精品解析：北京市第五十中学2024-2025学年高二下学期3月检测数学试卷

北京市第五十中学2024-2025学年度第二学期 （高二、数学）三月检测试卷 2025.3 一、单选题：本大题共10小题，共50分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 与向量平行的一个向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共30分 11. 如图，直线是曲线在点处的切线，则________． 12. 函数，则_____. 13. 已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是____． 14. 已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为 ________. 15. 我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则______． 16. 已知函数，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号） ①是奇函数； ②在上是单调递增函数； ③方程有且仅有1个实数根； ④如果对任意，都有，那么的最大值为2. 三、解答题：本大题共5小题，共70.0分 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 18. 在如图所示的几何体中，四边形 为矩形，平面 ，其中是棱 的中点. （1）求证： 平面； （2）求直线 与平面夹角的正弦值； （3）求点 到平面的距离； 19. 已知函数，其中为常数，且． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上单调递减，请直接写出一个满足条件的值． 20. 已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”. （1）若函数是二次函数，证明：是“等差函数”. （2）判断函数是否为“等差函数”，并说明理由. （3）判断函数是否为“等比函数”，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十中学2024-2025学年度第二学期 （高二、数学）三月检测试卷 2025.3 一、单选题：本大题共10小题，共50分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集概念计算出答案. 【详解】. 故选：A. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数乘法求复数，进而有，根据其对应点坐标确定所在象限. 【详解】由，则， 所以在复平面内z对应点的坐标为，位于第一象限. 故选：A 3. 与向量平行的一个向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：B 4. 若函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，令，即可求解. 【详解】由函数的定义域，可得， 令，解得，即函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】 如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则、 、 、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 则 ， 故选：A 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法 （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 6. 曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到切线方程的斜率，进而求出切线方程，求出与坐标轴围成的三角形面积. 【详解】由，可得，又，， 故在点处的切线方程为，即. 令得，令得， 所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为. 故选：A. 7. 设，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性，然后可比较a，b；构造函数，利用导数讨论其单调性，然后可比较b，c，然后可得. 【详解】令，则， 当时，，单调递增， 所以，即， 令，则， 当时，，单调递减， 所以，即 所以. 故选：A 8. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案. 【详解】由题设，，则， 又直线与曲线相切于两点且横坐标为且， 所以的两个零点为，由图知：存在使， 综上，有三个不同零点， 由图：上，上，上，上， 所以在上递减，上递增，上递减，上递增. 故至少有两个极小值点和一个极大值点. 故选：C. 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断出函数为偶函数，排除B选项，再通过对变形设，求导得出单调性，进而分析时的情况，排除C，D选项. 【详解】∵，且定义域为， ∴为偶函数，故排除B选项，又因为， ，则恒成立， ∴在上单调递增，当时，， ∴当时，，且单调递增，故排除选项C、D. 10. 已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案. 【详解】设切点为，由可得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以在点处的切线为：， 因为切线过点，所以， 即，即这个方程有三个不等根即可， 切线的条数即为直线与图象交点的个数， 设， 则 由可得，由可得：或， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷， 的图象如下图，且， 要使与的图象有三个交点，则. 则的取值范围是:. 故选：A. 二、填空题：本大题共6小题，共30分 11. 如图，直线是曲线在点处的切线，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解. 【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为， 根据导数的定义，可得. 故答案为：1． 12. 函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用简单复合函数求导公式进行计算. 【详解】令，，则， 故. 故答案为： 13. 已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是____． 【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 【解析】 【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f′（x）≥0不恒成立，即可得到结论． 【详解】∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3， ∴f′（x）＝x2+2mx+m+2， ∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数， ∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立， ∴判别式△＝4m2﹣4（m+2）＞0， ∴m2﹣m﹣2＞0， 即m＜﹣1或m＞2， 故答案为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题． 14. 已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】由导数与函数单调性的关系，求得的解集后即可得解. 【详解】由题意， 令，则其在区间上的解集为， 所以f(x)的单调递增区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了运算求解能力，属于基础题. 15. 我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得. 【详解】由题可得. 故答案为：2. 16. 已知函数，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号） ①是奇函数； ②在上是单调递增函数； ③方程有且仅有1个实数根； ④如果对任意，都有，那么的最大值为2. 【答案】①②④ 【解析】 【详解】 根据题意，依次分析四个命题： 对于①中，，定义域是，且是奇函数，所以是正确的； 对于②中，若，则，所以的递增，所以是正确的； 对于③中，，令， 令可得，，即方程有一根， ，则方程有一根之间， 所以是错误的； 对于④中，如果对于任意，都有，即恒成立， 令，且， 若恒成立，则必有恒成立， 若，即恒成立， 而，若有，所以是正确的，综上可得①②④正确. 三、解答题：本大题共5小题，共70.0分 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为 （2）极大值16，极小值 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系即可求解； （2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，导函数， 令，解得， 则，随的变化情况如下表： 2 0 0 取极大值 取极小值 故函数的单调增区间为和，单调减区间为; 【小问2详解】 由小问1知，当时，函数取得极大值16; 当时，函数取得极小值． 18. 在如图所示的几何体中，四边形 为矩形，平面 ，其中是棱 的中点. （1）求证： 平面； （2）求直线 与平面夹角的正弦值； （3）求点 到平面的距离； 【答案】（1）证明：连接 交 于点，连接， 因为分别为的中点，所以 ， 又平面，平面， 则 平面； （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）连接 交 于点，连接，则由三角形的中位线定理可得 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可证得，且，所以以 为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解； （3）利用空间向量中的距离公式可求点 到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线平面平面 ， 所以，且， 则以 为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系； ，， 所以， 设平面的法向量为， 由，得， 令，得，且， 所以， 直线 与平面夹角的正弦值为； 【小问3详解】 因为， 且平面的法向量为， 则点 到平面的距离. 19. 已知函数，其中为常数，且． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上单调递减，请直接写出一个满足条件的值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求解切线方程； （2）对函数求导，分和两种情况讨论函数的单调性即可； （3）结合（2）的结论，要使函数在上单调递减，则，任取一个值即可. 【小问1详解】 当时，函数． 令，得，即切点坐标为． 导函数． 令，得，即切线斜率． 故切线方程为，即． 【小问2详解】 函数的定义域为． 导函数． 讨论：①当时，恒成立，故函数的单调增区间为． ②当时，令，解得． 0 所以函数的单调增区间为，单调减区间为． 综上所述，当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为． 【小问3详解】 结合（2）的结论可知，， 要使函数在上单调递减，则有，解得， 任取一个值，比如. 20. 已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点， 【解析】 【分析】（1）直接由椭圆C过点和解方程即可； （2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出，由解出点P的坐标即可. 【小问1详解】 由题知，椭圆C过点和， 所以，解得 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，， 由，得，∴， ∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP ∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF ， ∴ ∴恒成立 ∴，解得 ∴ ∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立． 【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到，表示出，，联立直线和椭圆后，由韦达定理及建立方程解出点P的坐标即可. 21. 定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”. （1）若函数是二次函数，证明：是“等差函数”. （2）判断函数是否为“等差函数”，并说明理由. （3）判断函数是否为“等比函数”，并说明理由. 【答案】（1） 令. 设，，是曲线上三个不同的点. 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，即，则，故是“等差函数”. （2） 假设函数为“等差函数”. 因为，且，，成等差数列，所以. 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得，令，即. 令，则. 令，则，故在上单调递增， ，即，则在上单调递增，. 故当时，，即无解， 故函数不是“等差函数”. （3） 假设函数为“等比函数”. 因为，且，，成等比数列，设公比为，所以，， 直线的斜率 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得. 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以在时无实数解，所以函数不是“等比函数”. 【解析】 【分析】（1）令，利用等差函数的定义计算可判断结论； （2）假设函数为“等差函数”，可得，，，进而利用换元法判断方程无解即可得结论； （3）假设函数为“等比函数”， 设公比为，所以，，求得， ，进而构造函数判断方程无解即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二，三问的关键是根据斜率关系式得到方程，再利用方程的结构特点选择恰当的方法判断方程无解即可得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $