第5讲 空间向量的概念与运算 讲义-2025届高三数学一轮复习

第5讲 空间向量的概念与运算 课标要求 1.会进行空间向量的线性运算. 2.理解共线向量定理与共面向量定理，并能解决相关问题. 3.会进行空间向量的数量积运算，能利用向量的数量积解决向量的夹角、模以及两向量的垂直问题. 考情分析 高考命题主要考查空间直角坐标系的建立，求点的坐标以及公式运用，预计2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查，试题难度中档. 理一理 1. 空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量（平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线①互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对任意两个空间向量,， 存在实数 ,使②   共面向量定理 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面 存在唯一的有序实数对，使 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量,,不共面，那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组，使得. 推论：设，，，是不共面的四点，则对平面内任一点都存在唯一的三个有序实数,,，使且③1 2. 空间向量的数量积及坐标运算 （1） 两个非零空间向量的数量积 ④,； ②; ③设，则,. （2） 空间向量运算的坐标表示 项目 , 向量和 向量差 数乘向量 , 数量积 ⑤   共线 ,,, 垂直 夹角公式 , 记一记 1.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点，，，可通过证明下列结论成立来证明三点共线： ； ②对空间任意一点，； ③对空间任意一点，. 2.证明空间四点共面的方法 对空间四点，，，，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面： ； ②对空间任意一点，； （或或）. 用一用 1. 已知空间任意一点和不共线的三点，，，若，则“，，”是“，，，四点共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 如果，，三点在同一直线上，那么3， 核心考点⇄师生共研 考点一 空间向量的线性运算 例1 如图，在长方体中，为的中点. （1） 化简： （2） 用，，表示，则 解题技法 空间向量线性运算中的三个关键点 对点训练 1. 已知点，，为线段上一点，且，则点的坐标为（ ） A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 2. 已知为矩形外一点，，分别为，上的点，且，，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 考点二 共线定理、共面定理的应用 例2 [2024·山东聊城模拟]已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足. （1） 判断，，三个向量是否共面； （2） 判断点是否在平面内. 解题技法 向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键 对点训练 1. 若,,三点共线，则 2. 已知，，三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点 平面.（填“ ”或“ ”） 考点三 空间向量数量积的应用 例3 如图所示，已知四面体的每条棱长都等于1，点，，分别是，，的中点. （1） 计算：； （2） 求证：; （3） 求的长. 解题技法 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量，所成的角为，则,进而可求两异面直线所成的角 求长度（距离） 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用,,可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 对点训练 已知，，.求： （1） ，； （2） 在上的投影向量. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知,,,则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如图，在长方体中，设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. （人教A版选择性必修第一册P47 T1改编）如图，在三棱柱中，,分别是，的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. （多选）下列说法中正确的是（ ） A. 若,则,是钝角 B. 若为直线的方向向量，则也是直线的方向向量 C. 若,则 D. 在三棱锥中，若,,则 6. 已知向量，，若，则2；若，则 7. 在空间直角坐标系中，若，，满足，则实数的值为 8. 如图所示，在直三棱柱中， ，，点，，分别是，，的中点，点是棱上的点.若，则线段的长度为 9. 已知空间三点，，，设，. （1） 若，且，求； （2） 求与夹角的余弦值； （3） 若与互相垂直，求实数的值. B 综合运用 10. 已知三棱锥的体积为13，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. （多选）已知为正方体，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角是 D. 正方体的体积为 12. 如图所示，正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的取值范围是 13. 已知是空间的一个基底，且，，，. （1） 求证：，，，四点共面； （2） ,,}能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. C 素养提升 14. 如图，正四面体的所有棱长均为1，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设，，，试用向量法解决下列问题： （1） 求； （2） 求，的夹角. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 空间向量的概念与运算 课标要求 1.会进行空间向量的线性运算. 2.理解共线向量定理与共面向量定理，并能解决相关问题. 3.会进行空间向量的数量积运算，能利用向量的数量积解决向量的夹角、模以及两向量的垂直问题. 考情分析 高考命题主要考查空间直角坐标系的建立，求点的坐标以及公式运用，预计2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查，试题难度中档. 理一理 1. 空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量（平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线①互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对任意两个空间向量,， 存在实数 ,使②   共面向量定理 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面 存在唯一的有序实数对，使 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量,,不共面，那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组，使得. 推论：设，，，是不共面的四点，则对平面内任一点都存在唯一的三个有序实数,,，使且③1 2. 空间向量的数量积及坐标运算 （1） 两个非零空间向量的数量积 ④,； ②; ③设，则,. （2） 空间向量运算的坐标表示 项目 , 向量和 向量差 数乘向量 , 数量积 ⑤   共线 ,,, 垂直 夹角公式 , 记一记 1.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点，，，可通过证明下列结论成立来证明三点共线： ； ②对空间任意一点，； ③对空间任意一点，. 2.证明空间四点共面的方法 对空间四点，，，，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面： ； ②对空间任意一点，； （或或）. 用一用 1. 已知空间任意一点和不共线的三点，，，若，则“，，”是“，，，四点共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]选.当，，时，，则，，，四点共面；而 的,,不止1,,3这一组，故“，，”是“，，，四点共面”的充分不必要条件.故选. 2. 如果，，三点在同一直线上，那么3， [解析]由题设，且，而，，所以 可得 核心考点⇄师生共研 考点一 空间向量的线性运算 例1 如图，在长方体中，为的中点. （1） 化简： [解析]. （2） 用，，表示，则 [解析] . 解题技法 空间向量线性运算中的三个关键点 对点训练 1. 已知点，，为线段上一点，且，则点的坐标为（ ） A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, [解析]选.因为，所以.设点，则，又，所以，解得,,，所以点 的坐标为,,.故选. 2. 已知为矩形外一点，，分别为，上的点，且，，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. [解析]选.由题可知，， 所以 ， 所以，，，所以.故选. 考点二 共线定理、共面定理的应用 例2 [2024·山东聊城模拟]已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足. （1） 判断，，三个向量是否共面； 【解】由题知， 所以， 即，所以，，共面. （2） 判断点是否在平面内. [答案] 由（1）知，，，共面且有公共点， 所以，，，四点共面，即点 在平面 内. 解题技法 向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键 对点训练 1. 若,,三点共线，则 [解析]因为,,且，，三点共线，所以存在实数 ,使得, 即, 所以 解得 所以. 2. 已知，，三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点 平面.（填“ ”或“ ”） [解析]因为 . 因为, 所以,,,四点共面，即点 平面. 考点三 空间向量数量积的应用 例3 如图所示，已知四面体的每条棱长都等于1，点，，分别是，，的中点. （1） 计算：； 【解】 设,,. 则,,,, . [答案],,所以. （2） 求证：; 证明：连接（图略），, 所以 . 故，即. （3） 求的长. [答案]由（2）知,,则,即 的长为. 解题技法 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量，所成的角为，则,进而可求两异面直线所成的角 求长度（距离） 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用,,可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 对点训练 已知，，.求： （1） ，； 解：因为，，， 所以，. 因为， ，， 所以，， 故，. （2） 在上的投影向量. [答案] 因为，， 所以. 因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为，. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知,,,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由 得，,又,所以. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 [解析]选.因为，所以存在实数，使得，即， 所以 解得 所以.故选. 3. 如图，在长方体中，设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. [解析]选.由长方体的性质可知，，，， ，所以. 4. （人教A版选择性必修第一册P47 T1改编）如图，在三棱柱中，,分别是，的中点，，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.连接，如图所示, 可得，因为， 所以，又 是 的中点， 所以， 所以， 又因为，且,分别是，的中点， 所以. 因此.故选. 5. （多选）下列说法中正确的是（ ） A. 若,则,是钝角 B. 若为直线的方向向量，则也是直线的方向向量 C. 若,则 D. 在三棱锥中，若,,则 [解析]选.对于，当 时，满足,但, ,不是钝角，故 错误； 对于，当 时，,不是直线 的方向向量，故 错误； 对于，由,得，则，所以，即，故 正确； 对于，过点 作 平面 交平面 于点，连接 并延长，交 于点，连接 并延长，交 于点，连接 并延长，交 于点（图略），由,可得，则，同理得，所以 为 的垂心，所以，则，从而，故 正确.故选. 6. 已知向量，，若，则2；若，则 [解析]若，则，解得.若，则，解得，则，所以，于是. 7. 在空间直角坐标系中，若，，满足，则实数的值为 [解析]由题知，，，所以，解得. 8. 如图所示，在直三棱柱中， ，，点，，分别是，，的中点，点是棱上的点.若，则线段的长度为 [解析]以 为坐标原点，，，的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为点 是棱 上的点，所以可设，，则，因为，所以，解得，所以，因此. 9. 已知空间三点，，，设，. （1） 若，且，求； 解：因为， 所以. 所以. 所以.所以 或. （2） 求与夹角的余弦值； [答案] 因为，， 所以， 又，， 所以，. 所以 与 夹角的余弦值为. （3） 若与互相垂直，求实数的值. [答案] 因为，，与 互相垂直， 所以， 解得 或. 即当 与 互相垂直时，或. B 综合运用 10. 已知三棱锥的体积为13，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 [解析]选.由，得， 即， 即， 则， 因为，所以在平面 内存在一点，使得 成立，即，则，所以.故选. 11. （多选）已知为正方体，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角是 D. 正方体的体积为 [解析]选.由向量的加法运算得到，因为，所以，故 正确；因为，，所以，故 正确；因为 是等边三角形，所以 ，又，所以异面直线 与 所成的角为 ，但是 与 的夹角是 ，故 错误；因为，所以，故，故 错误.故选. 12. 如图所示，正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的取值范围是 [解析]由题意，设,其中,.因此 的取值范围是. 13. 已知是空间的一个基底，且，，，. （1） 求证：，，，四点共面； 解：证明：由，， 而，则，所以，，，四点共面. （2） ,,}能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. [答案] 不能.假设,,共面， 则，即， 所以，则 解得 所以，假设成立，故 不能作为空间的一个基底. C 素养提升 14. 如图，正四面体的所有棱长均为1，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设，，，试用向量法解决下列问题： （1） 求； 解：因为点，，分别是棱,,的中点， 所以 ， 因此， 因为正四面体 的所有棱长均为1， 所以，所以. （2） 求，的夹角. [答案] 由（1）可知，, 同理，， , , 所以，的夹角为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$