精品解析：湖南省 岳阳市弘毅新华中学2024—2025学年下学期入学考试九年级数学试题

弘毅新华中学2025年上学期九年级入学考试试卷数学 （时量：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个答案．每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，根据三视图可知这个立体图形的名称为（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 长方体 4. 大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）． A. B. C. D. 5. 对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴是x＝2 C. 当x＞1时，y随x增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 6. 如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则线段的值为（ ） A B. C. D. 7. 如图，是的直径，弦交于点,，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（ ） A. 6 B. C. D. 10. 已知二次函数和，令，则下列说法正确是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_______． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 13. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是______． 14. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 15. 如图，的顶点在正方形网格的交点上，则的值为_______． 16. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为______． 17. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为____________里． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中始终保持，则的最大值是_______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程和计算： （1）； （2）． 20. 如图在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图象的任意一点，若，求点P的坐标． 21. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由： （2）若，，求阴影部分的面积． 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则___________； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； 23. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 24. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． （1）求拋物线的解析式； （2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘毅新华中学2025年上学期九年级入学考试试卷数学 （时量：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个答案．每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的图象性质，解题关键是掌握抛物线的图象性质． 根据抛物线顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2. 若，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：C． 3. 如图，根据三视图可知这个立体图形的名称为（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，掌握常见几何体的三视图特征是解题关键． 根据圆锥的三视图特征判断即可． 【详解】解：由图形可得：其主视图和俯视图为三角形，左视图为圆，符合圆锥的三视图特征， 故选：A． 4. 大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．由黄金分割且知：，，由此可求得的长． 【详解】解：为的黄金分割点，且， ， 即， ， 故选：D 5. 对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴是x＝2 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】A．a=﹣1＜0，故抛物线开口向下，故错误； B．函数对称轴x1，故错误； C．当x＞1时，y随x的增大而减小，正确； D．△=b2﹣4ac=4﹣4×4=﹣12＜0，图象与x轴无交点，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的基本性质，是一道基本题，难度不大． 6. 如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则线段的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，得到答案． 本题考查了位似变换、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴与相似比为， ． 故选：A． 7. 如图，是的直径，弦交于点,，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角是直角，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 连接，得到，，根据三角形内角和定理得到，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 是的直径， ， 故选：C． 8. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数—坡度问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．过点作，垂足为，根据题意可得，，设，则，由勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意得：，， 设，则， 由勾股定理， 得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：D． 9. 如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定，掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定是解本题的关键． 取上一点为，连接，，，利用圆周角定理得到，再根据切线的性质得出，进而证得，即可解出． 【详解】解：取上一点为，连接，，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 故选：A． 10. 已知二次函数和，令，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出两个函数图象，然后结合函数图象及绝对值的意义依次判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为， ∵ ∴相当于将向右平移1个单位长度，对称轴为，如图所示： 当时，，即当点横坐标到的距离大于时，由图得即或时， 当时，；当时，；故A、B选项错误，不符合题意； 当时，即当点横坐标到的距离小于等于时，由图得即时， 由图得：当时，为负数，且二者之间距离最大， ∴，， ∴， 当时，为正数，且二者之间距离最大， ∴，， ∴， ∴时，， 故选：D． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，绝对值的意义，理解题意，采用数形结合思想求解是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解决问题的关键． 根据反比例函数的图象和性质，，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， ∴． 故答案：． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 13. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式． 故答案为：7． 14. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 【答案】## 【解析】 【点睛】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数，算出概率即可． 【详解】解：∵有4个红球和6个白球， ∴任意摸出一个球是红球的概率， 故答案为：． 15. 如图，的顶点在正方形网格的交点上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 在中，，， ， 故答案为：． 16. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，解题关键是理解扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长． 根据扇形弧长公式求出弧长，即圆锥底面圆的周长，再根据圆的周长公式求出圆锥底面半径． 【详解】解：扇形弧长为：， 则圆锥的底面半径． 故答案为：． 17. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为____________里． 【答案】9 【解析】 【分析】由切圆于D，切圆于C，连接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案． 【详解】解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于D，切圆于C，连接， ∴，里， ∵里， ∴里， ∴， ∵， ∴， ∴（里）． ∴城堡的外围直径为（里）． 故答案为：9． 【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到，求出长即可． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中始终保持，则的最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，连接交于点，根据勾股定理求出，设，证明，得到，得到，根据二次函数的性质得到答案即可． 【详解】解：过点作于点，连接交于点， ， ， 在中，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程和计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题词考查解一元二次方程，实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂、零指数幂、特殊角三角函数值，因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． （1）先将一元二次方程化成一般式，再用因式分解法求解即可； （2）先计算乘方和求绝对值，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解：变形，得 或 ，． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图象的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2）不等式的解集为或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先通过一次函数求出点A坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）求出点B的坐标，根据图像求解即可； （3）根据图像求出，再根据求出，即可求出 【小问1详解】 解：把点代入直线得： ∴点A的坐标为：， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 即反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：由（1）得：点A的坐标为：， 同理可求，点B的坐标为：， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点C的坐标为：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P的纵坐标为3时，则，解得， 当点P的纵坐标为时，则，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键． 21. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由： （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出，即，即可得证； （2）解求得，，由计算即可． 【小问1详解】 解：直线与位置关系是相切，理由如下： 如图，连接，     ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：连接     ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形面积、解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则___________； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； 【答案】（1）8 （2）2或 【解析】 【分析】（1）设一元二次方程两根为和，根据一元二次方程根与系数的关系列方程组即可求解； （2）解，得或，进行分类讨论，当时，，可得，当时，，可得． 【小问1详解】 解：设一元二次方程两根为和， 则， 解得， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：由一元二次方程得， 或， 一元二次方程是“倍根方程”， 或， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，的值为2或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于，两根之积等于． 23. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）点到地面的距离为； （2）顶部线段的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 24. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】问题发现：；拓展探究：仍然成立，见解析；解决问题：或 【解析】 【分析】问题发现：先证，推出，利用等比的性质可得； 拓展探究：由旋转的性质可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 解决问题：分“点在线段上”和“点在线段延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】问题发现 解：矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， , 故答案为：； 拓展探究 解：仍然成立．理由如下： 图1中，，， ∴， ∴， 图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解决问题 解：①如图3，当点在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图4，当点在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． （1）求拋物线的解析式； （2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 【答案】（1）该抛物线的解析式为； （2）点P的坐标为，的最大值为； （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式； （2）过点P作轴交直线于点E，设，进而表示出点坐标，证明，列出比例式，将转化为二次函数求最值即可； （3）设，则，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线与x轴交于点，两点 ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时， ∴ 设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交直线于点E，如图，设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为 则 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点P的坐标为， 【小问3详解】 如图，设，则 ∴，， ∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴 ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴ 当时，解得：（舍去），， 此时点 当时，解得：（舍去），， 此时点， 综上，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $