第七章 §7.6 空间向量的概念与运算（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教A提高版）

§7.6　空间向量的概念与运算 课标要求　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 知识梳理 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 4.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量． (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 常用结论 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　) (2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(　×　) (3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＋＋＋＝0．(　√　) (4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　×　) 2．(选择性必修第一册P12T3改编)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b－c D．－a－b＋c 答案　C 解析　＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－a－b－c. 3．(选择性必修第一册P30例3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 答案　B 解析　以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝， 所以M， N， 所以＝， 又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以＝(0，a,0)， 所以·＝0，所以⊥. 因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C. 4．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案　10 解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b， ∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10. 题型一　空间向量的线性运算 例1 (1)(2023·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　由已知可得＝(1，－1,3)， ＝(x－1，－2，y＋4)． 因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ， 使得＝λ， 所以解得所以x＋y＝5. (2)(2023·淮安模拟)在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A.a－b＋c B.a－b＋c C.a＋b＋c D.a－b＋c 答案　A 解析　根据题意可得＝(＋)＝(a＋c)，＝＝(a＋c)， 所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋c)＝a－b＋c. 思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 跟踪训练1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) 答案　B 解析　由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)． (2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． ①化简－－＝________； ②用，，表示，则＝________. 答案　①　②＋＋ 解析　①－－＝－(＋)＝－＝＋＝. ②因为＝＝(＋)， 所以＝＋＝(＋)＋ ＝＋＋. 题型二　空间向量基本定理及其应用 例2 (1)下列命题正确的是(　　) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0 D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc 答案　C 解析　若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误； 因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误； 假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确； 假设b＝0，若a, c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a, c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误． (2)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若，共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 答案　CD 解析　由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确； 由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1， 可得P，A，B，C四点共面，所以C正确； 若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)， 当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确． 思维升华 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 跟踪训练2 (1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ等于(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案　B 解析　＝6－4＋λ， 即－＝6－4＋λ， 整理得＝6－3＋λ， 由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. (2)(2024·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋(1－x－y)，则||的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为＝x＋y＋(1－x－y)，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以||的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为的等边三角形，则＝×()2×sin ＝，S△ACD＝×1×1＝，由等体积法得＝，所以××d＝××1，解得d＝，所以||的最小值为. 题型三　空间向量数量积及其应用 例3 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. (1)解　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. 因为＝＋＋＝a＋b＋c， 所以||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝， 所以线段AC1的长为. (2)解　因为＝a＋b＋c，＝b－c， 所以·＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2 ＝0＋1＋1－4＝－2， ||＝|b－c|＝ ＝ ＝＝， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明　由①知＝c，＝b－a， 所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0， 即⊥， 所以AA1⊥BD. 思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算． 跟踪训练3 (1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心， ∴PO⊥平面ABC， ∴PO⊥AO，∴·＝0， ||＝·||·sin 60° ＝， 故·＝·(＋)＝||2＝||2－||2＝4－＝. (2)已知点P为棱长等于1的正方体ABCD－A1B1C1D1内部一动点，且||＝1，则·的值达到最小时，与夹角的余弦值为________． 答案　0 解析　取线段C1D1的中点E，则＝＋，＝＋＝－， 因为||＝1，所以点P在以A为球心的正方体内部的球面上，所以·＝(＋)·(－)＝2－＝||2－， 当A，P，E三点共线时，·取最小值， 此时||min＝||－1＝－1＝，此时·＝||2－＝0， 所以⊥，所以与的夹角为90°，则夹角的余弦值为0. 题型四　向量法证明平行、垂直 例4 如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． (1)证明　以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a， 则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E， B1(a,0,1)． 故＝(0,1,1)，＝. 因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 所以⊥，即B1E⊥AD1. (2)解　存在满足要求的点P. 假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)， 使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)， 设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)． ＝(a,0,1)，＝. 则即 取x＝1，则y＝－，z＝－a， 故n＝. 要使DP∥平面B1AE，只需n⊥， 则－az0＝0，解得z0＝， 所以存在点P，满足DP∥平面B1AE， 此时AP＝. 思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)． (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 跟踪训练4 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝AB，PB⊥AC. (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． (1)证明　在△ABC中， 因为BC＝2AB，AC＝AB， 所以AC2＋AB2＝BC2， 所以AC⊥AB， 又AC⊥PB，PB∩AB＝B， 且PB，AB⊂平面PAB， 所以AC⊥平面PAB， 又AC⊂平面ABCD， 所以平面PAB⊥平面ABCD. (2)解　假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD. 取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB， 因为平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB， 所以PH⊥平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(－2,2，0)，P(1,0，)， 则＝(－2,2，0)，＝(1,0，)， ＝(－4,2，0)，＝(3，－2，)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量， 则 取n1＝(，1，－1)． 设＝λ，其中0≤λ≤1. 则＝＋＝＋λ＝(3λ－4，2－2λ，λ)， 连接EF，因为AC∥平面BEQF，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF， 所以AC∥EF.取与同向的单位向量j＝(0,1,0)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量， 则 取n2＝(λ，0,4－3λ)． 由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2， 则n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0， 解得λ＝. 故在侧棱PD上存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD，＝. 课时精练 一、单项选择题 1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于(　　) A．－6 B．6 C．－4 D．4 答案　D 解析　若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0， 即3x－2－10＝0，解得x＝4. 2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则·等于(　　) A．1 B．2 C．3 D. 答案　A 解析　由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1， ＝＋＋， 所以·＝(＋＋)· ＝·＋·＋·＝0＋2＋0＝1. 3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 答案　B 解析　对于选项A，＝(1,0,1)，·n ＝5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有＝，所以·n＝0，故B正确． 4.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 答案　B 解析　∵＝＋＋， ∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·， ∵⊥，⊥， ∴·＝0，·＝0， ·＝||||cos(180°－120°)＝1×2×＝1. ∴2＝1＋2＋4＋2×1＝9， ∴||＝3. 5．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 答案　A 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中， AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF⊂平面ABCD， 所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD， 又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1， 所以EF⊥平面BDD1， 又EF⊂平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2， 则D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 则＝(－1,1,0)，＝(0,1,2)， ＝(2,2,0)，＝(2,0,2)， ＝(0,0,2)，＝(－2,2,0)， ＝(－2,2,0)． 设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则可取m＝(2,2，－1)， 同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)， 平面A1AC的一个法向量为n2＝(1,1,0)， 平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1,1，－1)， 则m·n1＝2－2＋1＝1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误； 因为m与n2不平行， 所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误； 因为m与n3不平行， 所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误． 6．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足＝λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)， B(4,0,0)， 设F(t,0,0)，0<t<4，＝λ(0<λ<1)， 则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)， ＝(4，－4,2)，＝(4λ，－4,0)， ＝(4,4，－4)，＝(4,0，－2)， 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)， 设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)， 则 取a＝1，得m＝(1,1,2)， ∵平面DEF⊥平面PCE， ∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝. 二、多项选择题 7．下列关于空间向量的命题中，正确的有(　　) A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b B．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c C．若{，，}是空间的一个基底，且＝＋＋，则A，B，C，D四点共面 D．若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则{a，b，c}也是空间的一个基底 答案　ACD 解析　对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确； 对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误； 对于C，若{，，}是空间的一个基底，且＝＋＋， 则－＝(－)＋(－)，即＝＋， 可得A，B，C，D四点共面，故C正确； 对于D，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底， 则对空间中任意一个向量d，存在唯一实数组(x，y，z), 使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c， 则{a，b，c}也是空间的一个基底，故D正确． 8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为正方形A1B1C1D1的中心，E，F分别为AB，BB1的中点，下列结论正确的是(　　) A．C1D∥平面EFG B.＝＋ C.·＝0 D．A1C⊥平面EFG 答案　AC 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，因为E是棱AB的中点，F是棱BB1的中点，G是正方形A1B1C1D1的中心，设正方体的棱长为1， 可得A(0,0,0)，A1(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)，E，F，G，D1(0,1,1)，B1(1,0,1)， 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， ＝，＝， 则 令x＝1，∴n＝(1,2，－1)， ∵＝(－1,0，－1)，·n＝(－1)×1＋0×2＋(－1)×(－1)＝0，C1D⊄平面EFG， ∴C1D∥平面EFG，故A选项正确； ∵＝(1,1，－1)，与n不平行，∴A1C不与平面EFG垂直，故D选项错误； ∵＝，＝， ∴·＝×＋×0＋×＝0，故C选项正确； ∵＝(1，－1,0)，＝(0,0，－1)，＋＝(1，－1，－1)， ∴≠＋，故B选项错误． 三、填空题 9．已知向量a＝(1,1,0)，则与a同向共线的单位向量e＝________. 答案　 解析　因为向量a＝(1,1,0)， 所以|a|＝＝， 所以与a同向共线的单位向量为e＝＝. 10．(2023·徐州模拟)在空间直角坐标系中，已知A(1,1,0)，B(－1,0,2)，点C满足＝3，则点C的坐标为________． 答案　(－5，－2,6) 解析　设C(x，y，z)， 则＝(－2，－1,2)，＝(x－1，y－1，z) ＝3＝(－6，－3,6)， 故解得 故点C的坐标为(－5，－2,6)． 11．(2023·信阳模拟)在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，BC的中点为M，＝a，＝b，＝c，则 可用a，b，c表示为________________． 答案　－a＋b＋c 解析　＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 12.如图，已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面α，交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点．则＋＋＝________. 答案　 解析　如图，设BC的中点为E，连接AE，PE，PO，则O在AE上且AO＝2OE， 所以＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋×(＋) ＝(＋＋)． 故＝＋＋， 由于S，M，N，O四点共面， 于是＋＋＝1， 因此＋＋＝. 四、解答题 13.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证： (1)PB∥平面EFH； (2)PD⊥平面AHF. 证明　(1)∵E，H分别是线段PA，AB的中点， ∴PB∥EH. ∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH， ∴PB∥平面EFH. (2)建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)． ＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)， ∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， ·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. ∴⊥，⊥， ∴PD⊥AF，PD⊥AH. ∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF， ∴PD⊥平面AHF. 14.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长均为，底面ABCD为正方形，∠A1AB＝∠A1AD＝，点E为BB1的中点，点F为CC1的中点，动点P在平面ABCD内． (1)若O为AC的中点，求证：A1O⊥AO； (2)若FP∥平面D1AE，求线段CP长度的最小值． (1)证明　由已知AB＝A1A＝AD＝，∠A1AD＝，∠A1AB＝，∠BAD＝， 所以·＝××cos ＝1， ·＝××cos ＝1， ·＝0， 因为O为AC的中点， 所以＝＝＋， 又·＝(－)· ＝· ＝＋0＋0＋－－＝0， 所以⊥， 所以A1O⊥AO. (2)解　连接A1D，A1B， 因为A1A＝AD＝，∠A1AD＝， 所以A1D＝， 因为A1A＝AB＝，∠A1AB＝， 所以A1B＝， 连接BD， 由正方形的性质可得B，O，D三点共线，O为BD的中点， 所以A1O⊥BD， 由(1)可知A1O⊥AO， AO，BD⊂平面ABCD，AO∩BD＝O， 所以A1O⊥平面ABCD， 以O为坐标原点， OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)， ＝(－1，－1,0)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)， ＝＋＝(－2，－1,1)， ＝＋＝＋＝， 设平面D1AE的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令x＝3，则z＝7，y＝1. 所以n＝(3,1,7)为平面D1AE的一个法向量， 因为点P在平面ABCD内， 故设点P的坐标为(m，n,0)， 因为＝－＝－(＋)＝－－＝， 又FP∥平面D1AE， 所以·n＝3＋n－＝0，即3m＋n＋1＝0， 所以||＝ ＝＝ ＝， 所以当m＝－时，||有最小值，最小值为. 15．(多选)(2024·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　) A．MN⊥A1M B．MN⊥平面D1MC C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥C1－A1D1M的体积不变 答案　ACD 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)， C(0,3,0)，B(3,3,0)， 设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，＝(3，y，－3)，＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN， 则·＝y(3－y)－3z＝0， 即z＝y(3－y)． 对于A，连接A1M，＝(0，y，－3)，则·＝y(3－y)－3z＝0，则⊥，MN⊥A1M，故A正确； 对于B，＝(3，y－3,0)，·＝(y－3)·(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，故B错误； 对于C，＝(0,0，z)，则线段BN的长度||＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，故C正确； 对于D，连接A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝＝×3·＝，所以三棱锥C1－A1D1M的体积为定值，故D正确． 16.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是侧面BB1C1C内的一个动点．若点E满足⊥，则||的最大值为__________，最小值为__________． 答案　2　－1 解析　如图，建立空间直角坐标系，则C(0,2,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，设E(x,2，z)，x∈[0,2]，z∈[0,2]， 所以＝(x,2，z－2)，＝(x,0，z)， 因为⊥，所以·＝x2＋z(z－2)＝0，即x2＋(z－1)2＝1，x∈[0,2]，z∈[0,2]，则动点E的轨迹为以(0,2,1)为圆心，1为半径的半圆， 将其放到平面直角坐标系中如图所示，则B(2,0)，M(0,1)，N(0,2)，所以||＝＝，所以||min＝－1； 显然当点E在点N处(即立体图形中的C1点)时，||取得最大值，||max＝＝2， 因此，||的最大值为2，最小值为－1. 谢谢 学科网（北京）股份有限公司 $