期中考前满分冲刺之中等易错题 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、估算无理数 1．估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：，， ∴， 故选：A． 2．估计18的算术平方根介于（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【解析】略 3．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算．估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴在整数2与整数3之间， 故选：B． 4．请写出与间的一个整数 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】估算出与的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴与间的一个整数为2或3， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了算术平方根的估算，估算出与的取值范围是解题的关键． 5．已知，则 ． 【答案】 【分析】运用算术平方根解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根，解决本题的关键是掌握算术平方根的运算． 6．已知，若是整数，则a＝ ． 【答案】2或﹣2或﹣1 【分析】利用是整数可判断a为整数且a≥﹣2，则利用a2≤得到﹣7＜a＜7且a为整数，然后找出满足条件的整数a的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴a为整数且a≥﹣2， ∵a2≤， ∴﹣7＜a＜7且a为整数， ∴当a＝﹣2或﹣1或2时，是整数． 故答案为2或﹣2或﹣1． 【点睛】本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，注意夹逼法的运用． 类型二、平移中的阴影部分求解 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：D． 2．如图，将左边的正方形向右平移5个单位，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．25 C．50 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移，平移前后图形的大小，形状完成相同，利用平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一个完整的正方形， 所以阴影部分的面积． 故选：B． 3．如图，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 如图，记的交点为，由平移的性质可知，，，根据阴影部分的周长为，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为， 由平移的性质可知，，， ∴阴影部分的周长为（）， 故选：A． 4．如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点．熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，在三角形中，，，．将三角形沿着与垂直的方向向上平移，得到三角形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得，，由，即可求解；理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， （）， 故答案为：． 6．如图，（）沿着射线平移至的位置，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质求出的长，的长，利用梯形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：． 类型三、平行线中的折线模型 1．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过E作，根据平行线的传递性可得，然后根据平行线的性质依次求出，，即可． 【详解】解：过E作， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 3．为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质的应用；过点E作，则；利用两线平行，同旁内角互补可分别求得的度数，从而可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴； 故选：D． 4．如图所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到，则与的数量关系是 ； 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点向右作，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，，然后根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：过点向右作， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出，，根据角的和差，求解即可． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 6．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为 ． 【答案】/144度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、实数中的新定义运算 1．现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．14 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 2．对于实数a，b，定义：当时，；当时，．例如：．已知，且a和b为两个连续正整数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义下的实数运算，正确根据题意得到，并且估算出是解题的关键． 根据新定义可得，再估算出，根据和为两个连续正整数得到，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵和为两个连续正整数， ， ， 故选：C． 3．对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，算术平方根的意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选D． 4．对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算等知识点，理清题意、理解所给运算法则是解题关键． 先根据新定义运算法则列式，然后再跟进有理数混合运算法则计算即可． 【详解】根据题意， , 由此 ． 故答案为： 5．定义：对于实数，我们规定：表示不小于的最小整数，例如，．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，理解定义是解题的关键． 根据定义得到，计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 故答案为： ． 6．对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 类型五、折叠问题 1．如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，折叠的性质推出，利用平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片 ∴， ∴， 由折叠的性质得出， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 2．如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 【答案】C 【分析】先根据邻补角的定义求出，再根据折叠的性质即可求解；本题主要考查了邻补角的性质，折叠的性质． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的4倍多，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质，由折叠的性质及平角等于可求出的度数，由，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数． 【详解】由折叠的性质，可知： 而，， ， ∵, ， 故选: D. 4．如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是折叠的性质、角度的运算、平行线的性质，解题关键是熟练掌握折叠的性质． 先根据折叠性质得出，再计算出的角度，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：根据折叠性质可得：， ， ， 长方形中，， ． 故答案为：． 5．如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，平行线的性质，先由折叠的性质得到，再由角平分线的性质得，进而可得，再由长形的性质和平行线的性质得，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由折叠得，根据，得到，由折叠的性质得到，即，再根据求出，代入数值即可求出答案． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ∵， ∴， 又∵根据折叠的性质可得， ∴， ∵根据折叠的性质可得， ∴， ∵，，， ∴， 将代入上式，即， 解得， 故答案为． 类型六、坐标系中的平行求坐标 1．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点坐标为，且平行于轴，求点与的距离； (2)若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1)16 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，到x轴、y轴的距离相等的点的坐标特征，是解题的关键； （1）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列式求出m的值，再求出点M的坐标，然后求解即可； （2）根据到x轴、y轴的距离相等的点的横坐标与纵坐标的绝对值相等列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】（1）解：（1）点，点且平行于轴， ， 解得：， 坐标为， ∴； （2）∵点到轴、轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，， 当时，，， 点的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第三象限，且到轴的距离为3，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点与坐标的对应关系，点到坐标轴的距离，各个象限的点的特征，第二、四象限的角平分线上的点的特征，解题的关键是掌握点的坐标特征． （1）根据题意得到且，解答即可； （2）根据题意得到点横、纵坐标互为相反数，进而即可求解. 【详解】（1）解：由题意得：且， ∴且或， ∴， 当时，， （2）解;∵在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴. 3．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上．求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据轴上的点的纵坐标为，可得关于的方程，解得的值，再求得点的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于轴的直线的横坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得其纵坐标即可得出答案． （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）点的坐标为，直线轴， ， ， ， 点的坐标为； （3）点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等 ， ， ， ，． 点的坐标为． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，利用了点到坐标轴的距离：点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离． （1）根据点在y轴上横坐标为0求解； （2）根据平行x轴的纵坐标相等求解； （3）根据点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，根据点与x轴与y轴的关系，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ， ； （2）解：直线轴， ，B两点的纵坐标相等，即， 解得； （3）解：直线轴， ，C两点的横坐标相等， 即， 解得， ， 点A的坐标为． 线段的长为5， 当点C在点A上方时， ， 解得，此时点C的坐标为； 当点C在点A下方时， ， 解得，此时点C的坐标为． 综上所述，当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为． 5．已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于x轴时，求点M的坐标； (2)若点M在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，掌握点在坐标系中的特点是关键． （1）根据平行于y轴的直线上的点的特征：横坐标相同可求得m的值，从而求解； （2）根据点M在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为6，列方程即可求得m的值，从而求解． 【详解】（1）解： 轴，，， ， 解得：， 的坐标为． （2）解：由题意得： 解得：， 的坐标为． 6．已知点． (1)若点N的坐标为，且直线轴，求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的特点，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴，纵坐标相等，可得，由此即可求解； （2）根据点在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：直线轴， ， 解得， ， 点M的坐标为； （2）解：由题意得， 点在第二象限， ，， ， 解得， ，， 点M的坐标为． 类型七、坐标系中的平移网格作图 1．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，,，若把向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为． (1)在图中画出平移后的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)7 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）先根据平移的性质找出各点，然后用线段顺次连接即可； （2）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示，，， （2）的面积． 2．如图，．过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在的延长线上截取． (1)写出点M的坐标； (2)平移线段，使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； (3)若P为y轴上一点，且，求P点坐标． 【答案】(1)M的坐标为 (2)图见解析，D的坐标为 (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据轴，直接写出点的坐标即可； （2）根据题意确定点的坐标，进而得到平移规则，确定点的坐标即可； （3）分割法求面积，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，轴于点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵点在直线上，且， ∴， ∴线段向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段， 如图，线段即为所求；由图可知：D的坐标为； （3）如图，记线段交y轴于点N， 则． 设点P的坐标为，则：， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为． (1)请在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将三角形平移得三角形，已知，请在网格中画出三角形； (3)若点P在x轴上，且三角形与三角形的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】此题考查了平面直角坐标系，坐标与图形的性质，画平移图形． （1）根据点A，C坐标分别为建立直角坐标系即可； （2）先根据，判断平移的方式，再画出平移后的图形； （3）设点P的坐标为，根据三角形与三角形的面积相等列方程求解． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：∵， ∴三角形向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到三角形， 如图，三角形即为所求． （3）解：设点P的坐标为， 由题意得，点的坐标为， ∵三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 4．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为． (1)在图中画出，并求其面积； (2)已知是由经过平移得到的，若为三角形内的一点，求点P在内的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，8 (2) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，能够根据平移前后坐标的变化得出平移方式是解题的关键． （1）根据题意描点，顺次连接A、B、C，即可；再根据长方形减去三个三角形的面积，即可求解； （2）根据图形的位置关系得出平移方式，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； ； （2）解：∵点平移到， ∴平移规律为横坐标加4，纵坐标减3， ∴平移后为， ∴的坐标为． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标； (2)若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析，，， (2) (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）由（1）得平移规律，再进行解答即可； （3）利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求． ，，． （2）解：由（1）得平移的规律为：向左平移5个单位，再向下平移4个单位， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标 ； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)图见解析，点B′的坐标是 (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）∵点A′的坐标是，点A的坐标是， ∴平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点B的坐标是，点C的坐标是， ∴点B′的坐标是，点C′的坐标是， ∴平移后的如图所示： 故答案为： （2）由（1）得：平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点P的对应点的坐标为， ∴点P的坐标为； 故答案为： 类型八、实数的实际应用 1．小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽． (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）设长方形信封的长为，宽为，利用面积公式列出方程进行求解即可； （2）求出正方形的边长，比较长方形的宽和正方形的边长的大小关系即可得出结果． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为． 由题意，得， ∴， ∴，． 答：长方形信封的长为，宽为． （2）能 理由：面积为的正方形贺卡的边长是． ∵，， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 2．小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 3．已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 【答案】(1)该正方形画布的边长为 (2)甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵正方形画布的面积为400 ∴该正方形画布的边长为． （2）甲的方案不可行，乙方案可行 甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为， 则，即， ， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为． ，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行； 乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为， 则，即， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为，故乙方案可行， 综上，甲方案不可行，乙方案可行． 【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 4．在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 5．已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求： (1)这个长方体的底面边长； (2)这个长方体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了长方体的体积，表面积，立方根的应用，熟练掌握长方体的体积和表面积的计算公式是解决问题的关键． （1）设这个长方体的底面边长为，则高为，然后根据正方体的体积公式列出方程，解此方程求出x即可； （2）根据长方体表面积的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这个长方体的底面边长为，则高为， 依题意得：， ∴， ∴． ∴这个长方体的底面边长为； （2）解：∵， ∴， ∴这个长方体的长为，宽为，高为， ∴这个长方体的表面积为：． 6．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 类型九、平行线中的判定(含依据) 1．如下图，已知分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）根据角平分线平分角，得到，进而得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以的度数为． 2．已知，如图，，、分别平分与，且．试说明：．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：、分别平分与（已知） ，（角平分线的定义） （________） （________）． （________） ________（________）． （________）． 【答案】已知；等量代换；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据即可． 【详解】解：、分别平分与（已知） ，（角平分线的定义） （已知） （等量代换）． （已知） （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；等量代换；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行． 3．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 【答案】；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 4．如图，已知点E在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查平行线的判定和角平分线的定义，关键是根据平行线的判定定理解答． （1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．（1）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． ①（已知）， ∴______（______）． ②（已知）， ____________（______）． ③（已知）， （______）． ④（已知）， ∴______（______）． （2）如图，已知平分平分． ①的度数为______； ②如果，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1），内错角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；，同位角相等，两直线平行；（2）①② 【分析】本题考查平行线的判定，角的计算，余角和补角，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据平行线的判定方法逐一进行作答即可． （2）①利用角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系可得，从而进行计算即可解答； ②利用角的和差关系可得，从而可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）①（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． ②（已知）， （同位角相等，两直线平行）． ③（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． ④（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，内错角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；，同位角相等，两直线平行； （2）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为； ②∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴是． 6．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 类型十、平方根与立方根的综合运用 1．（1）已知的平方根是的立方根是3，求的平方根． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）25 【分析】本题主要考查了数的开方，代数式求值．熟练掌握平方根和算术平方根，立方根，算术平方根和完全平方式的非负性，是解决问题的关键． （1）根据平方根的定义和立方根的定义建立方程组求出a、b的值，代入求出其值，然后再求其平方根即可； （2）根据算术平方根、绝对值和平方式的非负性求出x、y、z的值，代入计算即得． 【详解】解：（1）∵已知的平方根是，的立方根是3， ∴， 解得，， ∴， 16的平方根为， ∴的平方根为； （2）∵， ∴，， 解得：，，， ∴． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求的值； (2)若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得、的值是解答本题的关键． （1）根据平方根的形式求得的值后代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得、的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：因为一个正数的两个平方根分别是和， 所以， 整理，得， 解得：， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 由题意，得，， 因为为的算术平方根，为的立方根， 所以，， 所以， 所以代数式的立方根为． 3．已知a的两个平方根分别是4和，b的立方根是的相反数． (1)求m，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)的平方根． 【分析】本题考查了平方根和立方根，相反数． （1）根据平方根和立方根的定义求解即可； （2）由（1）知，，，根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵a的两个平方根分别是4和， ∴， 解得：， ∵b的立方根是的相反数， ∴b的立方根是2， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴， 25的平方根为， ∴的平方根． 4．已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根、一元一次方程的应用、代数式求值等知识，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数建立方程，解方程可得的值，再根据立方根的性质即可得的值； （2）将的值代入可得的值，再根据平方根的性质即可得． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同的平方根是和， ， 解得， 的立方根为， ， 解得， ． （2）解：由（1）已得：， ∴， ∴的平方根为． 5．已知的平方根是，的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的和的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）由平方根的定义和列方程的定义可求得，从而可求得a、b的值； （2）把a、b的值代入求得代数式的值，最后再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的算术平方根为5． 6．已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)49 (2) 【分析】本题考查了实数中平方根与立方根的相关知识，知道一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先根据一个正数的两个平方根互为相反数可列等式求x的值，再求出a的值． （2）先求出的值，再用立方根的定义求值． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴的立方根为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、估算无理数 1．估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 2．估计18的算术平方根介于（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．请写出与间的一个整数 ． 5．已知，则 ． 6．已知，若是整数，则a＝ ． 类型二、平移中的阴影部分求解 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，将左边的正方形向右平移5个单位，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．25 C．50 D．以上都不对 3．如图，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 5．如图，在三角形中，，，．将三角形沿着与垂直的方向向上平移，得到三角形，则阴影部分的面积为 ． 6．如图，（）沿着射线平移至的位置，若，则图中阴影部分的面积为 ． 类型三、平行线中的折线模型 1．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 2．一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（   ） A． B． C． D． 3．为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到，则与的数量关系是 ； 5．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为 ． 6．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为 ． 类型四、实数中的新定义运算 1．现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．14 D．6 2．对于实数a，b，定义：当时，；当时，．例如：．已知，且a和b为两个连续正整数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 4．对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 5．定义：对于实数，我们规定：表示不小于的最小整数，例如，．若，则的取值范围为 ． 6．对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 类型五、折叠问题 1．如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 3．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的4倍多，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则 ． 5．如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ． 6．如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则 ． 类型六、坐标系中的平行求坐标 1．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点坐标为，且平行于轴，求点与的距离； (2)若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第三象限，且到轴的距离为3，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 3．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上．求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 5．已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于x轴时，求点M的坐标； (2)若点M在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点M的坐标． 6．已知点． (1)若点N的坐标为，且直线轴，求点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 类型七、坐标系中的平移网格作图 1．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，,，若把向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为． (1)在图中画出平移后的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 2．如图，．过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在的延长线上截取． (1)写出点M的坐标； (2)平移线段，使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； (3)若P为y轴上一点，且，求P点坐标． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为． (1)请在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将三角形平移得三角形，已知，请在网格中画出三角形； (3)若点P在x轴上，且三角形与三角形的面积相等，请直接写出点P的坐标． 4．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为． (1)在图中画出，并求其面积； (2)已知是由经过平移得到的，若为三角形内的一点，求点P在内的对应点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标； (2)若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________； (3)求四边形的面积． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、． (1)请画出平移后的，并写出点的坐标 ； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为 ． 类型八、实数的实际应用 1．小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽． (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 2．小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 3．已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 4．在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 5．已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求： (1)这个长方体的底面边长； (2)这个长方体的表面积． 6．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 类型九、平行线中的判定(含依据) 1．如下图，已知分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 2．已知，如图，，、分别平分与，且．试说明：．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：、分别平分与（已知） ，（角平分线的定义） （________） （________）． （________） ________（________）． （________）． 3．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 4．如图，已知点E在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 5．（1）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． ①（已知）， ∴______（______）． ②（已知）， ____________（______）． ③（已知）， （______）． ④（已知）， ∴______（______）． （2）如图，已知平分平分． ①的度数为______； ②如果，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 6．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 类型十、平方根与立方根的综合运用 1．（1）已知的平方根是的立方根是3，求的平方根． （2）已知，求的值． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求的值； (2)若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的立方根． 3．已知a的两个平方根分别是4和，b的立方根是的相反数． (1)求m，b的值； (2)求的平方根． 4．已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 5．已知的平方根是，的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的和的算术平方根． 6．已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和． (1)求a的值； (2)求的立方根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$