精品解析：河南省信阳市等五市2025届高三下学期第一次联考数学试题

2025年河南省五市高三第一次联考 数学 注意事项： 1.本试卷共19道题，满分：150分，考试时间：120分钟. 2.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 3.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 4.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（答字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 5.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 6.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角和的终边关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 7. 某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 椭圆的离心率为 D. 是椭圆的一个焦点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 平均数为85 B. 平均数为86 C. 方差为28 D. 方差为52 10. 对于给定数列，如果存在常数p，q使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”.下列说法正确的有（ ） A. 若，，则数列是“数列” B. 共，，则数列是“数列” C. 若数列是“数列”，则数列不是“H数列” D. 若数列满足，，t为常数，则数列前2024项的和为 11. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（ ） A. 若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B. 若为正三角形，则其面积为 C. 若，则的面积的最小值为 D. 一般情况下，的面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______． 13. 已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____. 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 16. 2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 10 12 16 19 11 （1）已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； （2）如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望. 参考公式：在线性回归方程中，，. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，，. （1）若为线段的中点，求证：平面. （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点M，N. （1）求曲线的方程； （2）若以线段为直径的圆经过点. ①求证：直线过定点，并求出的坐标； ②求三角形面积的最大值. 19. 已知函数，其导函数为. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，是函数的两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2025年河南省五市高三第一次联考 数学 注意事项： 1.本试卷共19道题，满分：150分，考试时间：120分钟. 2.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效 3.答题前，考生务必先将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上 4选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（答字)笔或碳素笔 书写，字体工整，笔迹清楚 5.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效、 6.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知全集0={eNI-2<x<9y,M=3,4,5},P={L3,6},则(GM)n(GP)是() A.{2,7,8 B.{2,3,4,5,7,8} C.{1,2,4,5,6,7,8} D.{1,2,367,8 【答案】A 【解析】 【分析】将全集进行化简，补集及交集运算，即可得出答案 第1页/共32页 学科网命组卷网 【详解】因为全集V={∈N-2<x<9},M={3,45),P={3,6, 则0=12,3456,7,8}，GM={1,2,67,8}.CP={2,4,57,8y 所以(GM)n(G,P）-=2,7,8y 故选：A. 2已知复数2满足1+i)2= ,则z=() 1 1,1 --+1 11 A.22 B.22 D.22 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求解即可 -i-i1-i)-1-i=-1_1 【详解】因为1+)z=i,所以2=1+i(0+0-)2=22 故选：D. 3.已知{a,}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S.,4,=1,且2a4与马的等差中项为4，则S 等于() 11 15 A.4 B.4 C.4 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列a,}的公比为9q>0,由腰意可得29+g-8=0,可求公比，进而求得S 【详解】设等比数列a}的公比为99>0， 20,与”的等差中项为4，所以2a,+4=2x4=8 因 第2页/共32页 命学科网命组卷网 又4=1，所以29+9-8=0，所以（9+49-2)=0，解得9=2或9=4（合去）， 所以{a}的通项公式为4=1x2”3=2 所以8=a+4,+4, 4++1= 11 4”2 4 故选：B。 4若d=2,=1,(日-列1万，则向量石在向量石上的投影向量为() C.-B D.b 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直可得 .b=1 ,进而求投影向量。 【详解】因为d=2,=1,(a-b）16 则(a-b)6=i-6-b=d-b-1=0,即a:6=l a.b 所以向量。在向量方上的投影向量为 6=6 6 故选：D 5.已知角“和P的终边关于直线'=x对称，且sia+2sinB=5,则nB=（) 2W5 5 5 2W5 A. B- 5 c.5 D.5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到sina=cosB,进而得到cosB+2sinB=V5, 再结合辅助角公式即可求解； 第3页/共32页 学科网命组卷网 【详解】设角口的终边与单位圆的交点为m,川），由思意可知角P的终边与单位圆的交点为m,m）, sina =n,cosa =m,sinB=m,cos B=n 所以 所以由sina+2sinB=V5 可得：cosB+2sinB=V5 5-sinB=1 ,c0s0=2V5 si咖(0+月=1，其hsim0=5, 5, 商0+月-号+2ae乙.mA-+2版-0keZ, -2 所以sinB=2V5 5, 故选：D 6已知定义在R上的西数f()=d心与函数8()=acos(2-刘的图象有唯一公共点，则实数a的值为 () A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】由两个函数图象都关于x=2对称，即可求解： 第4页/共32页 学科网命组卷网 【详解1易知f()=e 的图象关于x=2对称， 且当x>2时，单调递增，当x<2时单调递减， 又8()=acos(2-)=acos(x-2）,由可看作y=acosx向右平移两个单位得到， 所以8()=ac0s(x-2)的图象也关于x=2对称， 由于函数f(四-e与函数3()=acos(2-的图象有嚯一公共点， 即方程4=a©0s(2-刘只有一根，因为两丙数图象都关于x=2对称， 所以方程的根为2， 即e23=acos(2-2),解得：a=1, 经检验符合题意， y=f(x) y=g(x) 故选：C 7.某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序， 在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场'的概率为( ) 3 1 1 4 A.13 B.5 C.4 D.13 【答案】A 【解析】 【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一个出场的方法 数，然后由概率公式计算. 第5页/共32页 命学科网命组卷网 【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出 场， 方法数为 A+CCA:=78 在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”， 即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为 CA=18 183 P= 因此所求概率为7813. 故选：A 8将椭图G: +尔=1(a>b>0)上所有的点绕原点能转 0<0< 2角，得到椭圆C,的方程： x2+y2-xy=9 ,则下列说法中不正确的是() 4 B.a=32 2 C.椭圆C2的离心率为3 D.（-V6,-V6)是椭圆C,的一个焦点 【答案】C 【解析】 a,b,c 【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可求得 ，再由椭圆的性质对选项逐一判 断，即可得到结果。 π 〔详解】椭圆C之2+62=1(a>b>0)上所有的点绕原点旋转 角，得到椭圆C,的方程： x2+y2-y=9 设点Px,》在该椭圆上，则其关于y=x的对称点以)代入椭圆方程有广+-x=9,即 第6页/共32页 命学科网命组卷网 x2+y2-xy=9 ,则该对称点位于椭圆方程上， 同理可得其关于y=一的对称点少-代入椭圆方程有 (-y}'+(x}-(-y(-x)=9,即x2+y-y=9,则该对称点位于椭圆方程上， 所以x2+y2-y=9关于直线y=±x,所以04，故A正确： 将)=代入女+少-y=9,可得=9，所以x=3, 所以稀圆长销的顶点为3,3引-3，-3)，所以4=V9+9=3V5,放B正确， 将将y=-x代入+少-y=9,可得2=3，所以x=士5 所以椭圆短轴的顶点为(5，-√5，（一V5,V3),所以b=V3+3=V6 c23V6 所以e=V8-6=25,所以e=。3N23,放c不正确： 焦点在y=x,结合c=2V5,可得焦点坐标为(6,6)(V6,-6),放D正确 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 第7页/共32页 6学科网命组卷网 9在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取A班的一组数据：4，马，4， 0,a,和B班的一组数据：么，，么，6进行分析经计算，两组数据的平均数分别为ā=90， 万=80，方差分别为号=36，=1 将两组数据合并为一组数据9，C,C,…C,C0,则这组新数据的 平均数和方差分别为() A.平均数为85 B.平均数为86 C.方差为28 D.方差为52 【答案】BD 【解析】 【分析】由两组数据的平均数、方差计算公式即可求解： ,6a+46_540+320=86 【详解】=10 10 =8[+(90-86]+0[+(80-86]-52 故选：BD 10,对于给定数列C},如果存在常数卫，q使得1=c,+9对于任意neN都成立，我们称数列fc} 是“H数列”.下列说法正确的有（′） A若a,=2n+1,n∈N,则数列a}是H数列 B共.=3-2，neN,则数列，}是H数列 C若数列a,}是H数列，则数列a.+a+不是“H数列 D.若数列fa,}满足4=2，a,+a1=31-2(n∈N）,‘为常数，则数列{a,}前2024项的和为 21(41-1 【答案】AB 【解析】 第8页/共32页 命学科网命组卷网 【分析】对于AB,根据给定的数列，利用“H数列”的定义直接计算判断即可；对于C,利用“H数列的 定义推理论证可判断；对于D,根据给定的递推关系，利用并项求和法及等比数列的前项和公式求解即 可判断 【详解】对于A.因为0，=2m+1,有01=2n+)+1,则01=a,+2,n∈N, 故数列a,}是H数列，故A正确： 对于B,因为6=3-2，有bm=3-2”,则b=26,neN 故数列包，}是H数列，故B正确 对于C,若数列{a}是H数列 则存在实常数p,q使得an+l=pan十9对于任意n∈N都成立， 显然a,2=pan+9对于任意n∈N都成立， 因此a2+a,1=p(a+a,)29对于任意neN都成立， 故数列数列a,+a,也是“H数列，对应的实常数分别为P,2g,故C不正确： 对于D,因为a,+a=31:2”(n∈N) 则4+4=31：2,4+a=31-2,…,ams+a4=31.2 所以数列{a}前2024项的和为Sm4=（a+4)+(a+a,)+…+(a+amx) S24=31:2+31.2++3.203=31.20-402）=21(402-0枚D错 1-4 故选：AB. 11.阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义 了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形 第9页/共32页 6学科网命组卷网 设抛物线C:y=X上两个不同点A,B横坐标分别为，古，以A,B为切点的切线交于P点关于阿基 米德三角形PAB的说法正确的有() A.若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上 35 B.若APAB为正三角形，则其面积为4 1 C.若PA⊥PB,则△PAB的面积的最小值为4 D一股情况下，AP1B的面积S=凸 4 【答案】ABC 【解析】 A,B 【分析】设出直线AB的斜截式方程、点4，B的坐标，根据导数的几何意义求出切线 A,PB 的方程，进 而求出点P的坐标，将直线AB的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的 关系 A:把抛物线焦点的坐标代入直线AB的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可： B:根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可； C:根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可； D:根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可 【详解】由题意可知：直线AB一定存在斜率， 所以设直线1B的方程为：少=+m 由题意可知：点4，)，B(,),不妨设<0<， 由y=r→y=2x,所以直线切线PA,PB的方程分别为： y-x2=2x(x-x),y-x=2x2(x-x2) 第10页/共32页 6学科网命组卷网 y-x=2x(x-x) 两方程联立得： y-x2=2x2(x-x2) x=+龙 解得： y=xx2 ，所以点坐标为：色+之，)少 P 2 直线AB的方程与抛物线方程联立得： y=+m→2-kc-m=0今名+为=k,x不=-m (y=x2 对于A:抛物线C:y=x的焦点坐标为 宁，准线方程为=4 1 因为B过抛物线的焦点，所以"4，而石=一m、 1m= 4 显然P点一定在抛物线的准线上，故A正确： 对于B:因为阿基米德三角形PAB PAHPBI 为正三角形，所以有 因为方≠龙，所以化简得：方=-名 此时4，B(-,),P点整标为：0，-)， 因为阿基米德三角形PAB为正三角形，所以有P4HAB, 所以v0-)+(-了=-2x→5=-5 2 因此正三角形PMB的边长为V5 所以正三角形PAB的面积为 第11页/共32页 6学科网6组卷网 xv5xJ5.sinc0-xxx3 4，故B正确： 对于C:阿基米德三角形PAB为直角三角形，当PA⊥PB时， 十五-x十互- 2 國kk=-'即 。=1,化简得x=一 y=kx+ 直线AB的方程为： 4, D坐标为2,4，点P到直线4B的距 +((-+ V2+(-102 又ABFV(x-x)》2+(x-x)2=Vx-x2)21+(x+x)] =V(x+x2)》2-4xx2]1+(x+x2)2]. 1 因为+6=k3=4,所以4B=+0+码)=1+足， 因此直角PAB的面积为：22 +1+0-胶+≥号 1 当且仅当k=0时，取等号，所以其面积有最小值4，故C正确： 对于D:因为+名=k名=-m,所以 14B-x322+(x2-x)2=Vx-x)21+(x+x)2]=x-x小Nk2+1， 点P到直线AB的距离为： 第12页/供32页 命学科网命组卷网 +龙.k+(-)xx3+m 2 x+五（化+x)+()xx-(6 2 1(x-x} V2+(-102 VR2+(-) 2Vk2+1 所以阿基米德三角形PAB的面积为 k号- 4， 故D不正确。 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 6 12 -2 的展开式中常数项为 【答案】60 【解析】 【详解】 的展开式的通现为=C((=(2C户】 r=01,2,, 6. 3、3 2 =0,得，=2所以 的展开式中常数项为(-1)2C%×22=60. 13.己知三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=7,AB=5,BC=7,AC=8,则三棱锥P-ABC的外 接球的表面积为一 147π147 - 【答案】2拼2 【解析】 【分析】先通过余弦定理求出△ABC的一个内角的余弦值，进而求出正弦值，再利用正弦定理求出△ABC 外接圆的半径”，然后根据三棱锥的性质求出外接球的半径R，最后根据球的表面积公式求出外接球的表 面积。 第13页供32页 学科网命组卷网 【详解】在△ABC中，已知AB=5,BC=7,AC=8, 2-1BBC可得：c0s∠1BC-53,+72-8°-25+49-641 根据余弦定理0sB=B2+BC-4C 2×5×770 7 48_4v3 AC 设△ABC外接圆的半径为r,根据正弦定理sin∠ABC 2 2r=8=8×714 43435 7 可得： ，则r= 7 因为PA=PB=PC=7,所以点P在平面ABC上的射影O是△MBC的外心， Or. B 设三棱锥P-ABC外接球的球心为O,半径为R,则O01平面ABC,且P0=R,OO=VR-r2 987√6 又为R=r+0-,-(产+36m 展开可得，2=9+814V6 R+R2 333 第14页/供32页 6学科网6组卷网 4-g警--9825 移项化简可得3 4· 根据球的表面积公式 S=4πR2 可得： 2N6=4m×1 S=4π× 294147π 4 162 147π 故答案为：2· 14.若关于x的不等式 og。x≤a恒成立，则实数a的取值范围是一 【答案】 【解析】 令fy)=nx ,求导求得最大值即可. 【详解】因不等式 logx≤a 恒成立，可知a>1,lna>0 由log。x≤a,可得na x≤eha(x>0) 则ha-h≥xhx=che x 令0=e,则h0=(t+1)e 当>-l时，h0>0,当<-时，hO<0, 所心0在0，-》上单调递减，在，+o）上单调道增， 当<0时，0=e<0,当>0时，h0=c>0, 第15页/供32页 6学科网列组卷网 lnx na≥ 因为x>0,na>0,所以xna>0,故只需xna≥lnx即可，故 x, 术，求导得f()=1nx (r)= x2, 所以当0<<e时，f)>0,函费= =x在(0，e)上单调递增， 当x>e时，f<0,函数f)= x在(e,+o)上单调递减， 所以f)sfe) e,所以fyn= e, 1 所以血a≥。所以a≥e,所以实数a的取值范国为 e,+oo e 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知a,么，c分别为△MBC三个内角A,B,C的对边，且bsin-V3ac0sB=0. (1)求B: (2)若b=2,求△ABC的面积的最大值. B= 【答案】(1) 3 (2)V3 【解析】 【分析】(1)由正弦定理边化角，再结合辅助角公式即可求解： 2=a2+c2-2a·c.cosB (2)法一：由余弦定理 ,结合基本不等式求得最大值，即可求解：法二： 第16页/共32页 6学科网命组卷网 由正弦定理，得到Q= 3 sin4 c=43 4v3 -sinC 3 ,再结合面积公式、辅助角公式即可求解； 【小问1详解】 bsinA-3acosB=0 由正弦定理可得sinBsinA--V3 BsinAcosB=0 A∈(0，π).sin4≠0，∴sinB-V3cosB=0 Be(0,),B= 3 【小问2详解】 (方法一)在△MBC。 b2 =a2+c2-2a.c.cosB 中，由余弦定理得 即4=d+c-ac之2ac-c=ac,当目k当a=c=2 时取等号 -2 ae-sin/ABC5)×4x5-5 1 S.= 2 2 即△MBC的面积的最大值为√5 a -c2 （方法二)由正弦定理得sin4sinC √5 2 4 ∴.a= _4 -sinA c=- -sinC 3 3 则A4BC面s=于esin-x3x4V3sin2.4N3sinC 22× 3 第17页/供32页 6学科网命组卷网 4v3sin 2π -A sinA 4v3sinCsinA 3 3 3 (2sin cos+2sin) 3 -2m24} 因=，所 0<A< 2π 3 <2A-<7m 所以6 66, 24名子4- u2gs24-}时s5u当HR4-c 3时取等号。 即△MBC的面积的最大值为√3 16.2025年春节假期，文旅市场火爆文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿 人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春 节假期前7天的营业额y(单位：千元)，得到y与x的数据如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 个 10 12 16 19 (1)已知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； (2)如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设X 表示“达标”的数据组数，求X的分布列和数学期望 第18页/供32页 6学科网组卷网 立x-版 参考公式：在线性回归方程 i=bx+a a=卫- =19x446 122 【答案】(1) 7，预测春节假期第8天的营业额为7千元 (2)X的分布列为 X 1 2 J 4 4 18 12 1 P 35 35 35 35 EX0= 6 【解析】 【分析】(1)利用最小二乘法求解即可： (2)利用超几何分布求解即可. 【小问1详解】 元=0+2+3+4+5+6+7)=4 卫=（0+9+10+12+16+19+10=I2 2xy-7y374-7x4×12_9 6= ∑x-72 140-7×4214, 4、6 a=-=12-19 14 -7 =1946 -x+ 线性回归方程为147 第19页/供32页 6学科网 命组卷网 19 46122 = ×8+ 当x=8时， 14 77. 122 即预测春节假期第8天的营业额为7千元 【小问2详解】 由题意可知X的所有可能取值为：1,2,3,4 5.Px=2)=cxC18 P(X=1)=CixCi-4 C4 C135, Px-或-C号Prx=-是- X的分布列为 X 1 2 3 1 4 18 12 35 35 35 35 4 18 .12, .116 E(X)=1×+2× +3× +4× X的数学期望为 353535 357 17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD,AB⊥BC,PA⊥底面ABCD, AB=BC=PA=2 AD=1 E A B (1)若E为线段PC的中点，求证：DEI1平面PAB. 第20页/供32页 6学科网 命组卷网 (2)求点A到平面PCD的距离： (3)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值 【答案】(1)证明如下： 法一：以A为原点，，D,P,分别为x、人、：轴正方向建立空间直角坐标系，则A(0,00), B(2,0,0).C(2,2,0)D(01,0).P(0,0,2） E 由E为线段PC的中点，可得E(,1),∴DE=(L0,1) 由愿意可得D=(0,10)为平面P4B的一个法向量 :AD.DE=0x1+lx0+0x1=0,且DEZ平面PAB,·DE1I平面PAB 法二：取PC、PB的中点分别为E、F,连接DE、EF、FA, F B :EF为△PBC的中位线，EFIIBC, EF=1BC 第21页/供32页 6学科网 命组卷网 ·B14D,AB⊥BC,BC=2,4D=1,4D/BC AD7 BC 2 .EF //AD EF=AD EFAD ∴.DE/IAF 四边形 为平行四边形， 又DEC面PAB,AFC面PAB .DE//PAB 平面 6 (2)3 √3 (3)3 【解析】 【分析】1)法一：以A为原点，MB,D,AP,分别为x、人、：轴正方向建立空间直角坐标系，求 得平面PAB的一个法向量，利用D·DE=0可得结论：法二：取PC、PB的中点分别为E、F,连 接DE、EF、FA,利用线线平行证明线面平行； (2)法一：求得平面PCD的一个法向量，利用向量法求得点A到平面PCD的距离；法二：利用等体积 法求得点A到平面PCD的距离： (3)法一：设平面PAB与平面PCD夹角为8，利用向量法可求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值.法 二：延长BA,CD交于点G,连接PG.可证∠BPC为平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角，求 解即可 【小问1详解】 略 第22页/供32页 6学科网6组卷网 【小问2详解】 法： DC=(2,1,0)PC=(2,2,-2) n.DC=2x+y=0 设元=(ky,z)为平面PCD的-个法向显.则n-PC=2x+y-2z=0 不妨设x=1,则i=(化-2，-) 设点4百PD的能高为期d n.AD 0-2+0_V6 1+4+13 法二：AB⊥AD,AB⊥BC,PA⊥底面ABCD,AB=BC=PA=2,AD=1. :.CD=-PD=V2+1=V5,PC=V22+22+2=23 设点A到平面PCD的距离为d则由=业m可得： d axad-22d-后9 V63 【小问3详解】 设平面PAB与平面PCD夹角为0，由题意可知，0为锐角， n.AD -2V6 cos0= ×AD V6×13 sin=v1-cos20 v3 即平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为3· 法二：延长BA,CD交于点G,连接PG. 第23页/供32页 6学科网命组卷网 G ABCD 为直角梯形， BC=2AD=1∴.AD△GBC 底面 为 的中位线。 ∴AG=AB=2,PA⊥ABCD PA=2AGPB GP⊥PB .又 底面 为等腰直角三角形，其中 同理可证： GP⊥PC. ∴.∠BPC 为平面P1B与平面 PCD 所成二面角的平面角 RIARPO甲，BC=2:PBE2,PC=2E,sin/BPC-6C-2 3 PC253· √3 即平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为3· 3 18.已知A,B两点的坐标分别是(2,0)，（-2,0)，直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积是4， 记点P的轨迹为曲线C,直线I与曲线C交于不同的两点M,N (1)求曲线C的方程； (2)若以线段MN为直径的圆经过点A(2,0) ①求证：直线过定点D,并求出D的坐标： ②求三角形AMN面积的最大值， 第24页/供32页 6学科网命组卷网 【答案】(1)4+3=1，(x≠士2) (2) O设点M(,片）、N(3,). 若MN⊥y轴，则N(-y)且≠0，Mi=(2-,y).N=(2+-y) 出.MM-4+-4--3+8=7-资>0，不合题 4 设直线MN的方程为x=四y+n, B D x=my+n 联立3x2+4y2=12可得(3m2+4)y2+6mmy+3n2-12=0, △=36m2n2-12(3m2+4)(n2-4)=48(3m2+4-n2）>0, 6mn 3n2-12 由韦达定理可得1+%=3m+4,少=3m2+4, AM=(x-2,)=(my+n-2,y）.N=(x2-2,2)=(my2+n-2,y2) :AM.AN =(my +n-2)(my2+n-2)+y =(m2+1yy+m(n-2)(3+2)+(n-2)月 第25页/供32页 命学科网命组卷网 3r2-40m2+1-6mn(a-2)+a-2(3m+4）_-27n-2）-0. 3m2+4 3m2+4 因为直线MW不过点A,则n≠2，整理可得7m-2=0,解得”=气。 直球Mw的方为=+另，线w过定D号 144 ②49 【解析】 【分】山设P(川.则有，=子 4即可求解： 6mn （2)①设直线MN的方程为x=m+m,联立方程组，由韦达定理有片+片=3m+4, 3n2-12 ,=3m2+4,由AM.AN=0即可求解： 12 d= ②点A到直线MN的方程为47√m+,MN=1+m·V+2}-4y,代入 5.w-d 利用二次函数即可求解. 【小问1详解】 3 设P(x,),动点P满足直线PA和直线PB的斜率乘积为4， 3 y.y--3 kmkm=-4,即x-2x+24 第26页/供32页 命学科网命组卷网 即4+3=1，(x≠士2) 曲线C的方程为4+3=1，(x≠2. 【小问2详解】 ①略 ②直线MN的方程为 -m-2-0 7 12 :点，到直线， A N的距离为d=一了 12 Vm2+17Nm2+1? MN=+m,+-4%=i+m 6mn )243n2-12） 3m2+4 3m2+4 451+m2.V49(3m2+4)-4 7 3m2+4 m-Md=}45+m儿93m2+4-可 12 27 3m2+4 7Nm2+1 =243.V49(3m2+4)-4 49 3m2+4 令t=3m2+4≥4 则8w-245.491-4_245494245 49t 49Vt2=491 +g。 24V3 因为0<≤4时，故当f=4时，S。w取最大值49 ×2W5=144 49 19.已知函数()=e-,其导函数为∫'() 第27页共32页 6学科网命组卷网 (1)讨论f（)的单调性： (②若()21恒成立，求实数口的取值范围， (3)若m,n是函数y=f(x)的两个零点，求证： f(mn)<0 【答案】(4)当a≤0时，f四在R上单调递增： 当a>0时，f()在(-o,l1na)上单调递减，(ha,+o)上单调递增 2 (3)证明：由)可知，当a≤0时，f(四在R上单调递增，函数'=f(四)不可能有两个零点，不合 题意，舍去 当a>0时，f(女在(，la)上单调递减.(ha,+切)上单调递增。 当x→0时，f()→0，当x→+0时，f()→切 ∴医使函数y=f()有两个零点，只需(m=f(na)=a-alha<0,解得：a>e 已知f0)=1>0,不妨设m<n,则有0<m<na<n, :f"()=e-a单调递增，：要证f'(Vmn<0,只需vmn<lna. mn<m+n 2,只需证m+n<2na 即证m<2na-n, 由单调性可知m<lna<n,∴.2lna-n<lna, :f(x在（o,na)上单调递藏，即证f(m)>f(2na-） 第28页/供32页 命学科网命组卷网 方法一：f(m)=f(0),即证fm)-f(2a-m)>0 令A(,=f()-f(2ha-),其中x>na h()=f()+f(2na-x)=c-2a+em=e+g-2a≥2，Je× a ex -2a=0, :h(x)单调递增， 又：n>lna,÷hn)>h(ma)=0.即f(m)-f(2a-n)>0. ..m+n<2Ina 成立 ∴.√mn<na ∴.f'(vmn)k0 方法二：“f(m)=0,即证f(2a-m)<0 百/(2ha-）=c-a(2a-小-g-2aha+am -2anaan= fa网=0用。=ama-,g (1+2Inn-n .'n>Ina a>e ..n>I “且 -+,-子1.o, 10 x2 h在（，+o)上单调递诚，h(网)<h0=0, 日2h-小水0,0a-<0.可附m+a<2m 第29页/共32页 6学科网命组卷网 f(0)=l>0,.0<m<na<n,2 :mt>mm,即m<ha, 又“f(x)在(-o,lha)上单调递减，f(Nmn)<0 【解析】 【分析】1)f(四=c-a,当a≤0时，f()=c-a>0恒成立，f(凶在R上单调递增，当 a>0时，由f()>0,得x>lna:由f)K0得x<1a,进而可得： （2)由f()21转化为求f(≥1，由(1)可知f()m=f(0)=a-0,构造 g(a)=aaha-1,由导数可得8(a)m=0,进而可得只有a=1符合思意， (3)根据两数'=f(因的单调性，顾数y=f有两个零点时，f(m=fha)0,得a>e, 设m<n,则0<m<na<n,证f(Vm<0,利用基本不等式和单调性转化为i证明m<2na-m, 构造函数()=f()-f(2a-),利用导数证明f(m)-f(2a-m)>0即可 【小问1详解】 函数f()=-的定义城为R,f()c-a 当a≤0时，f(凶=e-a>0恒成立，·f()在R上单调递增： 当a>0时，由(x)>0,解得：x>lha,由f()K0,解得：x<na “f(x在（o,na）上单调递减，（血a,+o)上单调递增， 综上所述：当a≤0时，f()在R上单调递增： 当a>0时，f()在(-o,l1na）上单调递减，(a,+o)上单调递增 第30页/共32页 6学科网列组卷网 【小问2详解】 要使f()21恒成立，只需()m≥l恒成立 由(1)可知，当a≤0时，f()在R上单调递增，且f(O)=1 :当x<0时，()<1，不合题意，合去 当a>0时，f()在(-o,lha)上单调递减，(na,+o)上单调递增， ∴f(x)m=f(lha）=a-alha 只需f()m=a-aha21,即a-alna-1≥0在a>0时恒成立 记8(a)=a-aha-l,a>0,则8'(a)=l-lha-l=-na :当0<a<1时，g'(a)>0,8a单调递增：当a>1时，g'(a)<0,8(a单调递减： ∴g(a)mx=g()=1-lnl-l=0∴g(a)≤0 a=1 只有符合题意 综上所述，实数口的取值范围为仍 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本慰第三问关键在于问慰的转化，根据函数y=()的单调性，确定函数 y=∫()两个零点的范围0<m<1na<,进而把证阴f(Vm)<0,转化为证明m<2a-n,即证 f(m)-f(2a-)>0,进而构造函数h()=f()f(2ha-),利用导数证明 f(n)-f(2Ina-n）>0即可 第31页/供32页 命学科网组卷网 第32页/共32页