精品解析：甘肃省陇南市文县2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

文县第一中学、文县第二中学、文县第三中学、文县东方中学 2024——2025学年度第二学期第一次月考联考试卷高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解. 【详解】根据题意，， ， 则. 故选：B. 3. 已知向量，，，则2x－y＝（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积运算的坐标形式计算求解. 【详解】因为，，， 所以，解得2x－y＝2，. 故选：C. 4. 从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算即可求解. 【详解】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数， 百位上的数字有除0外的5种选法， 十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法， 个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法， 所以总共有种不同的三位数， 故选：C 5. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解 【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率， 表示任取5个球中，有1个黑球的概率 表示任取5个球中，没有黑球的概率 所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率． 故选：B． 6. 在四棱锥中，若，则实数组可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断BCD． 【详解】选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，A可能取得； 选项B，若，则，B错误； 选项C，若，则，C错误； 选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，D错． 故选：A． 7. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的图象得出其单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，然后即可解出不等式. 【详解】由的图象可得出在上大于0 在上小于0 所以的解集为 故选：C 【点睛】本题考查的是函数的单调性与导数的关系，较简单. 8. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据原来的经验回归方程求出，经计算可知去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，即可求出的值． 【详解】因为原来的经验回归方程为，且平均数， 所以， 因为去除的两个样本点和，并且，， 所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为， 代入重新求得的经验回归方程，可得， 解得． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为 D. 若直线与BC所成的角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，，当时，平面，证明出线线垂直，进而得到线面垂直，得到；BCD选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用线线角的夹角公式得到，B错误；C选项，确定当时，体积最大，利用点到平面向量距离公式进行计算；D选项，计算出. 【详解】A选项，连接，取的中点，的中点， 连接，则， 故即为二面角的平面角，即， 当时，平面， 因为平面，所以， 因为矩形ABCD中，，，M是AD的中点， 所以，故为等腰直角三角形， 故，⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 存在，使得，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于此平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 当时，， 此时，， 故， 故不存在，使得，B错误； C选项，当时，平面，此时四棱锥的体积最大， 此时， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故点到平面的距离，C正确； D选项，，， 故 ，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 10. 已知函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得有两个不相等的实数根，利用可以判断A错误； 再利用韦达定理可以判断B正确； 利用导数研究的单调性，可以判断C正确； 利用为奇函数可以判断D正确. 【详解】由题可得有两个不相等的实数根， 所以， 所以错误； 根据题意，为的两个根， 所以正确； 因为，且为的两个根， 所以由得或， 由得， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以成立，C正确； 因为为奇函数， 所以关于对称， 所以关于对称，D正确， 故选：BCD. 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若有两个零点，则 B. 若是的极值点，则在上单调递减 C. 对任意的，存在，使得 D. 函数的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数求导函数，分两种情况分别得出函数单调性及零点判断A，B，C，最后根据单调性判断最值判断D. 【详解】，当单调递增； 当时，在上，单调递增；在上，单调递减； 由题意知：若有两个零点，则，且，解得， 又时，时，，此时有两个零点，A正确． 若是的极值点，则，故在单调递减，B正确； 当时，在上，单调递增；在上，单调递减； 故，当，即时，无零点，故C错误； ，当时，单调递增，无最大值，故D错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 【答案】 【解析】 【分析】借助相关系数的性质计算即可得. 【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 且， 所以H组数据的线性相关性最强. 故答案为：. 13. 已知在处有极小值为, 求 __________. 【答案】15 【解析】 【详解】∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2 ∴f'（x）=3x2+2ax+b， 又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10， 当a=4，b=﹣11时， ，f（x）在 在（1，+∞）↑ ∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10； 当a=﹣3，b=3时，f'（x）=3（x﹣1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值． ∴a=4，b=﹣11；且f（1）=10是极小值． 此时 故答案为15. 点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，其中根据已知条件，构造关于a，b的方程，是解答本题的关键，在解答过程中，通过解方程组，可以求出两组满足条件的a，b的值，其中一组可导致f（x）在R上单增，不满足题目要求，要舍去，这是函数的极值问题解答中的一个易忽略点． 14. 若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，；同时每次运动点不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可. 【详解】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”， 设，则， 由题意知，， 则由全概率公式可得，， 则， 即，两边同减去可得，， 又已知， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 故当时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 【答案】（1） （2） 当时，在上的单调递增区间为，无单调递减区间，； 当时，的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，在上的单调递减区间为，无单调递增区间，. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论即可根据导函数的正负，即可求解单调性得解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，， 故切线方程为，即， 【小问2详解】 且， 当时，，的单调增区间为，； 当时，若，，若，， 所以的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，，所以的单调减区间为，， 综上，当时，在上的单调递增区间为，无单调递减区间，； 当时，的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，在上的单调递减区间为，无单调递增区间，. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）极大值为，极小值为0． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，在定义域内由得增区间，由得减区间； （2）由单调性得极值点，计算得极值． 【小问1详解】 的定义域为， ，令，解得或， 令，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又，， 所以的极大值为，极小值为0． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，对m分类讨论：和两种情况，研究单调性即可； （2）先求出，构造函数，再用导数证明即可. 【详解】解：（1）定义域为： ， 当时，在上递减； 当时，令，则， 当递减；当递增； 在上递减，在上递增， 综上所述：当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增. （2）因为 由（1）可知：在上递减，在上递增. ， 令，则 所以，在上为增函数， 所以 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. （4）利用导数证明不等式. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接， 在菱形中，，，所以， 在中，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得逆定理及线面垂直判定定理证明平面，再结合菱形的对角线性质及线面垂直判定定理证明平面，再利用线面垂直性质定理即可证明结论； （2）先根据题意建立合适的空间直角坐标系，再求分别得平面与平面的法向量，再结合夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记，连接， 由点是棱的中点，且点是的中点，所以， 又由（1）知平面，所以平面， 则以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 因为是的中点，且， 所以， 所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 由图可知平面与平面所成角为锐角， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值为． 19. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 0 1 2 3 ，有关. （2）的分布列为：，.【解析】 【分析】（1）根据已知数据完善列联表，计算卡方值并与临界值比较即可； （2）根据二项分布概率公式写出分布列，再计算其期望和方差即可. 【小问1详解】 （1）列联表，如图所示： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关. 则， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为， 由已知得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以,. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文县第一中学、文县第二中学、文县第三中学、文县东方中学 2024——2025学年度第二学期第一次月考联考试卷高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则2x－y＝（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 4. 从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 5. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 6. 在四棱锥中，若，则实数组可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为 D. 若直线与BC所成的角为，则 10. 已知函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于点中心对称 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若有两个零点，则 B. 若是的极值点，则在上单调递减 C. 对任意的，存在，使得 D. 函数的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 13. 已知在处有极小值为, 求 __________. 14. 若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 19. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $