(精讲册)第15讲 二次函数综合题-第2课时 二次函数与几何综合题（课件PPT）-【练客中考】2025年新疆数学总复习新思路

2025新疆 数学 精讲册 1 1 重难点突破 2 新疆6年中考真题及拓展 2 第2课时 二次函数与 几何综合题 3 01 重难点突破 4 类型 1 线段问题 例1 已知抛物线与轴交于,两点,与 轴交于点 . （1）求抛物线的解析式; 解:抛物线经过点,, 将,代入 ,得，解得， 抛物线的解析式为 . 返回目录 5 例1题图1 （2）如图1,设抛物线的顶点为,若是抛物线对称轴 上 一点,且,求点 的坐标; 解:易得抛物线的对称轴为直线 点 在抛物线的对称轴上, 设点的坐标为， 令 ,则,解得或 , ，, . , ,解得, 点 的坐标为 . 【思路点拨】设点 的坐标，利用两点之间的距离， 表示出线段长，利用等量关系求解. 返回目录 6 （3）如图2,设抛物线的顶点为,若是轴上一点,当 的值最小时, 求点 的坐标; 例1题图2 【思路点拨】将军饮马问题，作点的对称点，当，， 三点共线时，线段和取得最小值. 返回目录 7 例1题解图 解:如解图,作点关于轴的对称点,连接,与 轴的交点即为 的值最小时点 的位置. 由（1）可知抛物线的解析式为 , 抛物线的顶点坐标为, 由对称的性质得 , 设直线的解析式为 , 将代入，解得, 直线的解析式为 , 令,解得. 点的坐标为 . 返回目录 8 例1题图3 （4）如图3,连接,若 是第一象限内抛物线上一动点, 过点作轴交于点,求线段 的最大值. 解:由,得,直线的解析式为 , 设点的坐标为, 则点Q的坐标为 ， . ， 当 时,取得最大值,最大值为 . 【思路点拨】设点 的坐标，利用两点之间的距离， 表示出 的长，利用二次函数的性质即可求解. 返回目录 9 类型 2 面积问题 例2题图1 例2 如图1,二次函数的图象与轴交于 , 两点,与轴交于点,连接 . （1）求 的面积; 解:令,则 ， 解得, ， , ， . 令,则 ，， ， . 【思路点拨】利用三角形面积公式求解即可. 返回目录 10 例2题图2 （2）如图2,是直线下方抛物线上一点（点 不与点, 重合）,连接,,若 ,求点 的坐标; 解：， ， ， . 又 点为直线 下方抛物线上一点， 将代入,得 , ， 点的坐标为 . 【思路点拨】与 有公共边，由三角形面积公式，结合同底等高的三角形面积相等求解. 返回目录 11 例2题图3 （3）如图3,是直线下方抛物线上一点（点不与点 , 重合）,当点运动到什么位置时,四边形 的面积最 大?求出此时点的坐标和四边形 面积的最大值; 【思路点拨】利用分割法，将四边形分割为与 ，则，为定值，要求 的最大值，即求的最大值，过点作 轴的平行线，利用面积公式，结合二次函数性质求解即可. 返回目录 12 解：由（1）知,,, ， 又由,易得直线的解析式为 . 如图，过点作轴，交直线于点 . 设,则 , , . ，, 当 时,四边形 的面积取得最大值, 最大值为，此时点 的坐标为 . 返回目录 13 （4）如图4,是线段上的动点（点不与点,重合）,过点 作 交于点,连接,求面积的最大值和此时点 的坐标. 例2题图4 【思路点拨】设点的横坐标为,由和等高, ,利用面积比等于线段比,从而用含的式子表示出 的面积,再结合二次函数的增减性求解. 返回目录 14 例2题图4 解：设，,， ,, ， . ， ， . , . ，, 当时,的面积取得最大值, 最大值为，此时点的坐标为 . 返回目录 15 类型 3 特殊图形存在性问题 例3 已知抛物线与轴交于,两点（点在点 的左侧）, 与轴交于点,对称轴为直线,点 为抛物线的顶点. 例3题图1 （1）如图1,若是抛物线对称轴上一点,当 是 等腰三角形时,求出点 的坐标; 【思路点拨】当是等腰三角形时,分, ,三种情况讨论,设出点的坐标,分别表示出 的三边长,根据等腰三角形的性质列出等量关系求解即可. 返回目录 16 例3题图1 解: , 抛物线对称轴为直线,点的坐标为 . 点在抛物线对称轴上， 设点的坐标为 ， 令,则,解得, . 点在点左侧,, , ,, . 返回目录 17 是等腰三角形， 分三种情况讨论： ①当时,即 ,解得, 此时点 的坐标为; ②当时,即,解得或 （舍去），此时点的坐标为; ③当 时,即,解得,, 此时点 的坐标为或. 综上所述,点的坐标为 或或或 . 例3题图1 返回目录 18 （2）如图2,连接,已知是线段的中点,点从原点出发,在 轴的正半 轴上以每秒1个单位长度的速度向上匀速运动,设运动时间为秒,当 为何值 时,是以为斜边的直角三角形?求出此时点 的坐标; 例3题图2 【思路点拨】先根据中点坐标公式求出点的坐标,再根据题意设出点 的坐标，表示出,, 后利用勾股定理列方程求解即可. 返回目录 19 例3题图2 解：由（1）知，令,得, 是的中点,， 点在轴正半轴上， 设点P的坐标为,, , , 是以 为斜边的直角三角形， ,即， 解得或， 点的坐标为或 . 返回目录 20 （3）如图3,若是抛物线上一点,点是轴上一点,当以点,,, 为顶点 的四边形是平行四边形时,求出点 的坐标; 例3题图3 【思路点拨】分为平行四边形的边和 为平行四边形的对角线两种情况进行讨论,分别计算求出点 的坐标. 返回目录 21 例3题解图 解：如解图,由（1）知, ①当 为平行四边形的边时,若点在轴上方, 满足 ， , 当时,,解得, , 即,此时, 若点在 轴下方，,,故不存在; ②当 为平行四边形的对角线时,满足,. 同①得,即点, 重合,此时. 综上所述, 点的坐标为或 . 返回目录 22 （4）如图4,若是轴上一点,是平面内任意一点,当以点,,, 为顶点 的四边形是矩形时,求出点 的坐标. 例3题图4 【思路点拨】分为矩形的边和 为矩形的对角线两种情况进行讨论,分别计算求出点 的坐标. 返回目录 23 例3题图4 解:由（2）知,, , 设点的坐标为 , ,, ， ①当为矩形的边时,显然 , 则 , 即 , 解得, 点的坐标为 ; ②当为矩形的对角线时,显然 , 此时点与原点重合,点的坐标为 . 综上所述,点的坐标为或 . 返回目录 24 类型 4 角度、相似三角形问题 例4 已知抛物线与轴交于,两点（点在点 左侧）, 与轴交于点,对称轴为直线 . 例4题图1 （1）如图1,若点是抛物线对称轴上一点,当 时,求点 的坐标; 【思路点拨】根据可得 ， 从而求得 的度数,后求解即可. 返回目录 25 解:根据题意可得抛物线的对称轴为直线 , 点 是抛物线对称轴上的点， 点的横坐标为. 令,则 ，解得, ， 点在点左侧,,. 令,则 , , , . 如图,连接, ， , , . 返回目录 26 例4题图2 （2）如图2,若点是第一象限内抛物线上一点,过点 作 轴于点,当以点,,为顶点的三角形与 相似时,求出点 的横坐标; 【思路点拨】分两种情况讨论：和 分别求解即可. 返回目录 27 例4题解图 解：如解图,轴于点， , 要使与 相似，只需有一个锐角相等. ①当时, ， 由（1）知,，， ， 设直线的解析式为 ， 把,代入，得，解得 . 直线的解析式为， 直线 的解析式为 ， 联立,解得或 （舍去）， 点的横坐标为 ; 返回目录 28 ②当时， ,, .设点的坐标为 , 则点的坐标为， , ,,， 解得或（舍去）， 点的横坐标为. 综上所述,点的横坐标为或 . 例4题图2 返回目录 29 （3）如图3,若点是第一象限内抛物线上一点,过点作轴于点 , 连接,,当时,求直线 的解析式. 例4题图3 【思路点拨】通过角度关系和勾股定理求得 与 轴的交点坐标,再利用待定系数法求解即可. 返回目录 30 例4题解图 解:如解图,设与轴交于点 ， 轴， . ， . ， ， . 设,则， ， 返回目录 31 在中,由勾股定理得 ， ,解得 , . 设所在直线的解析式为 ， 把, 代入， 得,解得 , 直线的解析式为 . 例4题解图 返回目录 02 新疆6年中考真题及 拓展 33 第1题图 1.（2020新疆23题）如图，在平面直角坐标系中，点 为 坐标原点，抛物线的顶点是 ，将 绕点顺时针旋转 后得到，点 恰好在抛物线 上，与抛物线的对称轴交于点 . （1）求抛物线的解析式； 返回目录 34 第1题图 解： 抛物线的顶点是 ， 可设抛物线的解析式为 . 绕点顺时针旋转 后得到 ， . 把代入，解得 ， 抛物线的解析式为 ， 即 . 返回目录 35 （2）是线段上一动点，且不与点，重合，过点作平行于 轴的直 线，与的边分别交于，两点，将以直线 为对称轴翻 折，得到，设点的纵坐标为 . ①当在内部时，求 的取值范围； 第1题图 [答案] ， 直线的解析式为 . ， . ，， ， 由题意,得 ， . 返回目录 36 ②是否存在点，使？若存在，求出满足条件 的值； 若不存在，请说明理由. [答案] 存在点,使 . 易得直线的解析式为， 直线的解析式为 ， 不妨设点在点 的左边， 当点在轴上及轴上方时，点在上，点在上， ,， ， ， . 第1题图 返回目录 37 （ⅰ）当点在点上方时，, , . , , , 解得（舍去）， . （ⅱ）当点在点下方，且点在轴或轴上方时， , ， 第1题图 返回目录 . , , 此时方程无解; 当点在轴下方时，,点在上， 点在上， ,， , ，, . 同理可得 ， 整理，得 ,解得（舍去）, . 综上所述，满足条件的的值为或 . 第1题图 返回目录 第2题图 2.（2019新疆23题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过，， 三点. （1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标； 解：设抛物线的解析式为 ， 将代入，得，解得 ， 故抛物线的解析式为 . , 顶点的坐标为， . 返回目录 40 （2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移 个单位长度，得到新抛物线.若新抛物线的顶点在内，求 的 取值范围； 第2题图 返回目录 41 第2题图 解：抛物线向下平移个单位长度，再向左平移 个单位长度，得到新抛物线的顶点 ， 易得直线的解析式为 ， 直线的解析式为 , 将点的坐标代入直线 的解析式， 得，解得 ， 将点的坐标代入直线 的解析式， 得，解得 , 的取值范围为 . 返回目录 42 （3）点为线段上一动点（点不与点，重合），过点作 轴的垂 线交（1）中的抛物线于点，当与相似时，求 的面积. 第2题图 返回目录 43 解：如解图，设直线交轴于点 , 由题意，得， . 轴， , . 易得， ， 设， ， 则， . 第2题解图 返回目录 44 ①当 时，，即 ， 解得或 （舍去）， , ; ②当 时，,即 , 解得或 （舍去）， , . 综上所述，的面积为或 . 第2题解图 返回目录 45 3.（2023新疆23题）【建立模型】 （1）如图1，点是线段 上的一点， ，， ，垂足 分别为，，， . 求证： ； 返回目录 46 证明:，, , ， ， , . 在和中， , . 返回目录 47 【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与轴交于点， 与轴交于点 ，将线段绕点逆时针旋转 得到， 直线交轴于点 . ①求点 的坐标； 第3题解图1 解：如解图1，过点作 轴于点 ，根据题意， 得 .由（1）同理得， ，， . 易得一次函数的图象与 轴交点为,与轴交点为 , ， , 点的坐标为 . 返回目录 48 ②求直线 的解析式； 解：设直线的解析式为 ， 将,代入 中， 得,解得 , 直线的解析式为 . 返回目录 49 【拓展延伸】 （3）如图3，抛物线与轴交于，两点（点在点 的 左侧），与轴交于点，已知点，连接 .抛物线上是否存在点 ，使得？若存在，求出点 的横坐标. 解:存在.对于 ， 当时， ， ， ， ， . , . 返回目录 50 第3题解图2 ①如解图2，当点在上方时，过点 作 交的延长线于点 ，则 . 过点作轴,过点,分别作于点 ， 于点 , 易得 ， . 轴, , 返回目录 51 , 设，，则， , 点的坐标为 . 把代入 中，得 , 解得（舍去）， , 点的横坐标是 . 第3题解图2 返回目录 第3题解图3 ②如解图3，当点在下方时，过点 作 交的延长线于点 ，则 . 过点作轴，交轴于点，过点 作 于点 ， 易得 ， . 由题可知 返回目录 53 设,,则, ， 点的坐标为 ， 把代入 中,得 , 解得（舍去）， , 点的横坐标是 . 综上所述，点的横坐标是或 . 第3题解图3 返回目录 4.（2024甘肃省卷）如图1，抛物线交轴于， 两点，顶点为，点为 的中点. （1）求抛物线 的解析式； 解：由题意，得 ， 将点 的坐标代入上式， 得 ，解得， 抛物线 的解析式为 . 返回目录 55 （2）过点作，垂足为 ，交抛物线于点.求线段 的长； 解：由（1）知， ， 由中点坐标公式得点， 当 时， ， 则 . 返回目录 56 （3）点为线段 上一动点（点除外），在 右侧作平行四边形 . ①如图2，当点 落在抛物线上时，求点 的坐标； [答案] 由（2）知， ， 当时， ， 则 （不合题意的值已舍去）， 即点， . 返回目录 57 ②如图3，连接，，求 的最小值. 第4题解图1 [答案] 方法一：设点，则点 ， 如解图1，过点作直线轴，作点 关于 直线的对称点，连接, ， 则， 当， ，共线时， 为最小， 由，的坐标得，直线的表达式为 ， 将点的坐标代入上式得 ， 解得，则点，点 ， 则 的最小值为 ； 返回目录 58 第4题解图2 方法二：如解图2，作点关于 轴的对称点， 连接，， ， 则， . 为的中点，， . ， ， . 又， ， 则，则， 当，， 共线时， 为最小， 则 ，即的最小值为 . 返回目录 59 温馨提示 请完成《课后提升练》P33～34习题 返回目录 60 61 $$