黄金卷07（河北专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列四个数中，比小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数比较大小，正确把握两负数比较大小的方法是解题关键．利用两个负数，绝对值大的其值反而小，进而得出答案． 【详解】解：，，， 故选：D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、幂的乘方运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了积的乘方、单项式乘法、合并同类项、整式加减运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据积的乘方、单项式乘法、合并同类项、整式加减运算逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；     B． ，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意；     D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 3．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键． 如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：如图：延长相交于点E， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 4．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．2 B．1.8 C． D．5.4 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 根据题意可得，数轴上x的值的取值范围是， 观察四个选项，只有符合题意题意， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：C． 5．如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此解答即可． 【详解】解：在保证左视图不变的情况下，留下的正方体按照图中的方式摆放，则的最大值为3． 故选C． 6．晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片中1名男性角色，2名女性角色分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的的结果有4种， ∴两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为． 故选：D． 7．已知，且，则的值用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查整式的运算和用科学记数法表示绝对值小于1的数，根据整数的运算求出，再用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：把整理得， ∵， ∴， 故选：D． 8．若关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于明确：时，一元二次方程有两个不等实根；时，一元二次方程有两个相等实根；时，一元二次方程无实根；掌握以上知识是解题的关键； 本题直接利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：A 9．如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．先通过旋转得到，，，再通过等边对等角以及三角形外角的性质得到，代入已知的数据即可求解． 【详解】解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ， ， ， 故． 故选：B． 10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（   ） ①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米 A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①② 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键． ①根据速度等于路程除以时间求解． ②先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解． ③根据甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，列出不等式求出的取值，再求当乙到达终点停止运动后的取值，即可求解． ④用总路程减去甲走过的路程即可． 【详解】解：①∵乙用秒跑完米 ∴乙的速度为米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为秒， ， 秒， ∴米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒， ， ， 当乙到达终点停止运动后， ， ， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：米， 即甲距离终点还有米． 故④正确； 正确的个数为①③④． 故选：B． 11．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤ 【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、特殊四边形(二次函数综合)、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】联立y＝x+2与直线y=x，得到点 ，再由抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．可得 ，从而得到抛物线解析式为 ，根据题意可得抛物线过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，然后把点C、B的坐标代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：把y＝x+2与直线y=x联立得： ，解得：， ∴点 ， 根据题意得抛物线的顶点坐标为 ， 把代入直线y=x，得： ， ∴抛物线解析式为 ， 如图，当抛物线经过点C时， 把点 代入得： ，解得： 或（舍去）， 如图，当抛物线经过点B时， 将点代入得： ，解得： 或（舍去）， 综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键． 12．如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 分别连接与相交于，由折叠知，，所以共线，可以证明四边形为菱形，则，作，证明四边形是矩形，所以，设，则，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，分别连接与相交于， 由折叠知， ∴， ∴共线， 由折叠知， ∴， ∵，， ∴四边形为菱形， ∴， 作，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在直角中，， 解得：，即， ∴， 同理， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分.） 13．与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，求解即可，熟练掌握同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，是解此题的关键． 【详解】解：， 与最简二次根式是同类二次根式， ， ， 故答案为：． 14．若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解题的关键在于正确掌握解一元一次不等式组的步骤方法．根据解一元一次不等式组的步骤方法得到不等式组的解集，再结合不等式组有且仅有2个奇数解得到的取值范围，最后根据为整数取值求和，即可解题． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 则解集为， 整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解， ， 解得， 符合条件的所有整数为，，，， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 15．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数  图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数图象综合判断、反比例函数与几何综合、根据正方形的性质证明 【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，进而证明，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图像上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 16．如图，在正六边形中，对角线分别交于点H，G，若与五边形的面积分别为，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查正六边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由正六边形的性质以及等腰三角形的性质可得，如图：连接，易证四边形是矩形，再证明可得；如图：过B作，则，设正六边形的边长为a，则，根据直角三角形的性质和勾股定理可得、，即；易得，；再说明，最后代入化简即可解答． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， 如图：连接， 同理可得：， ∴四边形是矩形， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， 如图：过B作，则，设正六边形的边长为a，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，数学课上，老师用四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式． (1)直接写出算式的结果； (2)若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 【答案】(1)102 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）先计算括号，然后进行乘方运算即可； （2）根据题意列式，计算求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意列出算式为， 原式， 所列算式的计算结果为． 18．课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程： 作业题1 作业题2 解分式方程：． 解：去分母，得  ① 去括号，得    ② 移项，得    ③ 合并同类项，得    ④ 系数化为1，得    ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解：   ①     ②    ③ (1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)作业题1：第①步；作业题2：第②步 (2)选作业题1，见解析 【知识点】异分母分式加减法、解分式方程 【分析】本题主要考查分式的减法和解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． （1）观察解题过程即可得出结论； （2）按照解分式方程的步骤和分式的减法法则进行计算，即可逐一解答． 【详解】（1）解：作业题1：第①步；作业题2：第②步； （2）解：选作业题1：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的解． 选作业题2： ． 19．为了了解全校学生对中国古代数学家的知晓情况，数学老师设计了10道选择题，并对全校学生进行问卷调查，每题1分，调查结束后，随机抽取了部分学生的问卷，将成绩和人数进行整理，并将结果制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题 (1)求抽取了多少份学生的问卷，并补全条形统计图； (2)求出被抽取学生成绩（单位：分）的众数、中位数和平均数，并判断哪一个最大； (3)该校共有1200名学生，若成绩不低于9分视为优秀，请估计全校有多少名学生达到优秀． 【答案】(1)100份，图见解析 (2)众数为8，中位数为8，平均数为8.05，平均数最大 (3)估计全校有360名学生达到优秀 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、由扇形统计图求总量 【分析】（1）根据得分9分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，总人数减去已知人数可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到中位数与众数，求出平均数比较即可； （3）用1200乘以本次测试成绩达到“优秀”的人数所占比例即可． 【详解】（1）解∶抽取的学生问卷有（份） 成绩为“8分”的学生有（名）， 补全条形统计图如下： （2）解：由题意，易得抽取的学生成绩的众数为8， 中位数为8， 平均数为． ， 平均数最大； （3）解：（名） 答∶估计全校有360名学生达到优秀． 【点睛】此题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ∴△CAB∽△FAD， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． 21．如图，已知直线经过点和，约定在坐标系内可对直线进行如下两种方式操作： 甲方式：先向上平移3个单位，再向右平移1个单位； 乙方式：先向上平移3个单位，再向右平移2个单位． 解决下列问题， (1)求直线的解析式； (2)若对直线连续进行两次操作． ①若这两次操作均为甲方式，请直接写出所得直线的解析式，并求其与坐标轴的交点； ②若这两次操作方式是随机选择的，设事件 “所得直线与重合”，求事件发生的概率； (3)嘉嘉对直线连续进行10次操作得到直线，若，及（2）中三条直线满足“任意两条相邻直线间距离相等”，直接写出：嘉嘉按甲方式进行了几次操作？ 【答案】(1) (2)①，；② (3)7次或4次 【知识点】一次函数与几何综合、列表法或树状图法求概率、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】（1）设直线的解析式为，将点和点的坐标代入求出系数即可求解； （2）①根据平移的规律：“左加右减，上加下减”即可得到解析式，分别令和，即可求出与坐标轴的交点； ②由操作可得进行一次甲操作相当于直线向上平移1个单位，进行一次乙操作相当于直线向下平移1个单位，列出表得到所有等可能结果，进而得到事件发生的概率； （3）根据直线，，满足“任意两条相邻直线间距离相等”，可分为三种情况：①若直线在直线上方； ②若直线在直线和直线之间； ③若直线在直线下方来分别求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点和代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①将直线按甲方式操作得到直线解析式为， 再按甲方式操作得到直线解析式为， 故直线的解析式为， 令， 则， ∴与轴交点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴交点坐标为． ②由①可知进行一次甲操作相当于直线向上平移1个单位，将直线按乙方式操作得到直线解析式为，即进行一次乙操作相当于直线向下平移1个单位故进行一次甲操作和一次乙操作所得直线与直线重合， 由表格可知共有4种等可能的结果，其中事件发生有2种； ． （3）由（1）（2）得直线的解析式为，直线的解析式为，根据直线，，满足“任意两条相邻直线间距离相等”，可分为三种情况： ①若直线在直线上方，则直线的解析式为， 即直线向上平移4个单位得到直线， ∴10次操作中按甲方式进行了7次操作，按乙方式进行了3次操作； ②若直线在直线和直线之间，则直线的解析式为， 即直线向上平移1个单位得到直线进行10次操作无法得到； ③若直线在直线下方，则直线的解析式为， 即直线向下平移2个单位得到直线， ∴10次操作中按甲方式进行了4次操作，按乙方式进行了6次操作； 综上所述，嘉嘉按甲方式进行了7次或4次操作． 【点晴】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与几何变换，概率的求法，一次函数图象上点的坐标特征等，准确求出的解析式是解题关键． 22．如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P． (1)求证：是的切线； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)； (3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、解直角三角形相关计算 【分析】（1）利用等边对等角得到，结合，推出，证明，由，得到，即可证明； （2）作直径的垂直平分线交所对弧于点F即可； （3）连接，利用圆周角定理证明是等腰直角三角形，可求出半径，然后通过相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示为所求： （3）解：连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． 23．综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可； （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：； （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为 ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为 将代入得，，解得   ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴ 将代入得，，解得， ∴ 将代入得，，解得 ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 24．已知△ABC是等腰直角三角形，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长； (2)如图2，当点在△ABC外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值． 【答案】(1)的长为； (2)见解析； (3)的值为． 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解 【分析】（1）过点E作交的延长线于H，利用证明，可得，，，运用勾股定理可得，即可得出答案； （2）连接，过点F作交于H，利用证明，可得，再利用证明，可得，即可得出答案； （3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，设,则运用勾股定理可得,进而可得，当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，利用证得，可得，，根据，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，如图1， ∵点D是的中点，且， ∴， 在中，， ∴，， 由旋转得：， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：证明：如图2，连接，过点F作交于H， ∵△ABC是等腰直角三角形，E、F分别是的中点， ∴AE=EF，， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图， ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵Q是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设则 在中，，， 当A、Q、G三点共线时，，取得最大值， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴是△BEC的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A C C D D A B B A A 二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分.） 13．1 14． 15． 16． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分） （1）解：．--------------------（2分） （2）解：由题意列出算式为， 原式， 所列算式的计算结果为．--------------------（5分） 18．（7分） （1）解：作业题1：第①步；作业题2：第②步；--------------------（4分，各2分） （2）解：选作业题1：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的解．--------------------（7分） 选作业题2： ．--------------------（7分） 19．（8分） （1）解∶抽取的学生问卷有（份） --------------------（1分） 成绩为“8分”的学生有（名）， 补全条形统计图如下： --------------------（3分） （2）解：由题意，易得抽取的学生成绩的众数为8， 中位数为8， --------------------（4分） 平均数为． --------------------（5分） ， 平均数最大；--------------------（6分） （3）解：（名） 答∶估计全校有360名学生达到优秀．--------------------（8分） 20． （9分） （1）解：由题意知， ， 又， ∴△CAB∽△FAD， ，--------------------（2分） 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是．--------------------（4分） （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ，--------------------（5分） ， ， ， ，--------------------（7分） 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为．--------------------（9分） 21．（9分） （1）解：设直线的解析式为， 将点和代入得 ，--------------------（1分） 解得， ∴直线的解析式为；--------------------（2分） （2）解：①将直线按甲方式操作得到直线解析式为， 再按甲方式操作得到直线解析式为， 故直线的解析式为，--------------------（3分） 令， 则， ∴与轴交点坐标为，--------------------（4分） 令，则， 解得， ∴与轴交点坐标为．--------------------（5分） ②由①可知进行一次甲操作相当于直线向上平移1个单位，将直线按乙方式操作得到直线解析式为，即进行一次乙操作相当于直线向下平移1个单位故进行一次甲操作和一次乙操作所得直线与直线重合， 由表格可知共有4种等可能的结果，其中事件发生有2种； ．--------------------（7分） （3）由（1）（2）得直线的解析式为，直线的解析式为，根据直线，，满足“任意两条相邻直线间距离相等”，可分为三种情况： ①若直线在直线上方，则直线的解析式为， 即直线向上平移4个单位得到直线， ∴10次操作中按甲方式进行了7次操作，按乙方式进行了3次操作； ②若直线在直线和直线之间，则直线的解析式为， 即直线向上平移1个单位得到直线进行10次操作无法得到； ③若直线在直线下方，则直线的解析式为， 即直线向下平移2个单位得到直线， ∴10次操作中按甲方式进行了4次操作，按乙方式进行了6次操作； 综上所述，嘉嘉按甲方式进行了7次或4次操作．--------------------（9分，直接写出答案即可） 22．（11分） （1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，--------------------（1分） ∵， ∴， ∵是圆半径， ∴是的切线；--------------------（3分） （2）解：如图所示为所求： --------------------（5分） （3）解：连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，，--------------------（6分） ∵， ∴， ∴，--------------------（7分） ∵， ∴，， ∴，，--------------------（8分） ∵， ∴， ，--------------------（9分） ∵， ∴， ∴，--------------------（10分） 设，则， ∴，解得， ∴．--------------------（11分） 23.（11分） 解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线；--------------------（2分） （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：；--------------------（5分） （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为 ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为--------------------（7分） 将代入得，，解得   ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴--------------------（8分） 将代入得，，解得， ∴--------------------（9分） 将代入得，，解得 ∴ ∴--------------------（10分） 综上所述，的取值范围是或．--------------------（11分） 24.（12分） 【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，如图1， ∵点D是的中点，且， ∴，--------------------（1分） 在中，， ∴，， 由旋转得：， 即，--------------------（2分） ∵， ∴， 在和中， ， ∴，--------------------（3分） ∴， ∴， 在中，；--------------------（4分） （2）解：证明：如图2，连接，过点F作交于H， ∵△ABC是等腰直角三角形，E、F分别是的中点， ∴AE=EF，， ∴， 由旋转得， ∴， ∴，--------------------（5分） 在和中， ， ∴， ∴，--------------------（6分） ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，--------------------（7分） 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；--------------------（8分） （3）解：设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图， ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵Q是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设则 在中，，， 当A、Q、G三点共线时，，取得最大值， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为．--------------------（12分，直接给出答案即可得分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列四个数中，比小的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 4．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．2 B．1.8 C． D．5.4 5．如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（   ） A． B． C． D． 7．已知，且，则的值用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，将△ABC绕顶点旋转得到△DEC，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（   ） ①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米 A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①② 11．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤ 12．如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分.） 13．与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 14．若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 15．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数  图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ． 16．如图，在正六边形中，对角线分别交于点H，G，若△ABC与五边形的面积分别为，则 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分）如图，数学课上，老师用四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式． (1)直接写出算式的结果； (2)若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 18．（7分）课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程： 作业题1 作业题2 解分式方程：． 解：去分母，得  ① 去括号，得    ② 移项，得    ③ 合并同类项，得    ④ 系数化为1，得    ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解：   ①     ②    ③ (1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程． 19．（8分）为了了解全校学生对中国古代数学家的知晓情况，数学老师设计了10道选择题，并对全校学生进行问卷调查，每题1分，调查结束后，随机抽取了部分学生的问卷，将成绩和人数进行整理，并将结果制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题 (1)求抽取了多少份学生的问卷，并补全条形统计图； (2)求出被抽取学生成绩（单位：分）的众数、中位数和平均数，并判断哪一个最大； (3)该校共有1200名学生，若成绩不低于9分视为优秀，请估计全校有多少名学生达到优秀． 20．（9分）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 21．（9分）如图，已知直线经过点和，约定在坐标系内可对直线进行如下两种方式操作： 甲方式：先向上平移3个单位，再向右平移1个单位； 乙方式：先向上平移3个单位，再向右平移2个单位． 解决下列问题， (1)求直线的解析式； (2)若对直线连续进行两次操作． ①若这两次操作均为甲方式，请直接写出所得直线的解析式，并求其与坐标轴的交点； ②若这两次操作方式是随机选择的，设事件 “所得直线与重合”，求事件发生的概率； (3)嘉嘉对直线连续进行10次操作得到直线，若，及（2）中三条直线满足“任意两条相邻直线间距离相等”，直接写出：嘉嘉按甲方式进行了几次操作？ 22．（11分）如图，是的外接圆，为的直径，在△ABC外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P． (1)求证：是的切线； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)； (3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长． 23．（11分）综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 24．（12分）已知△ABC是等腰直角三角形，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长； (2)如图2，当点在△ABC外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$