清单01 任意角、弧度制及三角函数的定义（考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

清单01 任意角、弧度制及三角函数的定义 清单01 任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2）与中间用“”连接，如可理解成． 清单02 弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 清单03 扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 清单04 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 清单05 特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 【考点题型一】任意角与弧度制、终边相同的角（） 【例1】下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设集合，那么（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【变式1-4】把写成的形式是 . 【考点题型二】象限角与区域角（） 【例2】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 【变式2-1】已知第一象限角锐角小于的角，则关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】“”是“角的终边落在第一或第四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2-3】写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 【变式2-4】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【考点题型三】和的所在象限（） 【例3】（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 【变式3-1】（多选）角的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 【变式3-2】若，，试确定，分别是第几象限角． 【变式3-3】已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 【变式3-4】的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 【考点题型四】弧长公式与面积公式（） 【例4】已知某扇形的面积和周长分别为6，10，则该扇形的圆心角为（   ） A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角 【变式4-1】已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，某扇环形木雕如图所示，可视为扇形截去扇形所剩余的部分．已知扇环形的周长为，，则的弧度数为 ，扇环形的面积为 ． 【变式4-3】一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为    【考点题型五】扇形中的最值问题（） 【例5】已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-1】周长为40的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 . 【变式5-2】如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 【变式5-3】已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 【变式5-4】如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【考点题型六】三角函数的定义（） 【例6】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若角的终边经过点，则 ． 【变式6-2】已知点是角α的终边上一点，则 ． 【变式6-3】（多选）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 【考点题型七】三角函数值符号的运用（） 【例7】若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【变式7-1】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】若是第四象限角，则点在第 象限. 【变式7-3】若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式7-4】（多选）若角的终边在第四象限，则的值可能为（    ） A．0 B．4 C．6 D． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 任意角、弧度制及三角函数的定义 清单01 任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2）与中间用“”连接，如可理解成． 清单02 弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 清单03 扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 清单04 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 清单05 特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 【考点题型一】任意角与弧度制、终边相同的角（） 【例1】下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 【变式1-1】用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用弧度制可表示为， 所以与角的终边相同的角构成的集合为 故选：D． 【变式1-2】设集合，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于M中，是奇数； 而N中，是整数，因此必有． 故选：B. 【变式1-3】经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 【变式1-4】把写成的形式是 . 【答案】 【详解】因为 所以. 故答案为：. 【考点题型二】象限角与区域角（） 【例2】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 【答案】 【详解】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成． ①． ②． 角的集合应当是集合①与②的并集： ． 【变式2-1】已知第一象限角锐角小于的角，则关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误； 对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确； 对于C选项，锐角是第一象限角，故，C选项错误； 对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误. 故选：B 【变式2-2】“”是“角的终边落在第一或第四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】当时，角的终边落在轴的正半轴，不属于第一或第四象限，充分性不成立； 当时，角的终边落在第一象限，但，必要性不成立； “”是“角的终边落在第一或第四象限”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【变式2-3】写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 【答案】（1）； （2）. 【详解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， 则得（1）； （2）. 【变式2-4】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 【考点题型三】和的所在象限（） 【例3】（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 【答案】BD 【详解】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴非正半轴上，所以D正确． 故选：BD． 【变式3-1】（多选）角的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 【答案】ABC 【详解】角的终边在第三象限， ，， ，． 的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴． 故选：ABC. 【变式3-2】若，，试确定，分别是第几象限角． 【答案】为第一象限角；为第一或第三象限角 【详解】由得：，为第一象限角； 由得：， 当时，，则为第一象限角； 当时，，则为第三象限角； 综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角. 【变式3-3】已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 【答案】 二、四 第一、二象限或轴的非负半轴上 【详解】是第三象限角，即， ， 当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角； 而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上. 故答案为：二、四；第一、二象限或轴的非负半轴上. 【变式3-4】的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 【答案】C 【解析】根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置. 【详解】由于的终边在第三象限，则， 所以，， 因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴. 故选：C. 【点睛】本题考查角的终边位置的判断，一般利用不等式来判断，考查推理能力，属于基础题. 【考点题型四】弧长公式与面积公式（） 【例4】已知某扇形的面积和周长分别为6，10，则该扇形的圆心角为（   ） A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角 【答案】C 【详解】由条件可得：， 联立消去可得：， 解得或. 当时，，，第二象限的角， 当当时，，，第一象限的角， 故选：C. 【变式4-1】已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为该扇形的圆心角为，面积为25， 根据，可得， 所以. 故选： 【变式4-2】木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，某扇环形木雕如图所示，可视为扇形截去扇形所剩余的部分．已知扇环形的周长为，，则的弧度数为 ，扇环形的面积为 ． 【答案】 1 4 【详解】设，则依题意有， 即，得， 所以扇环形的面积为． 故答案为：1，4． 【变式4-3】一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形的弧长、面积和中心角分别为，扇形的半径为， 因为，所以，由题有，解得， 故选：B. 【变式4-4】外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为    【答案】 【详解】延长相交于点，设，    则，解得， 所以扇环的面积为， 故答案为： 【考点题型五】扇形中的最值问题（） 【例5】已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 【变式5-1】周长为40的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 . 【答案】 【详解】设扇形所在圆半径为，则该扇形弧长，， 于是该扇形的面积，当且仅当时取等号， 所以当时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角等于. 故答案为： 【变式5-2】如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）由，则，， 所以，即，， . （2）由（1）知，， 几何图形的周长为， ，当且仅当，即时，最大值为1. 【变式5-3】已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 【答案】 【详解】设扇形所在圆半径为，∴ 如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴, ，故， 所以最大的圆周长为. 故答案为： 【变式5-4】如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)面积为，弧AB的长为 (2)， 【详解】（1）由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； （2）由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：． 【考点题型六】三角函数的定义（） 【例6】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故选：B 【变式6-1】若角的终边经过点，则 ． 【答案】 【详解】依题意，. 故答案为： 【变式6-2】已知点是角α的终边上一点，则 ． 【答案】/ 【详解】点即， 依题意，. 故答案为:. 【变式6-3】（多选）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意角的终边经过点，且，可知， 解得，故A正确，B错误； 所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 【变式6-4】在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 【答案】 【详解】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，且， 由三角函数的定义可得，则， 整理可得，解得或（舍）. 故答案为：. 【考点题型七】三角函数值符号的运用（） 【例7】若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】B 【详解】， 所以角为第二或第三象限角. 故选：B 【变式7-1】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，为第二象限角，故， 得. 故选：BD 【变式7-2】若是第四象限角，则点在第 象限. 【答案】三 【详解】是第四象限角，则， 故点在第三象限， 故答案为:三 【变式7-3】若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】为第四象限角，，，则，.又，则为第四象限角， 故选：D. 【变式7-4】（多选）若角的终边在第四象限，则的值可能为（    ） A．0 B．4 C．6 D． 【答案】CD 【详解】由角的终边在第四象限，得， 则，因此是第二象限角或第四象限角. 当是第二象限角时，； 当是第四象限角时，. 故选：CD. 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$