22.2 二次函数与一元二次方程-同步训练2024-2025学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程 一、选择题： 1.二次函数的图象经过点，，则关于的方程的根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.对于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象开口向上 B. 对称轴是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象与轴有两个交点 3.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是(    ) A. B. C. D. 4.在利用图象法求方程的解、时，同学们提出了以下四种解法： 甲：函数的图象与轴交点的横坐标为、； 乙：函数和的图象交点的横坐标为、； 丙：函数和的图象交点的横坐标为、； 丁：函数和的图象交点的横坐标为、； 你怎么认为？(    ) A. 全部正确 B. 只有丁错了 C. 丙、丁是错的 D. 只有甲是正确的 5.如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题： 7.抛物线与轴有且只有个公共点，则          ． 8.抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，若，则的值是          ． 9.在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是自变量与函数的几组对应值： 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根约等于          结果保留小数点后一位小数． 10.若二次函数与轴有两个不同交点，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数值之和是______． 三、解答题： 11.用函数的图象求下列方程的解： ； ． 12.利用函数图像求出一元二次方程的近似根，可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图像，根据两个图像交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试结果精确到． 13.已知二次函数． 求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点； 若图象经过原点，求二次函数的解析式． 14.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与轴的交点为，与轴的一个交点为． 求这个二次函数的表达式及顶点坐标． 通过观察图象，当时，请直接写出自变量的取值范围． 15.已知二次函数是常数． 求证：不论为何值，该函数图象与轴总有两个公共点； 求证：当时，该函数图象与轴的交点总在轴的下方． 16.已知二次函数过点． 用含的代数式表示； 求证：该函数的图像与轴总有公共点； 若点在该函数图像上，且当时，总有直接写出的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程根据二次函数的图象经过点，，直接得出方程的根． 【解答】 解：二次函数的图象经过点，， 关于的方程的根为，． 故选D ． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是一次函数的图象及性质有关知识，、用来确定；、用对称轴来确定；、当时，随的增大而减小，正确；、用来确定． 【解答】 解：，故抛物线开口向下，故A选项错误； B.函数对称轴，故B选项错误； C.当时，随的增大而减小，故选项C正确； D.，图象与轴无交点，故选项D错误； 故选C 3.【答案】  【解析】本题考查了用二次函数确定性一元二次方程的近似根．解决本题的关键是根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， 当对应的的值一定有， 一元二次方程的解的范围是．   故选：． 4.【答案】  【解析】解：方程的解为、，即方程的两个根为、， 对甲，函数的图象与轴交点的横坐标、，即方程的两个根为、； 对乙，函数和的图象交点的横坐标、，即方程的两个根为、； 对丙，函数和的图象交点的横坐标、，即方程的两个根为、； 对丁，函数和的图象交点的横坐标、，即方程的两个根为、； 故选：． 根据方程的解为、，即方程的两个根为、，即可求解． 本题考查了二次函数与一元二次方程，属于基础题，关键是掌握方程的根即为函数与轴的交点． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 先根据图象得出对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴为直线，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解答】 解：二次函数的顶点为， 对称轴为直线， 而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是， 右侧交点横坐标的取值范围是． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． 分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【解答】 解：二次函数解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得，， 则抛物线与轴的交点为，， 把抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ，解得； 当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得，， 解得， 所以的值为或， 故选：． 7.【答案】  8.【答案】或  【解析】解：抛物线解析式是， 当时，， 解得：， ． 令，则， ． ， ， 即， 解得：或． 故答案为：或 9.【答案】答案不唯一  【解析】解：根据题意，设方程的一个根为， 当时，， 当时，， ， ， ， 故答案：答案不唯一． 本题考查了利用二次函数求对应一元二次方程的近似根，理解“当自变量取两个值，对应的函数值由负数变为正数时，则对应方程的一个根在两个自变量之间，求函数值的绝对值，取较小绝对值所对应的自变量的值为近似根”是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由题意可得：， 即， 解关于的分式方程，可得且， 解为非负整数， ，，为的倍数， 解得：， 或或， 满足条件的所有值的和为：， 故答案为：． 由二次函数与轴有两个不同交点得，进而可得的取值范围，再解分式方程得到且，最后结合非负整数可得答案． 本题考查了二次函数与轴交点个数和一元二次方程解的个数的关系、一元二次方程根的判别式以及分式方程的解，掌握以上知识点是解答本题的关键． 11.【答案】【小题】由图，知的解是， 【小题】由图，知的解是 12.【答案】解：在同一平面直角坐标系中画出函数和的图像，如图所示． 由图像可知，交点坐标约为，，  所以一元二次方程的近似根为，． 13.【答案】【小题】 证明：，无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 【小题】 解：把代入，得，  解得二次函数的解析式为． 14.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为． 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， ， 抛物线的顶点坐标为， 当时，自变量的取值范围为或．  【解析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则可设交点式，再把代入求出，从而得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标； 利用函数图象，写出抛物线不在轴上方所对应的自变量的范围即可． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式． 15.【答案】证明：， 而， ， 不论为何值，该函数图象与轴总有两个公共点； 当时，， 二次函数图象与轴的交点坐标为， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， 即当时，该函数图象与轴的交点总在轴的下方．  【解析】先计算根的判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后利用根的判别式的意义得到结论； 计算自变量为对应的函数值得到二次函数图象与轴的交点坐标为，然后利用可判断二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 16.【答案】【详解】解：把点代入得， ， 化简得：； 解：令，则， 即， ， 解得：， 此方程必有实数根， 该函数的图象与轴总有公共点； 解：抛物线的对称轴直线为：， ， 在抛物线对称轴的左侧， ，， 一定也在抛物线对称轴的左侧， 取和关于抛物线对称轴的对称点，， ，， 当在抛物线对称轴左侧时， 有：， ， 当在抛物线对称轴右侧时， 有： ， 综上所述，或． 【解析】【分析】把点代入得，，化简即可； 令，则，解得：，即可证明； 先求出抛物线的对称轴，然后确定一定也在抛物线对称轴的左侧，取和关于抛物线对称轴的对称点，，则，，当在抛物线对称轴左侧时，；当在抛物线对称轴右侧时，，分别求解即可． 本题主要考查了二次函数图像上点与坐标的关系，函数图像与轴交点问题，二次函数的性质，对称点，以及解一元一次不等式和不等式组，难度较大，熟练掌握知识点，借助于数形结合的思想是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$