精品解析：广东省广州市实验外语学校2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试卷

高一年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题（40分，每题5分） 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 4 D. 7 2. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A B. C. D. 7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题（18分，每题6分，多选错选不得分，选对部分得部分分） 9. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（ ） A. 关于的函数解析式为 B. 开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C 开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D. 开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知是第一象限角，且，则__________. 13. 关于平面向量有下列四个命题： ①若，则； ②已知，.若，则. ③非零向量和，满足，则与的夹角为30°. ④. 其中正确的命题为______. 14. 若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______． 四、解答题（77分） 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 16. 如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，． （1）若，求，的值； （2）求值； （3）求． 17. 已知中，，，且． （1）求的值； （2）求的长度． 18. 如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 （1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. （2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： （1）已知向量满足，，，求的值； （2）①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求值； （3）已知向量，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题（40分，每题5分） 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 4 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴，解得. 故选：D. 2. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 3. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求得，然后利用共线的坐标形式列式得，即可得解. 详解】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得. 故选：A 4. 已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点， 则， 由得，可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因此， . 故选：B. 5. 已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求出的值，再计算，最后根据向量垂直的判定条件判断与的夹角. 【详解】根据向量在上的投影向量为，已知在上的投影向量为，所以. 先计算，根据向量数量积的坐标运算公式，可得. 再计算，根据向量模长公式：可得，那么. 所以. 所以.  得，所以与的夹角为.  故选：C. 6. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解. 【详解】以O为坐标原点,原x轴正方向为x轴，垂直于x轴的方向为y轴建立平面直角坐标系， 则在直角坐标系下，，, 则 . 故选：A 7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答. 【详解】依题意，， 于是， 所以. 故选：A 8. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 二、多选题（18分，每题6分，多选错选不得分，选对部分得部分分） 9. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知及向量线性关系的坐标运算、垂直和平行的坐标表示、投影向量的定义依次判断各项的正误. 【详解】A，，，，所以，错误； B，，，当时，，即，正确； C，，由可得，即，正确； D，在的投影向量为，正确. 故选：BCD 10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（ ） A. 关于的函数解析式为 B. 开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C. 开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D. 开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可. 【详解】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为， 由题意，，所以， 由开启后的第8分钟这一时刻游客甲和乙首次距离地面高度相同知， 摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的速度约为，故， 则， 又当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以， 即，所以，所以， 不妨取，则，故，A错误； 由于摩天轮速旋一周需24分钟，故第二次游客甲和乙第二次距离地面高度相同时， 需经历分钟，B正确； 根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为： ， 则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确； 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲下降， 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降， 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求得，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解. 【详解】由题图可得，，故，所以， 又，即， 所以，，又，所以，所以． 对于A：当时，，故A正确； 对于B：当时，为最小值， 故的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数： 的图象，故C错误； 对于D：当时，， 则当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增， 因为，，， 所以方程在上有两个不相等的实数根时， 的取值范围是，故D正确． 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知是第一象限角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】由题意可得，即， 因为是第一象限角，所以，，， 所以，， 所以， 故答案为： 13. 关于平面向量有下列四个命题： ①若，则； ②已知，.若，则. ③非零向量和，满足，则与的夹角为30°. ④. 其中正确的命题为______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】举特例说明①是错误的；根据向量平行的结论求判断②的真假；结合向量加减法的几何运算，判断③的真假；利用平面向量数量积的运算性质判断④的真假. 【详解】①当时，由不能得出，①错误； ②，则，，②正确； ③如图，设，，则，， 由已知，则是等边三角形，四边形是菱形，且，所以与的夹角为，③正确； ④，④正确. 故答案为：②③④ 14. 若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内，令，再设出，的坐标，利用给定的数量积、结合坐标运算、均值不等式求解作答. 【详解】在平面直角坐标系内，令，设， 由，得，由，得，由，得，即， ， 则，当且仅当或时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 四、解答题（77分） 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求得，从而可得，于是； （2）由，可得，再由夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 由，可得，即， 解得，所以，故. 【小问2详解】 因为向量，，所以，所以. 则，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 16. 如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，． （1）若，求，的值； （2）求的值； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的运算法则求解 （2）分解后由数量积的运算求解 （3）由数量积的定义求夹角 【小问1详解】 ，故 【小问2详解】 【小问3详解】 ， 17. 已知在中，，，且． （1）求的值； （2）求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求出、的值，再利用结合两角和的余弦公式可求得的值； （2）利用平面向量数量的定义结合可求出、的长，再利用余弦定理可求得的长度. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，， 所以． 【小问2详解】 因为， 又因为， 所以，所以，． 由余弦定理可得． 18. 如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 （1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. （2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 【答案】（1），最大值为(平方千米)； （2）万元 【解析】 【分析】(1)三角函数相关知识，利用角来表示矩形边长，进而表示出面积和角的函数关系式，求函数最值即可； (2)由题意可求得建造总费用，利用换元法及二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意可得，其中， 中，，则 所以 因为，所以， 所以当，即时，矩形的面积取最大值， 所以当时，荷花池的面积最大，最大面积(平方千米)； 【小问2详解】 由(1)可知，则 ， 设建造总费用为y万元， 则 令， 因为，所以，所以， 则， 所以 所以建造总费用的范围为万元． 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： （1）已知向量满足，，，求的值； （2）①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）①，②7 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解. （2）①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解. （3）直接利用（2）的结论，结合基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； 【小问2详解】 ①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 【小问3详解】 由,，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $