(精讲册)题型八 几何综合探究题［6年2考］（课件PPT）-【练客中考】2025年新疆数学总复习新思路

2025新疆 数学 精讲册 1 题型八 几何综合探究题 ［6年2考］ 2 类型 1 与动点有关（2024.23） 例1 （2024新疆23题13分）【探究】 （1）已知和 都是等边三角形. 例1题图1 ①如图1，当点在上时，连接.请探究， 和 之间的数量关系，并说明理由； 【思路点拨】利用等边三角形的性质，得出三角形全等，再利用全等三角 形对应边相等进行线段转化即可求解； 3 例1题图1 解： .理由如下： 和 是等边三角形， ，，， . 在和中， ， ， . ， . 4 解： .理由如下： 和 是等边三角形，， ， ， . ②如图2，当点在线段的延长线上时，连接.请再次探究， 和 之间的数量关系，并说明理由. 例1题图2 【思路点拨】与①思路相同，利用等边三角形的性质，得出三角 形全等，再利用全等三角形对应边相等进行线段转化即可求解； 在和中， ，， .， . 5 【运用】 （2）如图3，等边三角形中，，点在上，.点 是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形 ， 连接.当为直角三角形时，请直接写出 的长. 例1题图3 备用图 6 【思路点拨】由 为直角三角形，来分类讨论哪个角是直角，通过点 的位置关系去展开讨论即可.因为点是动点，根据本题【探究】 【运 用】，先构造共顶点的等边三角形，得出三角形全等，再利用全等三角形 的性质及直角三角形的相关知识求解即可. 例1题图3 备用图 7 例1题解图 【解法提示】过点作 ，则 为等边三角形. ①当点在点 左侧时，如解图1， , . 又 ，， ， . 此时 不可能为直角三角形. 解：的长为或 . 8 ②当点在点 右侧，且在线段 上时，如解图2， 同理可得 ， ， ， 此时只有有可能为 . 当 时， ， ， . 又 ， 例1题解图 , 则 , , 只有可能为 . 当 时， , , , . 综上所述，的长为或 . 例1题解图 1.在学习了正方形相关知识后，老师指导同学们对正方形进行了探究，在 正方形中，过点作射线，垂足为，点在 上. 第1题图 11 第1题图 （1）如图1，若是线段的中点，连接 ， 并将绕点逆时针旋转 与交于点 ，根 据题意在图中画出图形，并判断线段与 的 数量关系为_________； 解：画出图形如解图1. 第1题解图1 【操作判断】 12 【问题探究】 （2）如图2，若点在线段上时，连接 ，并将绕点逆时针旋转 与交于点 ，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若 不成立，请说明理由； 第1题图 13 解： 成立.证明如下： 同（1）可得， ， . 如解图2，过点作交于点 ， ， 是等腰直角 三角形， ， , ，， ，， . 第1题解图2 14 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转 与交于点，如果，，求 的长. 第1题图 15 第1题解图3 解：若点在线段 上，如解图3， 由（2）可知， ， ， ， 四边形 为正方形， ， . ， . ，， . 16 若点在线段 的延长线上，如解图4， 过点作 交于点 . ， ， ， 是等腰直角三角形， ， , 第1题解图4 ， ， . ， , ， . ， ， ， . 综上所述， 的长为或 . 第1题解图4 2.在菱形中， ，为对角线的中点，为线段 上 的一个动点（点不与点重合），分别过点，向直线作垂线 和 ，垂足分别为，，连接, . 第2题图 19 （1）如图1，当点在线段上，点与点重合时，求证： ； 【问题解决】 第2题图 20 证明：如解图1，连接 ， 四边形为菱形，为对角线 的中点， ，，三点共线，, . ，点与点 重合， ， , 为 中点， ，， . 第2题解图1 21 【问题探究】 （2）如图2，当点在线段上，与 还相等吗？如果相等，请证明； 如果不相等，请说明理由； 第2题图 22 解：与 相等,证明如下： 如解图2，当点在线段上时，延长交 于点 ， ， ， . ， ， ， ，， . 第2题解图2 23 【拓展延伸】 （3）当点在线段上运动， ，猜想线段，， 之 间有怎样的数量关系？并证明你的猜想. 第2题图 24 第2题解图3 解：或 ,证明如下： 由（2）知当点在线段上时， ， . 在中，， ， ， 是等边三角形， 同理可证，， . ， ； 如解图3，当点在线段上时，延长交 于点 . 25 ， . 在中，， ， ， 是等边三角形， ， . 综上所述，或 . 第2题解图3 第3题图 3.【问题发现】 （1）如图1，在和 中， ， ，点是线段上一动点，连接,求 的值； 27 第3题图 解： ， ， ， ， ， . 在和 中，， ，， . 28 【类比探究】 （2）如图2，在和 中， ， ，点是线段上一动点，连接，求 的值； 第3题图 29 第3题图 解： ， ， ， ， ， , ，， 又 ， ， . 30 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将点 改为直线上一动点，其余 条件不变，取线段 的中点，连接，，若，则当 是直角三角形时，线段 的长是多少？ 第3题图 31 第3题解图 解：若点在线段 上，如解图1， 由（2）知， ， ， . ， ， ， 在中，， ， . ，是 中点， . 32 是直角三角形， ， （负值已舍去）， ， 是直角三角形， ，即 ， 解得 （负值已舍去）， . 第3题解图 若点在线段 的延长线上，如解图2， 同理可得， . 第3题解图 ， ， （负值已舍去）， ， 综上所述，的长为或 . 4.【问题初探】数学课上，老师提出问题：如图1，是 的中线， 是的中点，的延长线交于，求证： . 第4题图 35 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲：如图2，过点作，交于点，利用全等将与 的数 量关系转化为与 之间的关系； 乙：如图3，过点作的平行线交 的延长线于点，利用相似将 与 的数量关系转化为与 之间的关系. 第4题图 36 第4题图 （1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程； 解：选择甲同学的证明思路（答案不唯一）. ， 为 中点，. 又 ， ， ，为中点， 为的中位线， ， . 37 【类比分析】 （2）老师发现两名同学都利用了转化思想.为了帮助同学们更好地利用 转化思想解决问题，老师提出了新问题：如图4，在中，是 边上的中线，，是的三等分点，交 于，交于， 求 的值； 第4题图 38 第4题解图1 解：如解图1，连接 ， ，是的三等分点， . ，为 的中位线， ， . 设，则 . ，，为 的中位线， ， . ， . 39 【学以致用】 （3）在中，.在直线上取点 ，使，连接 ，在线段上取点 ，连接，直线交直线于，当 时， 求 的值. 第4题图 40 第4题解图2 解：分两种情况讨论： ①连接，过点作 于点，过点作， 交的延长线于点，交 的延长线于点 ，如解图2， , . 又， . ， ， . ， ， , ， ， . . 41 ，， . 又，为 的中位线， . ，， ， 第4题解图2 ，， . , 为 的中位线， ， ， . ， ， ； 第4题解图3 ②过点作于点，过点作 于点 ，延长交于点，过点作 ，交 于点 ，如解图3， ，， . ， . 设，则 ， . ，， ， ，， . 43 . ，， ， ， ， ， ， . ，， . 又 ，为 的中位线， 第4题解图3 ， . ， . ， ， ， . 设，则 ， ， ， 第4题解图3 ， . 综上，的值为或 . 第5题图 5.在菱形中， ，是直线 上一动点，以为边向 右侧作等边 （，，按逆时针排列），点的位置随点 的位置 变化而变化. 46 （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形 内部或边上时，连 接，求与 之间的数量关系，并说明理由； 第5题图 47 第5题解图1 解： .理由如下： 如解图1，连接， 四边形 是菱形， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形，， ， ， ， . 48 （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形 外部时，请再次探 究与 之间的数量关系，并说明理由； 第5题图 49 第5题解图2 解： ，理由如下： 如解图2，连接， 四边形 是菱形， ， 和 都是等边三角形， ， ， . 是等边三角形，， ， ， ， ， . 50 （3）如图3，当点在直线上时，其他条件不变，连接 .若 ，，求 的面积. 第5题图 51 第5题解图3 解：如解图3，当点在的延长线上时，连接 交于点，连接交于点 . 四边形 是菱形， ，平分，平分 . ， ， ， , ，， . 同（2）可得， ， 52 ， ， . ， ， ， . ， . ， ， ， 第5题解图3 ,， ， . 是等边三角形， . 第5题解图4 如解图4，当点在 的延长线上时，同法可得 ， ， 综上所述，的面积为或 . 6.（2024贵州改编）综合与探究：已知 ，点在 的平 分线上，于点 . （1）如图1，点在线段上，连接 ，过点作交射线 于点 ，请探究线段，与 的数量关系，并说明理由； 第6题图 55 第6题解图1 解： .理由如下： 如解图1，过作于点.易知四边形 是矩形. 点在的平分线上，， ， ， 四边形 是正方形， ， ， 又 ，， ， ， . 56 （2）如图2，点在射线上，连接，过点作交射线 于点，请再次探究线段，与 的数量关系，并说明理由； 第6题图 57 第6题解图2 解： .理由如下：如解图2，过点作于点 ， 易知四边形 是矩形. 点在的平分线上，， ， ， 四边形 是正方形， ， . ， . 又 ， ， ， ， . 58 （3）点在射线上，连接，过点作交射线于点 ， 射线与射线相交于点，若，求 的值. 第6题图 59 解：①当在线段上时，如解图3，延长交射线于点 . 第6题解图3 由（2）知 ， 设，则， ， . ， ， ， . ， ， ， ； 60 第6题解图4 ②当在的延长线上时，如解图4，过作 于点，延长交于点 . 由（2）知，四边形 是正方形， ， ， . ， ， 又 ， ， ， ， . 设，则 ， 61 ， . ，， ，即 ，.， ， ， ； 综上所述，的值为或 . 第6题解图4 类型 2 与图形的变换有关（2022.23） 例2 在中， ，，，点， 分别是边 ，的中点，连接.将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为 . 【思路点拨】先利用勾股定理计算出， 再利用中点计算出和 ，从而求解； （1）如图1，当 时，求 的值. 例2题图1 63 解：当 时，在 中. ，， . ，分别是边， 的中点， ， ， . 例2题图1 64 （2）如图2，当 时，探究 的值是否发生变化？ 例2题图2 解:当 时， 的值没有变化.理由如下： 由旋转的性质可得 ，， ， ， ，，，故 的值没有变化. 【思路点拨】利用旋转的性质找出一组等角，结合已 知条件，得到一组相似三角形，利用相似三角形的性 质即可得出结论； 65 （3）在绕点逆时针旋转的过程中，当以点，，， 为顶点的 四边形为平行四边形时，求 的长. 例2题图1 例2题图2 【思路点拨】分四边形是平行四边形和四边形 是平行四边形 两种情况讨论，利用平行四边形和矩形的性质，结合勾股定理即可求解. 66 例2题解图 解：若四边形 是平行四边形， 如解图1，延长，交于点 四边形 是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，，在中. ， ，； 67 若四边形 是平行四边形,如解图2，则 ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ，， 三点共线， . 在 中，， ， ； 综上所述，的长为或 . 例2题解图 7.（2022新疆23题）如图，在中， ，，点 为的中点，点是线段上的动点（点不与点， 重合），将 沿折叠得到，连接 ． 第7题图 备用图 （1）当时，____ ； 69 （2）探究与 之间的数量关系，并给出证明； 第7题图 解： .证明如下： 将沿折叠得到， ， ，， ， ， , ． 70 （3）设，的面积为，以为边长的正方形的面积为 ， 求关于 的函数解析式. 第7题图 71 解：如解图，连接，，点是 的中点， ， ， ，． ，. 在 中， 第7题解图 ， 关于 的函数解析式为 ． 72 8.已知正方形和等腰直角， ，连接 ， . 第8题图 （1）如图1，探究线段与 之间的数量及位置关系，并说明理由； 73 第8题解图1 解：， .理由如下： 如解图1，延长交于点， 为等腰直角三角形，四边形 为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 . 74 （2）如图2，将绕点旋转，再将绕点顺时针方向旋转 至 ， 连接，探究线段与线段 之间的数量及位置关系，并说明理由； 第8题图 75 ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ，， ， 第8题解图2 解：, .理由如下： 如解图2，延长交于点，交于点 ， 四边形 是正方形，， ， ， . ， ，， ， . 四边形 为平行四边形，， . 76 （3）将绕点旋转至，延长交直线于点 ，交直线 于点，若，，求出 的长. 第8题图 77 第8题解图3 解：分两种情况,情况一：如解图3. AF//BE， ， ， 由（1）得 ，且 , 四边形 为正方形， ， . ， ， ， ， . ，， （负值已舍去）. 易证 ，， ； 78 第8题解图4 情况二：如解图4，同理得， ， ， 综上所述， 的长为3或15. 79 第9题图 9.【问题情境】数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究: 已知矩形纸片，，分别为， 上的点，将矩形纸片 沿 折叠. 【特例探究】（1）如图1，使点与点重合，点 的对应点记为，连 接.四边形 的形状为______，请说明理由； 菱形 80 解：菱形.理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， ，，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形 为菱形. 第9题图 81 （2）如图2，若点为的中点， ，延长交 于 点.求与 的数量关系，并说明理由； 第9题图 82 第9题解图1 解：，理由如下：如解图1，连接 ， 为的中点， . 四边形 是矩形， ， 由折叠的性质得， ， ， ， 在和 中， ， ， . 83 【深入探究】 （3）若，，，连接，当点为 的三等分点时， 求 的值. 第9题图 84 第9题解图2 解：分两种情况： ①如解图2，当点为的三等分点，且 时， ，， . 四边形是矩形， , ， ， 过点作于点 ，则四边形 为矩形， ，， ， ， 85 在 中，由勾股定理得 ， 由折叠的性质得， ， ， 在 中，由勾股定理得 ， ； 第9题解图2 ②如解图3，当点为的三等分点，且 时， 第9题解图3 ，， ，过点作于点 ，则 ， 同理可得， ，在中， ， 由折叠的性质得， ， ，在 中，由勾股定理得 ， ， 综上所述，的值为或 . 87 10.（2024烟台改编）在等腰直角 中， ，， 为直线 上任意一点，连接. 将线段绕点 按顺时针方向旋转 得线段，连接 . 第10题图 88 （1）如图1，当点在线段上时，请探究线段与 的数量关系，并 说明理由； 第10题图 【尝试发现】 89 第10题解图1 解： .理由如下： 如解图1，过点作延长线于点 ，由旋转得 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， . 90 【类比探究】 （2）当点在线段的延长线上时，请再次探究线段与 的数量关 系，并说明理由； 第10题图 91 由旋转得， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， . ， . 第10题解图2 解： ，理由如下： 如解图2，过点作于点 ， 92 【联系拓广】 （3）若，，求 的值. 第10题图 93 第10题解图3 解：如解图3，当点在的延长线上时，过点 作 交的延长线于点 ， 由（1）得， ， ， ， ； 94 第10题解图4 如解图4，当点在延长线上时，过点作交 的延长线于点 ， 同（2）可得 ， ， ， ， 在中， ， ， 综上，的值为或 . 95 类型 3 与图形形状变化有关 第11题图 11.在四边形中，是 边上一点，连接，延长至点使得 ． 96 第11题图 【问题解决】 （1）如图1，若四边形 是正方形，连接，延长交于点. 若为 的中点，则图中与全等的三角形是________, ______ ； 97 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是菱形， ，连接，延长交 于点，若为 的中点，求 的长； 第11题图 98 解：如解图1，过点作，交于点 . 四边形 是菱形， ，为 的中点， 为的中位线， ， ． 设，则 ， ． ，， ， 第11题解图1 解得 （负值已舍去）， ． 99 【拓展延伸】 第11题图 （3）如图3，若四边形是矩形， ，，点在 的延长 线上，且满足，当是直角三角形时，求 的长． 100 解： 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， . ， ， ． 如解图2，当 时， 设，则 ， ． 第11题解图2 101 ， ． ， ， ， ， ， 解得或，或 ． 第11题解图2 ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或 或2． 如解图3，当 时，过点作 ，交的延长线于点 . ， ， ， ．， ， ， ， ． 第11题解图3 103 12.（2024重庆A卷）在中，，点是 边上一点 （点不与端点重合）.点关于直线的对称点为点，连接， . 在直线上取一点，使，直线与直线交于点 . 第12题图 104 （1）如图1，若 ，， ，求 的度数 （用含 的代数式表示）； 第12题图 解：如解图1，， ， . ， . ， ， . 第12题解图1 105 （2）如图1，若 ，，用等式表示线段与 之间 的数量关系，并证明； 第12题图 解： .证明如下： 如解图2，在上截取， 连接， ，，交于点 . ， ， 为等边三角形， 第12题解图2 106 点关于直线的对称点为点 ， ，， ， ， ， ， ， ， ， . ， . 第12题解图2 ， ， . 107 四边形 是平行四边形， ， ， ，记与的交点为点 ， 由对称的性质可知， ， 在中， ， ， ， . 第12题解图2 （3）如图2，若 ，点从点移动到点的过程中，连接 ， 当为等腰三角形时，求 的值. 第12题图 109 第12题解图3 解：连接，记与的交点为点 ，如解图3， ， ， ，令 , 由对称的性质知 ， 当点在射线上时，由于 ， 当为等腰三角形时，只能是 . ， ， . ，，， . 110 ，， ， 在中， ， 解得 ， . ， 为等边三角形， ， 设 ，， ， 在中， . 第12题解图3 ， ， ， ， ， ； 第12题解图3 当点在延长线上时， ， 只能是 ，如解图4， 设 ， ， ， . ， . ， 在中， ， 解得 ， ， 第12题解图4 113 设，则， ， 在中， ， 由勾股定理得 ， 在中， ， ， ， ， ，综上所述，的值为或 . 第12题解图4 115 $$