答：阿拉伯数学著作算术之钥书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了个石榴，第二个人摘了个石榴，第三个人摘了个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到个石榴，问这群人共有多少______人？” 14.在人群较多的场所，信息传播会很快，一居委会人同时得知一则喜讯，经过两轮传递后使得共有人的居民小区的知晓率达到，那么每轮传递中平均一人传递了          个人． 三、解答题： 15. 某村年的人均收入为元，年的人均收入为元 求年到年该村人均收入的年平均增长率； 假设年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测年该村的人均收入是多少元？ 16. 根据下列问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： 个完全相同的正方形的面积之和是，求正方形的边长． 一个长方形的长比宽多，面积是，求长方形的长． 把长为的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长． 17. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为米，宽为米，若停车位总占地面积为平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 18.阅读下面的材料并完成解答． 田亩比类乘除捷法是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽之和为步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：    将四个完全相同的面积为平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______步； 中间小正方形的面积为______平方步； 若设矩形田地的宽为步，则小正方形的面积可用含的代数式表示为______； 由可得关于的方程______，进而解得矩形田地的宽为步． 19.燕几即宴几是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．下图给出了燕几图中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？ 20.某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出已知产品的销售单价比产品的销售单价高元，件产品与件产品售价和为元． 、两种产品的销售单价分别是多少元？ 随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加，求的值． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键． 根据已知假设每盆花苗增加株，分别用表示出每盆花苗株数、平均单株盈利，从而列出方程即可． 【解答】 解：设每盆应该多植株，由题意得 ， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用，理解题意列方程关键是找到等量关系． 等量关系为：一月份利润一月份的利润增长率一月份的利润增长率，把相关数值代入计算即可 【解答】 解：设，月份利润的月增长率为，由题意得 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：根据题意得：． 故选：． 首先根据月份售价为万元，月平均降价率是可得出月份的售价为万元，月份的售价为万元，据此根据月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：直播刚开始，就有人下单购买某款老陈醋，且每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为， 第小时有人购买，第小时有人购买． 根据题意得：． 故答案为：． 利用直播刚开始时购买人数及每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率，可得出第小时有人购买，第小时有人购买，结合小时后购买人数达到，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设每件降价元，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件； 可列方程为：． 故答案为：． 设每件降价元，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件，根据每天要盈利元，即可列出方程． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是要弄清题意，利用销售问题中的基本数量关系解决问题． 11.【答案】  12.【答案】  【解析】解：设该群一共有人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 解得：，舍去． 故答案为：． 设该群一共有人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到个红包，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：设这群人共有人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去，， 这群人共有人． 故答案为：． 设这群人共有人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到个石榴”，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14.【答案】  15.【答案】解：设年到年该村人均收入的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：年到年该村人均收入的年平均增长率为． 元． 答：预测年该村的人均收入是元．  【解析】设年到年该村人均收入的年平均增长率为，根据某村年的人均收入为元，年的人均收入为元，即可得出关于的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； 由年该村的人均收入年该村的人均收入年平均增长率，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据数量关系，列式计算． 16.【答案】【小题】 ，化成一般形式为 【小题】 ，化成一般形式为 【小题】 ，化成一般形式为 17.【答案】解：设车道宽度为米． 根据题意，得． 整理，得． 解得，不符合题意，舍去． 答：车道的宽为米．   【解析】设车道宽度为米，根据停车位总占地面积为平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18.【答案】解：由图可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成， 长与宽之和为步， 正方形的边长为步， 故答案为：； 大正方形的面积为平方步，四个矩形的总面积为平方步， 中间小正方形的面积为 平方步， 故答案为：； 设矩形田地的宽为步，则长为步， 小正方形的边长为 步， 小正方形的面积为， 故答案为：； 由题意可得，， 故答案为：．   【解析】本题考查列代数式、列一元二次方程，理解题意，根据求小正方形的面积列代数式是解题的关键． 根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解； 先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解； 设矩形田地的宽为步，则长为步，从而可得小正方形的边长为步，再利用正方形的面积公式即可求解； 由求得小正方形的面积相等即可得出方程． 19.【答案】解：设每张桌面的宽为尺． 根据图形，可得小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺． 故可得， 解得：，舍去． ． 答：长桌的长为尺．   【解析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键． 设每张桌面的宽为尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解． 20.【答案】解：设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元， 依题意得， 解得， ， 答：产品的销售单价为元，产品的销售单价为元 设去年每个车间生产产品的数量为件， 依题意得， 设，则原方程可化简为， 解得，不合题意，舍去， ， 答：的值为．  【解析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用． 设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元，根据件产品与件产品售价和为元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 设去年每个车间生产产品的数量为件，根据总销售额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$