2025年中考数学专项复习 专题十一 ”角平分线“模型 讲义

初中数学几何模型研究大讲堂 专题十一：角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) BD平分∠ABC，E为BC上一点且DE⊥BC，形成“角平分线”模型. 1.DE=DF； 2.BE=BF； 3.△BDE≌△BDF. BD平分∠ABC，DE∥AB.形成“角平分线+平行”模型.（平行线可在∠BAC外部，即DE∥BC） 1.BE=DE BD平分∠ABC，E为BC上一点，在BA上截取BF=BE，连接DF.形成“角平分线的对称性”模型. 1.DE=DF； 2.△BDE≌△BDF. BD平分∠ABC，E为BC上一点，延长ED交AB于点F，DE⊥BD，形成“角平分线三线合一”模型. 1.BE=BF； 2.DE=DF； 3.△BDE≌△BDF. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据角平分线性质解题（垂直已知） 求线段长、求线段长度比值、多结论判断等 1.在选择题或填空题中考查： （1）求线段长、求线段比值； （2）在设题是多结合尺规作图； 2.在解答题以圆为背景进行相关证明及计算 角平分线上的点到角两边的 考法2 根据角平分线性质解题（垂直未知） 求线段长、求线段长度比值、求周长、求面积 1.在选择题或填空题中考查： （1）线段长、线段比值； （2）在设题是多结合尺规作图； 2.在解答题结合圆进行相关证明 作垂直,用角平分线上的点分到角两的边的距离相等解题 考法3 角 平 分 线+平 行 模 型 (平行已知) 求角度、求 线段长 1.在选择或填空题考查角 度或线段的计算； 2. 在解答题进行简单证明 根据角平分线得到角相等,结合平行得到等腰三角形,由此进行相关证明与计算 考法4 角 平 分 线+平 行 模 型 (平行未知) 求线段长、证明切线相等 1. 在填空题以直角三角形为 背景求线段长; 2. 常在解答题考查: (1)以一般三角形为背景, 阅读理解题型,作平行线 进行相关计算; (2)以圆为背景,连半径作平行,证明 切线 作平行线得到相等角,根 据等腰三角 形性质进行 相关证明与计算 PART 2——模型思路. 这是一种极其常考的模型，难度变化大，考法多，尤其是“角平分线”模型作为必考题型，运用了角平分线的性质，“角平分线+平行线”模型会出现在平行四边形、等腰三角形的判定.往往是利用模型，结合各种图形考查，如果不了解该模型，做题有一定难度. 常见辅助线作法： 类型 图示 辅助线作法 “角平分线系列”模型. 向一边作垂直，利用角平分线的性质得证.（“角平分线”系列模型实质是利用角平分线的性质，所以可归纳为一类） 证明过程： ∵平分且，. ∴. PART 5——模型解析. 预备层——抽离模型练 1.（2022·青海西宁）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（       ）.     A. △AOB是等边三角形 B. PE=PF C. △PAE≌△PBF D. 四边形OAPB是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】利用等边三角形判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明△PAE≌△PBF；利用菱形的判定定理可判定选项D． 【详解】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意； 由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题意； 由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL) ，故选项C成立，不符合题意； ∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，故选项D不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定． 2.（2021·湖南长沙）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再根据线段的和差即可得. 【详解】解：∵平分，，，. ∴. ∵. ∴. 故答案为：2.4. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质是解题关键. 3.（2022·四川自贡）如图，在中，，． （1）求证：； （2）若，平分，请直接写出的形状． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． A层——基础模型练  4.（2024·青海西宁）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（       ）. A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】 【分析】解:过P作于E, ∵平分，点P在上，， ∴, ∴P到的距离是2. 故选:C. 5.（2022·湖南株洲）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解． 【详解】解：由题意，，，， 即点O到BC、AB的距离相等， ∴ OB是的角平分线， ∵ ， ∴． 故答案为：15． 6.（2022·湖南永州）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点． （1）请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）； （2）根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵______（两直线平行，内错角相等） 又∵平分，平分， ∴， ∴ ∴______（______）（填推理的依据） 又∵四边形是平行四边形 ∴ ∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）． 【答案】（1）详见解析 （2）∠DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的步骤作平分即可； （2）结合图形和已有步骤合理填写即可； 【小问1详解】 解：如图，根据角平分线的作图步骤，得到DE，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵．（两直线平行，内错角相等）. 又∵平分，平分， ∴， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据） 又∵四边形是平行四边形． ∴， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 7. （2022·江苏南京） 如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据邻边，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】解：证明：∵平分，， ∴，． ∴． ∴． 又∵于点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，涉及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． B层——进阶模型练 8.（2023·江苏南通）如图①，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则的值为（       ）.     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：设，交于点， 由题意得， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 故， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键． 9.（2023·江苏南通）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ） A. 54 B. 52 C. 50 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值． 【详解】解：当时，由题意可知， ， 在中，由勾股定理得， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 当时，由题意可知，， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中由勾股定理得， 中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题． 10.（2021·江苏常州）如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由，可得FM=1，再根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴∠C=90°， ∴AB=， ∵， ∴， ∴ FM=1， ∵BF=， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键． 11.（2024·四川南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】如图，过作于点，于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， 中，由勾股定理得， 故答案为：． C层——压轴模型练 12. （2021·四川宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（       ）. A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】构造如图所示的正方形，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可． 【详解】如图，延长CE，FG交于点N，过点N作，延长交于， ∴∠CMN=∠DPN=90°， ∴四边形CMPD是矩形， 根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，， ∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN， ∴， ∴， 四边形为正方形， ∴， ∴， ，， ， 设,则， 在中，由可得 解得； 故选A． 【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键． 13.（2021·浙江宁波） 【证明体验】 （1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论； （2）先证明，得，进而即可求解； （3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）如图，在上取一点F，使得，连结． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 14.（2022·湖北江汉油田）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，(1)填空：当，，时， ①如图1，若，，则_____________，_____________； ②如图2，若，，则_____________，_____________； ，，与的面积之和为S． (2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由： (3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小． 【答案】（1）①，25；②4； （2）S= （3）S= 【解析】 【分析】（1）①先证四边形DECF为正方形，再证△ABC为等腰直角三角形，根据CD平分∠ACB，得出CD⊥AB，且AD=BD=m,然后利用三角函数求出BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5即可；②先证四边形DECF为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A=90°-∠B=30°，利用30°直角三角形先证求出DE=，利用三角函数求出AE=ADcos30°=6，DF=DE=，BF=DFtan30°=2，BD=DF÷sin60°=4即可； （2）过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，先证四边形DGCH为正方形，再证△DFG≌△DEH（ASA）与△DBG≌△DIH（SAS），然后证明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可； （3）过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，先证明△DQF≌△DPE，△DBQ≌△DRP，再证△DBF≌△DRE，求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可． 【小问1详解】 解：①∵，，，是的角平分线， ∴四边形DECF为矩形，DE=DF， ∴四边形DECF为正方形， ∵， ∴∠A=90°-∠B=45°=∠B， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵CD平分∠ACB， ∴CD⊥AB，且AD=BD=m, ∵， ∴BD=n=， ∴BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5，ED=DF=5， ∴S= ； 故答案为，25； ②∵，，，是的角平分线， ∴四边形DECF为矩形，DE=DF， ∴四边形DECF为正方形， ∵， ∴∠A=90°-∠B=30°， ∴DE=，AE=ADcos30°=6，DF=DE=， ∵∠BDF=90°-∠B=30°， ∴BF=DFtan30°=2， ∴BD=DF÷sin60°=4， ∴BD=n=4， ∴S=， 故答案为：4；； 【小问2详解】 解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI， ∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°， ∴四边形DGCH为矩形， ∵是的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC， ∴DG=DH， ∴四边形DGCH为正方形， ∴∠GDH=90°， ∵， ∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°， ∴∠FDG=∠EDH， 在△DFG和△DEH中， ， ∴△DFG≌△DEH（ASA） ∴FG=EH， 在△DBG和△DIH中， ， ∴△DBG≌△DIH（SAS）， ∴∠B=∠DIH，DB=DI=n， ∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°， ∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°， ∴S△ADI=， ∴S=； 【小问3详解】 过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S， ∵是的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC， ∴DP=DQ， ∵∠ACB=60° ∴∠QDP=120°， ∵， ∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°， ∴∠FDQ=∠EDP， 在△DFQ和△DEP中， ， ∴△DFQ≌△DEP（ASA） ∴DF=DE，∠QDF=∠PDE， 在△DBQ和△DRP中， ， ∴△DBQ≌△DRP（SAS）， ∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR， ∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE， ∵DB=DE，DB=DR， ∴△DBF≌△DRE， ∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°， ∴S=S△ADR=． 【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键． 15.（2024·江苏南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式层——回顾模型练 【变式1】（2023·浙江湖州）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（       ）.    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M， 由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 【变式2】（2024·山东济宁）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是______．（只填序号）①；②；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据等腰三角形的性质即可判断出①；过作于点，证出四边形为矩形，即可通过边的比值关系求出，即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设，则，用含的式子分别表达出和的长度后即可判断④；判定出即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴三角形为等腰直角三角形，， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意作图可得：，， 过作于点，则，如图所示： ∵是的角平分线，由三线合一可得：，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 设，则， ∵， ∴， ∴，即，，即， ∴，故④错误； ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． 【变式3】（2022·浙江绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．    (1) 若∠ACB=20°，求的长（结果保留）． (2)求证：AD平分∠BDO． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OE，根据切线定义可得，结合∠C=90°，可得，即，进而说明即可证明结论； （2）先证可得，再得，最后运用三角函数解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴，即 ， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 【变式4】（2023·甘肃兰州）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2） 小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图        3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点； ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． 【变式5】（2021·广西贺州）如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线判定定理证得，再由已知角等量关系推出，并可得，则可证明四边形是平行四边形，最后由得，即可证得结论； （2）由菱形的性质可得，再根据角的等量关系求出，则可利用三角函数求得，此题得解． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， 又∵，且， ∴为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）得四边形菱形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 本专题所有精选题目来源于5年内中考原题 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题十一：角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) BD平分∠ABC，E为BC上一点且DE⊥BC，形成“角平分线”模型. 1.DE=DF； 2.BE=BF； 3.△BDE≌△BDF. BD平分∠ABC，DE∥AB.形成“角平分线+平行”模型.（平行线可在∠BAC外部，即DE∥BC） 1.BE=DE BD平分∠ABC，E为BC上一点，在BA上截取BF=BE，连接DF.形成“角平分线的对称性”模型. 1.DE=DF； 2.△BDE≌△BDF. BD平分∠ABC，E为BC上一点，延长ED交AB于点F，DE⊥BD，形成“角平分线三线合一”模型. 1.BE=BF； 2.DE=DF； 3.△BDE≌△BDF. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据角平分线性质解题（垂直已知） 求线段长、求线段长度比值、多结论判断等 1.在选择题或填空题中考查： （1）求线段长、求线段比值； （2）在设题是多结合尺规作图； 2.在解答题以圆为背景进行相关证明及计算 角平分线上的点到角两边的 考法2 根据角平分线性质解题（垂直未知） 求线段长、求线段长度比值、求周长、求面积 1.在选择题或填空题中考查： （1）线段长、线段比值； （2）在设题是多结合尺规作图； 2.在解答题结合圆进行相关证明 作垂直,用角平分线上的点分到角两的边的距离相等解题 考法3 角 平 分 线+平 行 模 型 (平行已知) 求角度、求 线段长 1.在选择或填空题考查角 度或线段的计算； 2. 在解答题进行简单证明 根据角平分线得到角相等,结合平行得到等腰三角形,由此进行相关证明与计算 考法4 角 平 分 线+平 行 模 型 (平行未知) 求线段长、证明切线相等 1. 在填空题以直角三角形为 背景求线段长; 2. 常在解答题考查: (1)以一般三角形为背景, 阅读理解题型,作平行线 进行相关计算; (2)以圆为背景,连半径作平行,证明 切线 作平行线得到相等角,根 据等腰三角 形性质进行 相关证明与计算 PART 2——模型思路. 这是一种极其常考的模型，难度变化大，考法多，尤其是“角平分线”模型作为必考题型，运用了角平分线的性质，“角平分线+平行线”模型会出现在平行四边形、等腰三角形的判定.往往是利用模型，结合各种图形考查，如果不了解该模型，做题有一定难度. 常见辅助线作法： 类型 图示 辅助线作法 “角平分线系列”模型. 向一边作垂直，利用角平分线的性质得证.（“角平分线”系列模型实质是利用角平分线的性质，所以可归纳为一类） 证明过程： ∵平分且，. ∴. PART 3——模型解析. 预备层——抽离模型练 1.（2022·青海西宁）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（       ）.     A. △AOB是等边三角形 B. PE=PF C. △PAE≌△PBF D. 四边形OAPB是菱形 2.（2021·湖南长沙）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______． 3.（2022·四川自贡）如图，在中，，． （1）求证：； （2）若，平分，请直接写出的形状． A层——基础模型练  4.（2024·青海西宁）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（       ）. A.4 B.3 C.2 D.1 5.（2022·湖南株洲）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度． 6.（2022·湖南永州）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点． （1）请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）； （2）根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵______（两直线平行，内错角相等） 又∵平分，平分， ∴， ∴ ∴______（______）（填推理的依据） 又∵四边形是平行四边形 ∴ ∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）． 7. （2022·江苏南京） 如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形． B层——进阶模型练 8.（2023·江苏南通）如图①，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则的值为（       ）.     A. B. C. D. 9. （2023·江苏南通）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ） A. 54 B. 52 C. 50 D. 48 10.（2021·江苏常州）如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________． 11.（2024·四川南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____． C层——压轴模型练 12. （2021·四川宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（       ）. A. 2 B. C. D. 3 13.（2021·浙江宁波） 【证明体验】 （1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长． 14.（2022·湖北江汉油田）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，(1)填空：当，，时， ①如图1，若，，则_____________，_____________； ②如图2，若，，则_____________，_____________； ，，与的面积之和为S． (2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由： (3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小． 15.（2024·江苏南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ PART 4——模型变式. 变式层——回顾模型练 【变式1】（2023·浙江湖州）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（       ）.    A. B. C. D. 【变式2】（2024·山东济宁）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是______．（只填序号）①；②；③；④；⑤． 【变式3】（2022·浙江绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．    (1) 若∠ACB=20°，求的长（结果保留）． (2)求证：AD平分∠BDO． 【变式4】（2023·甘肃兰州）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2） 小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图        3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式5】（2021·广西贺州）如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 本专题所有精选题目来源于5年内中考原题 学科网（北京）股份有限公司 $$