精品解析：河南省南阳市2024-2025学年九年级下学期第一次联考数学试题

2024－2025学年九年级下学期联考试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿， ∴1兆＝， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键． 3. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最左边两个小正方形，第三层最左边一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3，再利用邻补角互补求出∠2． 【详解】解：如图，∵a∥b， ∴∠1=∠3=60°， ∴∠2=180°-∠3=120°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角互补的性质，解决本题的关键是牢记相关概念，本题较基础，考查了学生的基本功． 6. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意； D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对菱形的性质的理解，关键是根据菱形的性质解答． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解． 【详解】解： 一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 8. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种， ∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为． 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，坐标的变化规律问题，根据正多边形的性质可得，进而求出每旋转一次点的坐标，再根据每旋转次一个循环解答即可求解，找到坐标旋转变化的规律是解题的关键． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， ∵， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 10. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 12. 请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________． 【答案】y=x（答案不唯一） 【解析】 【分析】直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可． 【详解】解：因直线y=x经过原点（0,0）， 故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）． 【点睛】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图象的关系等． 13. 为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶ 一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种， 所以恰好选中甲和丙的概率为． 故答案为： 【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先找到圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O， 从图中可得：的半径为OB=5， 连接OC， ∵∠BAC=22.5°， ∴∠BOC=222.5°=45°， 的长为． ． 故答案为： 【点睛】本题考查了弧长公式，找到的圆心是解题的关键． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可． 【详解】如图，连接， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ，， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂进行计算即可求解； （2）原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式＝ （2）解：原式＝ 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 17. 2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 调查问卷 1．近两周你平均每天睡眠时间大约是 小时． 如果你平均每天睡眠时间不足小时，请回答第个问题 2．影响你睡眠时间的主要原因是 ．（单选） A．校内课业负担重 B．校外学习任务重 C．学习效率低 D．其他 平均每天睡眠时间（时）分为组：①；②；③；④；⑤． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 （填序号）组，达到小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ； （2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【答案】（1）③；17％；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义即可得到其所在小组；利用达到9小时的学生数除以500即可得出其所占百分比； （2）根据平均每天睡眠时间统计图依次分析即可；根据影响学生睡眠时间的主要原因统计图制定对应的措施即可． 【详解】解：（1）由于共有500人，因此中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组； ∵达到9小时睡眠的人数为85人， ∴其所占百分比为：； 故答案为：③；17％． （2）该校学生睡眠情况为：该校学生极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠时间应达到 9 小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时． 建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去； ②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等（本题答案不唯一，回答合理即可）． 【点睛】本题考查了统计的应用，涉及到了中位数的定义、从统计图中获取相关信息、根据图表信息制定合理建议等内容，解决本题的关键是读懂题意，能从统计图中获取对应信息，同时牢记相关定义等，本题属于开放型试题，最后一题答案不统一，但回答应与题干信息相吻合等，本题考查了学生分析问题与解决问题的能力． 18. 如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） （3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：． 【答案】（1） （2）图见解析部分 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案； （2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可； （3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证. 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像经过点， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 如图，直线即为所作； 【小问3详解】 证明：如图， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识． 解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 19. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】17.4m 【解析】 【分析】先设出佛像的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可． 【详解】解：设佛像的高度为xm， ∵∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD=x， ∵佛像头部为， ∴CD=x-4， ∵∠DAC=37.5°， ∴tan∠DAC= = ≈0.77， 解得：x≈17.4， 经检验，该方程有意义，且符合题意， 因此x≈17.4是该方程的解， ∴佛像的高度约为17.4m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 20. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明； （2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把放到直角三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）证明：连接，取轴正半轴与交点于点，如下图： ， 为的外角， ， ， ， ． （2）过点作的垂线，交与点，如下图： 由题意： 在中， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角； 在中，由勾股定理得： ， 即． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解答的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解． 21. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】（1）20元 （2）2250元 【解析】 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可． 【小问1详解】 解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得 检验：将代入，值不为零， ∴是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． 【小问2详解】 解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：， 解得， 又∵， ∴， ∵y随m的增大而减小 ∴当时，花费最少， 此时 ∴本次购买最少花费2250元． 【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 22. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【解析】 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 【答案】（1）或或或 （2）①15，15；②，理由见解析 （3）cm或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解： ，sin∠BME= 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90° 由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90° ∴BM=BC ① ∴ ② 【小问3详解】 当点Q在点F的下方时，如图， ，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm) 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点Q在点F的上方时，如图， cm，DQ =3cm， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年九年级下学期联考试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 2. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A B. C. D. 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 8. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使分式有意义x的取值范围是_________． 12. 请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________． 13. 为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下． 调查问卷 1．近两周你平均每天睡眠时间大约是 小时． 如果你平均每天睡眠时间不足小时，请回答第个问题 2．影响你睡眠时间的主要原因是 ．（单选） A．校内课业负担重 B．校外学习任务重 C．学习效率低 D．其他 平均每天睡眠时间（时）分为组：①；②；③；④；⑤． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 （填序号）组，达到小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ； （2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 18. 如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） （3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：． 19. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，） 20. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 21. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 22. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $