精品解析：福建省泉州市安溪铭选中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

福建省安溪铭选中学2024-2025学年第二学期第一次学情检测初二年数学科 (时间: 120分钟 满分: 150分) 一．选择题(本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项) 1. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义：形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的概念依次判断即可． 【详解】解：，形式为，且B中含有字母，是分式； ，形式为，但B中不含字母，不是分式； ，形式为，且B中不含有字母，不是分式； ，形式为，且B中含有字母，是分式； 故一共有2个分式． 故选B 2. 下列关系式中， y不是x的函数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】A. B. C. 为一个自变量x对应一个因变量y； 一个一个自变量x对应一个或两个因变量y，故错误. 故选D. 【点睛】此题主要考查函数的定义，解题的关键熟知一个自变量x对应一个因变量y，y是x的函数 3. 芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算一粒芝麻的质量约为，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中，n为整数．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， 故选：B． 4. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可． 【详解】解；∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，此项不是最简分式，不符题意； B、是最简分式，符合题意； C、，此项不是最简分式，不符题意； D、，此项不是最简分式，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式，熟记定义是解题关键． 6. 如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的25倍 B. 扩大到原来的5倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】分别用5x和5y去代换原分式中的x和y即可得出结果. 【详解】当x、y都扩大到原来的5倍， 分子5xy扩大了25倍，分母x+y扩大了5倍， 所以原分式扩大了5倍. 故选B. 7. 把分式方程化为整式方程，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两边乘最简公分母即可判断． 【详解】解：﹣1=，两边乘x（x+1）得到：2（x+1）﹣x（x+1）=﹣x． 故选B． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，确定最简公分母是解题的关键，记住解分式方程的步骤，属于基础题． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为天，则慢马需要的实际为天，快马需要的实际为天，再根据速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马需要的实际为天，快马需要的实际为天， 由题意得，， 故选：B． 9. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】该分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解． 【详解】解：去分母得：x（x-a）-3（x-1）=x（x-1）， 去括号得：x2-ax-3x+3=x2-x， 移项合并得：（a+2）x=3． （1）把x=0代入（a+2）x=3， ∴a无解； 把x=1代入（a+2）x=3， 解得a=1； （2）（a+2）x=3， 当a+2=0时，0×x=3，x无解 即a=-2时，整式方程无解． 综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 10. 若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用给出的不等式组，可得x的范围，利用分式方程的解的特征，得到a的取值范围，综合考虑即可得到a的个数． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有解， ∴， ∴， 得， ∵， ∴， ∵分式方程有非负数解， ∴，且 解得且， ∴符合条件的整数a有， 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式方程． 二．填空题(本大题共6小题，共24分) 11. 化简：=__． 【答案】1 【解析】 【分析】利用同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即可得出答案． 【详解】解： =1． 故答案是：1. 【点睛】考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 计算：__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的运算，理解并掌握相关运算法则是解题关键．根据负整数指数幂运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案：． 14. 若点在第二象限， 则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，各象限中点的坐标特点，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据点P的位置可列不等式组 ，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 当______时，方程会产生增根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘最简公分母化为整式方程，把可能的增根代入即可求解． 【详解】解：方程两边都乘以公分母，得：①， 由，得：， 把代入①，得：． ∴当时，原方程有增根． 故答案为：． 16. 如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为___________． 【答案】41 【解析】 【分析】根据图形得到图形的变化规律：，根据规律代入将方程变形为，解方程即可． 【详解】解：由图可得，，，……， ∴， ∵， ∴ ， 解得（舍去）或， 故答案为：41． 【点睛】此题考查了规律探究，解分式方程，正确理解图形的计算规律代入方程计算是解题的关键． 三．解答题(本大题共9小题，共86.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据乘方的定义、绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】去分母，两边乘以，即可求解． 【详解】解：方程两边都乘以，得． 解这个方程，得． 经检验，当是原方程的根， ∴原方程解为． 【点睛】本题考查分式方程的解法，去分母是关键，注意要检验． 19. 先化简代数式 再从0，2，，1三个数中选一个恰当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确化简计算，掌握运算法则是解题的关键． 先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值代值计算即可． 【详解】原式 =， 根据分式有意义的条件可得：， 当时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）图见解析；，， （2）图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作． 小问1详解】 解：如图，即为所求作： ，，； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作： 21. 在平面直角坐标系中，已知点．，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点 P在y轴上； （2）点P到两坐标轴的距离相等． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查求点的坐标： （1）根据y轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （2）根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：或， 当时，， 当时，，， ∴或． 22. 关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程无解，求的值． 【答案】（1） （2）的值为4或 【解析】 【分析】（1）将分式方程化为整式方程，将代入即可求出a； （2）分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：去分母，得， ∴， ∵方程的增根为， ∴， 解得； 【小问2详解】 当时，方程无解，此时； 当时，，此时， ∴的值为4或． 【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握分式方程无解的情况是解题的关键． 23. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在密度ρ（单位：)的液体中，浸在液体中的高度h(单位：)与液体中的密度ρ的关系式为，橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多． （1）当密度计悬浮在一种液体中时，，该液体的密度ρ为 ； （2）求水的密度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）把代入，求得，于是得到结论； （2）设密度计浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为，根据“橘子汁的密度是水的密度的倍”得关于x的分式方程，列式计算进而求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 即该液体的密度ρ为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设密度计悬浸在水中的高度为x，则浸在橘子汁中的高度为， ∵橘子汁密度是水的密度的倍， ∴， 解得， ∴水的密度为． 答：水的密度为． 24. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【答案】（1）假分式 （2）或 （3）27 【解析】 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； 【小问2详解】 解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． 【小问3详解】 解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 25. 阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解中较小的一个为______； （2）解关于x的方程首先我们两边同加1成，设两个解分别为，（），则______，______； （3）关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 【答案】（1）2 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据x的方程有两个解分别为，，故在方程中，可得到，，即可得到，的值，比较大小即可得到答案， （2）根据题意可得到在中，，，即或，即可得到的值， （3）将变形成为已知条件中的形式，可得到，，进而得到，，由，可得到，的值，从而可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， ∴，， ∴较小的解是2； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：由， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法并理解题中给定的运算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省安溪铭选中学2024-2025学年第二学期第一次学情检测初二年数学科 (时间: 120分钟 满分: 150分) 一．选择题(本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项) 1. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列关系式中， y不是x的函数的是 （ ） A. B. C. D. 3. 芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算一粒芝麻的质量约为，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 4或 5. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的25倍 B. 扩大到原来的5倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 7. 把分式方程化为整式方程，正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 10. 若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．填空题(本大题共6小题，共24分) 11. 化简：=__． 12. 计算：__________． 13. 点关于原点对称的点的坐标是________． 14. 若点在第二象限， 则a取值范围是____________． 15. 当______时，方程会产生增根． 16. 如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为___________． 三．解答题(本大题共9小题，共86.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. 计算： ． 18 解方程：． 19. 先化简代数式 再从0，2，，1三个数中选一个恰当的数作为x的值代入求值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 21. 在平面直角坐标系中，已知点．，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点 Py轴上； （2）点P到两坐标轴的距离相等． 22. 关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程无解，求的值． 23. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在密度ρ（单位：)的液体中，浸在液体中的高度h(单位：)与液体中的密度ρ的关系式为，橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多． （1）当密度计悬浮在一种液体中时，，该液体的密度ρ为 ； （2）求水的密度． 24. 阅读下列材料： 通过小学学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 25. 阅读：对于两个不等非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解中较小的一个为______； （2）解关于x的方程首先我们两边同加1成，设两个解分别为，（），则______，______； （3）关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$