精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试题（日新班）

丰城九中2024-2025学年下学期日新高一第一次段考试卷 命题人： 2025.3.20 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（     ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱台中，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 7. 如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若曲线为椭圆，则 C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线双曲线，则 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线l的方程是 B. 的最小值为4 C. 所在直线被抛物线所截得的弦长为 D. 以线段为直径的圆与y轴相切 11. 如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（    ） A. 与一定异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 异面直线与所成角的范围为 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则的最大值是________． 13. 椭圆的焦距为4，则___________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，，且，则双曲线C的离心率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知, （1）求函数单调递减区间; （2）若,求函数的值域. 16. 已知中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角的值； （2）若点为的中点，求的值． 17. 如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． （1）求直线与平面所成角正切值； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且⊥，垂足为. （1）求点的轨迹方程； （2）证明：当的斜率存在且时，、弦长的倒数和为定值； （3）求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城九中2024-2025学年下学期日新高一第一次段考试卷 命题人： 2025.3.20 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的概念及交集的运算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴. 故选：D. 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法除法运算可求得复数，可求得虚部. 【详解】因为，所以，所以的虚部为2. 故选：. 3. 已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（     ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面与平面垂直的判定定理和性质定理，充分条件必要条件的定义 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，若，，则； 反之，当时，则相交，记交线为， 又，所以或相交或重合， 若，又，则，所以不一定能得到． 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 4. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数的性质和特殊值可得. 【详解】的定义域为，， 则为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC， 又，排除B，只有D符合， 故选：D. 5. 正四棱台中，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，分别取的中点，过作交于，确定，由线面角，求得棱台高，代入体积公式即可求解； 【详解】 ∵，，∴上、下底面的面积分别为， 设正四棱台的高为， 连接，分别取的中点， 由正四棱台性质可知：面，面，∴， 过作交于，则，面， ∴，为与底面所成的角， ∵， 由， 可得：，即， 所以. 故选：B. 6. 双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知该双曲线是等轴双曲线，故渐近线方程是，而抛物线准线方程为，由题设可得，则，所以（为坐标原点）的面积为，应选答案C． 7. 如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值. 【详解】如图，取的中点为， 由正方形的边长为4，得， 因此为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 则有，即， 当截面时，最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，． 由余弦定理可得，． 此时，所以截面面积最小值为. 故选：C 8. 设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，， 的周长， 又因为、两点为过原点的动直线与椭圆的交点， 所以、两点关于原点对称，椭圆的左焦点为， 易知为的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为、、三点不共线， 不妨设点，则，其中，且，可得， 所以，， 所以的周长的取值范围为， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若曲线为椭圆，则 C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线为双曲线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线分别表示圆、椭圆、双曲线求出参数的值或取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若曲线表示圆，则，解得， 即曲线可能圆，A对； 对于B选项，若曲线为椭圆，则，解得且，B错； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C对； 对于D选项，若曲线为双曲线，则，即，解得，D对. 故选：ACD. 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线l的方程是 B. 的最小值为4 C. 所在直线被抛物线所截得的弦长为 D. 以线段为直径的圆与y轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由抛物线的标准方程，可得其正误；对于B，由题意作图，根据抛物线的定义，进行等量代换，可得其正误；对于C，求出直线方程，联立方程组，写出韦达定理，利用弦长公式，可得其正误；对于D，根据圆的切线判定，结合抛物线的定义以及梯形中位线的性质，可得其正误. 【详解】对于A，由抛物线，则，所以准线的方程为，故A错误； 对于B，由题意，过作，垂足为， 设点到直线的距离为，由图可知，故B正确； 对于C，由，则直线的方程为， 代入，可得，整理可得， 由，设直线与抛物线的两个交点分别为和， 则，，所以弦长，故C错误； 对于D，取的中点为，并过作，垂足为，记准线与轴交点为，如下图： 设以为直径的圆的半径为，由图可知其圆心为， 由图可知， 易知到轴的距离为，则圆与相切，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（    ） A. 与一定是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 异面直线与所成角的范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】证明出平面，可知点的轨迹为线段，当点与点重合时，推导出，可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；推导出平面平面，利用面面平行的性质可判断C选项；利用异面直线所成角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、、， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 因为为四边形内（含边界）的一个动点， 故当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 当点与点重合时，因为且，则四边形为平行四边形， 此时，A错； 对于B选项，连接、、、， 在正方体中，平面平面， 因为平面，所以，点到平面的距离为定值， 又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值，B对； 对于C选项，连接， 因为且，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，C对； 对于D选项，因为，所以异面直线与所成角等于直线与所成的角， 易知为等边三角形，如下图所示： 当点为的中点时，，此时，直线与所成的角取最大值， 当点与点或点重合时，直线与所成的角取最小值， 因此，异面直线与所成角范围为，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标公式，结合同角的三角函数关系式，通过换元，将其化简为二次函数，根据二次函数的单调性即可求得. 【详解】由， 设，由正弦函数的性质知 ， 故当，即或时，的最大值是. 故答案为：. 13. 椭圆的焦距为4，则___________. 【答案】8 【解析】 【分析】分与两种情况求解即可. 【详解】当时，椭圆的焦距为，得，不符合题意； 当时，椭圆的焦距为，得，符合题意. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，，且，则双曲线C的离心率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由双曲线定义依次求出、和，接着在中，由余弦定理求得，再在中由余弦定理即可求解. 【详解】 设，则有， 又由，有， 在中，由余弦定理有，可得， 在中，由余弦定理有，可得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知, （1）求函数的单调递减区间; （2）若,求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的图象性质即可求得其单调递减区间； （2）先由求得整体角，结合正弦函数的图象即可求其值域. 【小问1详解】 , 由，可得， 即函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 当，，则， 故函数的值域为. 16. 已知中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角的值； （2）若点为的中点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，，利用余弦定理即可求得，进而得到结果； （2）设，则，，利用平面向量的线性运算和数量积公式，即可求得结果. 【小问1详解】 设，则，， 利用余弦定理可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 设，则，， 因为点为的中点，所以， 两边平方可得， 即， 所以，可 得，所以． 17. 如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取中点，利用正四棱锥的结构特征及线面角的定义求出线面角的正切值. （2）作出二面角的平面角，利用几何法求出二面角的大小. 【小问1详解】 在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； 【小问2详解】 在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，根据焦半径公式求得，将点的坐标代入抛物线方程即可求解. （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合坐标关系利用韦达定理求出，再结合焦半径公式求解焦点弦弦长即可. 【小问1详解】 设点，则，所以． 将代入得，解得， 所以抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 抛物线的焦点，设直线的方程为， 因为，所以，所以． 联立，得，， 所以，即， 又，所以，解得． 所以． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且⊥，垂足为. （1）求点的轨迹方程； （2）证明：当的斜率存在且时，、弦长的倒数和为定值； （3）求四边形的面积的最小值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出焦距，由⊥知，点在以线段为直径的圆上，求出点的轨迹方程； （2）的方程为，代入椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，进而求出，从而得到； （3）在（2）的基础上，得到，由基本不等式求出最值，再求出当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积，从而得到四边形的面积的最小值. 【小问1详解】 椭圆的半焦距， 由⊥知，点在以线段为直径的圆上，故点的轨迹方程； 【小问2详解】 当的斜率存在且时，故的方程为， 代入椭圆方程中， 化简得， 设，，则， 则 ， 因为与相交于点，且的斜率为. 所以， 当的斜率存在且时， 、弦长的倒数和为； 【小问3详解】 当的斜率存在且时，由（2）知，，， 故四边形的面积 . 当时，上式取等号. 当的斜率时，如图所示， 此时， 中，令得，故， 故四边形的面积， 当的斜率不存在，同理可得， 综上，四边形的面积的最小值为. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$