17.1 勾股定理-同步训练 2024—2025学年人教版八年级数学下册

17.1 勾股定理 一、选择题： 1.在中，，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 2.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是(    ) A. B. C. D. 3.如图，数轴上点所表示的数为，则的值是  (    ) A. B. C. D. 4.如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 5.勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，则下列结论正确的是：(    ) A. B. C. D. 6.小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则正方形的周长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是          ． 8.在中，，，若边上的高等于，则边的长为          ． 9.如图，分别以直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，已知，，则           ． 10.已知，，是中，，的对边，下列说法：若，则；若，则；若，则；总有其中正确的有          填序号． 11.根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法简称为“无字证明”例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，体现了数形结合的数学思想分析如图，你可以写出的代数恒等式是______任选图作答回答时请注明图形序号，如图、图 12.九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题大意如下：如图，在中，，，，求的长若设，则可列方程          ． 三、解答题： 13.在中，，，，． 已知，，求； 已知，，求． 14.可以用如图所示的方法证明勾股定理，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角角形和个正方形组成，面积记为请你写出用此方法证明勾股定理的过程． 15.如图，在中，，，，． 求的长． 求的周长． 16.如图，在四边形中，，，，求的长． 17.如图，在中，，，，． 求线段的长； 求的周长． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】解：由勾股定理得：， 阴影部分的面积； 故选：． 由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理、熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：由图可得， ，故A正确； 小正方形面积为， 小正方形的边长为， ，故B正确； 大正方形面积为，小正方形面积为， ， 解得，故C正确； ，， ， ，故D错误． 故选D． 根据勾股定理和大正方形面积为，可以判断选项；根据小正方形面积为，可以判断选项；根据大正方形面积为，小正方形面积为，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到的值，即可判断选项；根据完全平方公式可以判断选项． 本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意可得，， 解得， ， 正方形的周长为， 故选：． 先设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可以得到，然后求出、的值，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可． 本题考查勾股定理、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7.【答案】  8.【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查了三角形的分类、勾股定理的运用、分类讨论思想的运用解题关键在于利用分类讨论的思想将分为锐角三角形和钝角三角形进行讨论，结合勾股定理即可得出答案． 【解答】 解：如图， 如图，当为锐角三角形时，在中， ，， ， 在中， ，， ， 如图，当为钝角三角形时， 在中，， 在中，， ． 故答案为或． 9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】；  【解析】解：如图，根据矩形的面积公式得， 故答案为：； 如图，， ； 故答案为：． 利用等面积法证得勾股定理． 本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握矩形和梯形的面积公式是解题的关键． 12.【答案】  13.【答案】【小题】   【小题】   14.【答案】证明：根据题意，得，． ，，．   15.【答案】解：在中，； 在中，， 则的周长．  【解析】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键． 根据勾股定理求出； 根据勾股定理求出，计算即可． 16.【答案】解：连接， ． ． ． ， ． ．  【解析】连接，首先由勾股定理求得的值；然后在直角中，再次利用勾股定理来求的长度即可． 考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 17.【答案】解：， ． 在中，，，， ． ，， 为等腰直角三角形， 又， ，， ．  【解析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及三角形的周长，解题的关键是：在中利用勾股定理求出的长；根据等腰直角三角形的性质求出、的长． 由可得出，在中，利用勾股定理即可求出的长； 由、可得出为等腰直角三角形，结合的长度可得出、的长度，再利用周长的定理即可求出的周长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$