精品解析：河南省开封市五县学校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年高二月考6 数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 下列函数的求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断. 【详解】对于A：由幂函数的导数公式得：.故A正确； 对于B：由导数的四则运算得：.故B正确； 对于C：因为常值函数的导数为0，所以.故C错误； 对于D：由导数的四则运算得：.故D正确. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 3. 函数的极大值点是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的区间单调性求极大值点即可. 【详解】由题设，当时，当或时， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值点是1. 故选：B 4. 已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数的正负及变化规律即可判断. 【详解】由的图象可知，，所以的图象单调递增， 因为的值先增大后减小，所以的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A正确. 故选：A. 5. 已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设切点，再求导，根据题意列出，求解即可得出. 【详解】易知，定义域为，曲线与轴相切， 设切点为，，易得，故， 又，， 故，解得. 故选：B. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对求导，再令求得，进而得到与，再依次求即可得解. 【详解】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 7. 已知函数，若有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当 时，利用导数，判断函数的单调性，求得其最值，结合 的解析式，进而作出函数的大致图象，将有三个不同的零点转化为函数图象有三个交点的问题，数形结合，可得答案. 【详解】当 时， ， 故当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， 故 ，且时， ， 当 时， ， 由此作出函数的大致图象如图： 由有三个不同的零点，即函数 的图象与 有三个不同的交点， 结合图象，可得 ， 故选：C 8. 若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可. 【详解】由不等式恒成立，且， 分离参数得，所以，即， 设，得，，设，，则. ，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以. 所以. 故选：C. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 设函数，且，则 C. 已知函数，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由基本函数的导数公式求出各项的导数后，再逐项代入判断即可. 【详解】A：，故A错误； B：，令，所以，故B正确； C：，所以，故C错误； D：，故D正确； 故选：BD 10. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 在处取得最大值 C. 有两个不同零点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A、B，令函数等于0，求出零点即可判断C，利用函数单调性即可判断D. 【详解】函数的导数， 令得， 则当时，，函数为增函数， 当时，，函数为减函数， 则当时，函数取得极大值，极大值为， 故A正确， 由上述可知当时，函数的极大值即为最大值，且最大值为， 故B正确， 由，得，得，即函数只有一个零点， 故C错误， 由， 所以， 由时，函数为减函数，知， 故成立， 故D正确． 故选：ABD． 11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ） A. 一定有两个极值点 B. 函数在R上单调递增 C. 过点可以作曲线的2条切线 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D. 【详解】由题意知，，恒成立， 所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确； 设切点为，则， 切线方程为， 代入点得， 即，解得或， 所以切线方程为或，C正确； 易知，令，则． 当时，，，所以点是的对称中心， 所以有，即． 令， 又， 所以， 所以，D正确． 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数，则的极小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，进而可求出极值. 【详解】因为，所以， 由得；由得； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为. 故答案为：. 13. 已知函数在时有极值0，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】求出函数的导数，由题意列出方程组，求得的值，经验证后，即可确定的值，即可求得答案. 【详解】由函数，得， 由题意得，解得或， 当时，，仅当时等号成立， 此时在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令，则或，令，则， 即在上均单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，且，则， 即符合题意，故， 故答案为：11 14. 某生产厂家生产一种产品的固定成本为万元，并且每生产百台产品需增加投入万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台，），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大.. 【答案】6 【解析】 【分析】设销售利润为，利用导数求出的最大值即可. 【详解】设销售利润为，依题意可得， ， ， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以时，取得极大值，也是最大值， 所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数应用问题以及运用导数求最值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题. 四、解答题（5小题，77分） 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域以及导数，结合定义域，讨论和情况下，导数的正负，即可得到的单调性； （2）求出，则在上是单调增函数等价于在上恒成立，分离参数，即在恒成立，令， 利用导数求出函数在上的最大值，即可得到实数的取值范围 【详解】（1）函数，则函数的定义域为． ①当时，故函数在上单调递增； ②当时，在有故在单调递减； 在有故在上单调递增． 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上为单调递减，在上为单调递减增 （2）由，得． 若函数 为上的单调增函数，则在上恒成立， 即不等式在上恒成立．也即在上恒成立． 令，则 ． 当时，， 在上为减函数，则 所以，即的取值范围为． 【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系，通过导数求单调性以及最值，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题． 16. 已知函数 （1）当时，求函数的极值. （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出定义域，求导，令得或，并得到函数单调性，求出极值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，求出函数单调区间. 【小问1详解】 当时，的定义域为， 故， 令得或， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； 【小问2详解】 的定义域为， ， 当时，令得，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，此时恒成立，故单调递增区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 17. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系即得； （2）根据导数与函数的最值的关系可得函数的最大值，可得，结合条件进而即得. 【小问1详解】 由，求导可得, 由，可得或， 所以函数的单调减区间为，； 【小问2详解】 因为， 令，解得或可得下表： 则，分别是在区间上的最大值和最小值， 所以，解得， 从而得函数在上的最小值为. 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在处取极大值 （2） 【解析】 分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为与在区间有2个交点，求得函数的值域，即可得到结果. 小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值， 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减： 所以当时，在处取极大值，无极小值； 【小问2详解】 ， 令，得，令，在区间有2个零点， 即与在区间有2个交点， ，，， 当，，在上单增， 当，，在上单减， ，的最大值为，， 与在区间有2个交点，则． 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解； （2）由条件转化为恒成立．再转化为导函数的最小值大于等于0，即可求解； （3）方法一：首先将不等式整理为，再参变分离为，转化为求函数的最小值；方法二：根据（2）的结果，由的值，讨论的取值，判断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条件，即可求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， 由题意得，恒成立． 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故． 【小问3详解】 解法一：因为，所以题意等价于当时，． 即， 整理，得， 因为，所以，故题意等价于． 设， 的导函数， 化简得， 考察函数，其导函数为， 当单调递减；当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即， 所以， 所以当单调递减； 当单调递增； 所以的最小值为， 故． 解法二：先考察，由（2）分析可得， 情况1：当，即， 此时在区间单调递增， 故，即，符合题意； 情况2：若，则， 注意到，且，故对进一步讨论． ①当时，即 且由（2）分析知：当单调递减， 故当，即单调递减， 故恒有，不符合题意，舍去； ②当时， 注意到在区间单调递减，且，又， 故在区间存在唯一的满足； 同理在区间单调递增，且， 故在区间存在唯一的满足；故可得 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以当，符合题意； 故题意等价于，即． 又因为，即，化简，得 所以，整理得． 注意到，所以， 故解得， 由之前分析得即 考察函数，其导函数为， 当单调递减； 当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即，所以恒成立， 故，又注意到情况（2）讨论范围为， 所以也符合题意． 综上①②本题所求的取值范围为． 方法三：先探究必要性，由题意知当时，是的最小值， 则必要地，即得到必要条件为； 下证的充分性，即证：当时，． 证明：由（2）可知当时，在单调递增， 故的最小值为，符合题意； 故只需要证明时，． 由（2）分析知时， + 0 - 0 + 极大值 极小值 其中． 注意到，据此可得更精确的范围是； 所以等价于证明， 又因为，即，可得， 只需证明， 等价于证明， 注意到，即， 故若①当，此时显然成立； 若②当，只要证明， 此时，且 所以，故得证． 综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题第三问给了三种方法，第一种参变分离比较简单实用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二月考6 数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 下列函数的求导不正确的是（ ） A B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 3. 函数的极大值点是（ ） A B. 1 C. D. 4. 已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，且，则 C. 已知函数，则 D. 10. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 处取得极大值 B. 在处取得最大值 C. 有两个不同零点 D. 11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ） A. 一定有两个极值点 B. 函数在R上单调递增 C. 过点可以作曲线的2条切线 D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数，则的极小值为______． 13. 已知函数在时有极值0，则______． 14. 某生产厂家生产一种产品的固定成本为万元，并且每生产百台产品需增加投入万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台，），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大.. 四、解答题（5小题，77分） 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围． 16. 已知函数 （1）当时，求函数极值. （2）求函数的单调区间. 17. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间有2个零点，求取值范围． 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$