专题11 全等模型之倍长中线与截长补短模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题11 全等模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 20 36 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（22-23七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．       例2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题： 如图①，是的中线，若，，求的取值范围． “善思小组”通过探究发现，延长至点E，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是 ；A．     B．     C．     D． (2)求得的取值范围是 ； A．    B．    C．    D． 解题时，条件中若出现“中点”或“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一三角形中．根据上面解题方法的启发，请你解答问题．(3)如图②，在中，，点D，E在上，点E是的中点，交于点F，．求证：平分． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段．求作：，使边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据______作出． ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（）若用其他思路，作法正确也可以． 作等腰，满足腰，底边上的高．       变式2．（23-24八年级上·北京东城·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 变式3．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；（3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 例2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】（2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答；②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】（3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 变式1．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D．(1)试判断与的位置关系，并说明理由：(2)试判断的数量关系，并说明理由；(3)若，，求四边形的面积． 变式2．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）【问题背景】在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 1．（23-24八年级·广西贵港·期中）如图，在四边形中，，M是边的中点，平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 4．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于，连结，且也平分，则以下的命题中正确的有 ． ①；②为中点；③；④    5．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接，为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______）（______），∴． 6．（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务． 【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图1，在中，是边上的中线，延长到点．使．连接，易证（依据），进一步可得到等结论． 任务：（1）上述材料中的依据是_____________；（2）如图2，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，求证：． 【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把和边的中点和连接起来，得到线段，线段叫做三角形的中位线．下面是小轩的证明方法：延长到点，使，连接易证，得到，即，进而得到，因此可知，最终得到．通过推理，小轩总结得到这样的结论：如果点和点分别为和边中点，那么是的中位线，且．“几何语言”：和分别为和的中点是的中位线． 【旧知新论】（3）已知和，，，，连接和，点是线段的中点，连接交于点．请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想与的数量关系？并证明你的结论． 8．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）【问题提出】如图①，在中，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，经过推理可知…（2）的取值范围为 　　． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【应用】如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，，求证：． 【拓展】如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，则的面积为 　　．    9．（23-24八年级上·河北衡水·期中）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． （2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．             10．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在中(1)若平分，求证：(2)若为边上的中线，且，求的取值范围． 11．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 12.（2024·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分．(1)求证：；(2)求证：． 13．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 14．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 15．（2024·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 16．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　． 17．（2024·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______． (2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：． (3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 18．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点，∴．∵，，∴， ∴，，∴，．请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 19．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 全等模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.倍长中线模型 1 模型2.截长补短模型 9 16 模型1.倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 例1．（22-23七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．    解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．    【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）由题意，， ∴，∴，∴， 即：，∴．故答案为：． （2）如图，延长至点E，使，连接．因为D为的中点，所以．    在和中，，所以，所以． 因为，且，，所以，所以． 因为线段的长度为整数，所以． 例2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题： 如图①，是的中线，若，，求的取值范围． “善思小组”通过探究发现，延长至点E，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是 ；A．     B．     C．     D． (2)求得的取值范围是 ； A．    B．    C．    D． 解题时，条件中若出现“中点”或“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一三角形中．根据上面解题方法的启发，请你解答问题．(3)如图②，在中，，点D，E在上，点E是的中点，交于点F，．求证：平分． 【答案】(1)D(2)C(3)见解析 【详解】（1）解：如图①中，延长到点E，使，连接， ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，故答案为：D； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：C； （3）证明：如图②，延长至点G，使得，连接． ∵点E是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分． 变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段．求作：，使边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据______作出． ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（）若用其他思路，作法正确也可以． 作等腰，满足腰，底边上的高．       【答案】(1)证明见解析(2)①，；②；③(3)见解析 【详解】（1）证明：∵是边上的中线，∴， ∵，，，∴； （2）解：①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据作出符合条件的；若知道，则可以根据作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出．故答案为：，； ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据作出．故答案为：； ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得，可得．故答案为：； （3）解：如图，，即为所求；    变式2．（23-24八年级上·北京东城·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：延长使得，连接，如图2，∵是的中线，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴，∴； （2）解：；由（1）得：， ∴，，∴； （3）解：；延长使得，连接，如图，    由（1）得：，∴， ∵，∴，由（2）得：，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴ 变式3．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4） 【详解】（1）为边上的中线，， 在和中     ，， ，，即，，，，故答案为： （2）如下图，交延长线于点       ，（同旁内角互补，两直线平行），，， 为的中点，，，， 又，，即，在和中， （全等三角形的对应角相等），即平分 （3）延长至点，使得，连接、、 由（1）同理易知，，， ，且， ，，， ，，，， （4）过点作交于点，由（3）可得，，，，    ，， 和互余，，， ，， ， 又，，故答案为： 模型2.截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：法一：∵平分，∴，∵，， ∴，∴，， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴ 法二：∵，∴∴ ∵∴∵平分，∴， ∵，∴，∴ ∵∴ （2）证明：在上取一点，使得，如图所示： ∵，∴∴， ∵，∴，∵，∴ ∵∴即：， ∴，即：，∴， ∵∴ ∵，∴，∴，∵，∴， 例2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】（2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答；②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】（3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析 【详解】解：（1）证明：根据作图可得，    又，∴，∴，即；故答案为：； （2）①在上截取．连接DE，∵是的角平分线，∴， 又∵，∴．∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即，，即点到的距离是； （3），理由如下：，， ，是的两条角平分线，且，交于点． ，； 在上截取，连接，则， ，， ∵，，，， 又，，是的角平分线，， ，，，． 变式1．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由：(2)试判断的数量关系，并说明理由； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴；∴∴； （2）解：，理由如下：延长，交延长线于点，如下图： 由（1）得，∵∴，∵，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴； （3）解：∵，∴∴四边形的面积等于的面积， 由（1）可得，∴，∴． 变式2．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）【问题背景】在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：成立，见解析；[结论运用]：216海里 【详解】解：[初步探索]：；∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，在和中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下：如图，延长到G，使，连接， ， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，在和中，，∴，∴， ∴，∴； [结论运用]：如图，连接，延长、交于点C， ， ∵，，∴， ∵，，∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立，即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是216海里． 1．（23-24八年级·广西贵港·期中）如图，在四边形中，，M是边的中点，平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，∵平分，∴， ∵M是边的中点，∴，∴平分， ∵，∴；故选B． 2．（2024·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 【答案】100°/100度 【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 在△BDM和△CDA中， ，∴△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°， ∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°， ∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点，∴，在与中，， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，   设，∵， ∴，解得，即．故答案为： 4．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于，连结，且也平分，则以下的命题中正确的有 ． ①；②为中点；③；④    【答案】①②④ 【详解】解：在上截取．平分，，    又，．． ，．∵． 平方，∴，又， ．①，故，故①正确； ②，即是中点，故②正确；③与不一定相等，故③不正确； ④，，，故④正确． 故答案为：①②④． 5．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接， 为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______） （______），∴． 【答案】线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换 【详解】证明：延长至点，使，连接， 为中点，（线段中点的定义）， 在和中，，，， ，（两直线平行，同位角相等），， 平分（角平分线的定义）， （等量代换），，∴． 故答案为：线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换． 6．（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)A(2) 【详解】（1）解：在和中，，故选：A． （2）解：延长到，使，连接，如图所示， ，，∵是中线，， ∵在和中，，， ，，， ，，． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务． 【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图1，在中，是边上的中线，延长到点．使．连接，易证（依据），进一步可得到等结论． 任务：（1）上述材料中的依据是_____________；（2）如图2，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，求证：． 【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把和边的中点和连接起来，得到线段，线段叫做三角形的中位线．下面是小轩的证明方法：延长到点，使，连接易证，得到，即，进而得到，因此可知，最终得到．通过推理，小轩总结得到这样的结论：如果点和点分别为和边中点，那么是的中位线，且．“几何语言”：和分别为和的中点是的中位线． 【旧知新论】（3）已知和，，，，连接和，点是线段的中点，连接交于点．请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想与的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）（2）见解析（3），证明见解析 【详解】（1）∵是边上的中线，∴． ∵． ∵，∴， ∴，，∴．故答案为：． （2）延长到点．使．连接，∵是边上的中线，∴．∵． ∵，∴，∴，，∴． ∵，∴，∵，∴，∴，∴． （3）．理由如下： 延长到点．使．连接，∵是的中点，∴， ∵，，∴直线是线段的垂直平分线，， ∴，∴， ∴， ∴，∴， ∵， ∴，∴，∴． 8．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）【问题提出】如图①，在中，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，经过推理可知…（2）的取值范围为 　　． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【应用】如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，，求证：． 【拓展】如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，则的面积为 　　．    【答案】问题解决：；应用：见解析；拓展：9 【详解】解：问题解决：延长到点E，使，连接，∵是的中线，∴， 又，∴，∴， 在中，，，，∴， ∵，∴；故答案为：； 应用：延长至点，使，连接，       同法可得：，∴，，∵，∴， ∵，∴，∴，∴； 拓展：延长至点，使，连接，同法可得：，∴，， ∵，平分，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴的面积为：；故答案为：． 9．（23-24八年级上·河北衡水·期中）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． （2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．             【答案】；（1）详见解析；（2）5；（3）， 【详解】【应用举例】 【问题解决】如图延长到，       使得连接易证得， ． 如图，延长到， 使得连接易证得， 垂直平分 即 在中，， ，理由如下： 如图3，延长AD到G，使AD=DG，延长DA交EF于P，连结BG，则不难得到△BGD≌△CAD，    ∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC， 又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠ BAC=∠EAF， ∴在△ABG和△EAF中，，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC， ∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ． 10．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在中 (1)若平分，求证： (2)若为边上的中线，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，在上取点E，使得，在与中， 平分，，，，， ，，，； （2）解：延长到点F，使得，连接， ，，为边上的中线， ， ，，，， 在中，，． 11．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)4 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中，∴， ∴， ∵，∴，、 ∵，∴，∴，∴； （3）解：作N关于的对称点， 由（2）可知，在上，， 当共线时，最小，当时，最小， ∵，，∴∴， ∴，故的最小值为4． 12.（2024·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见详解(2)见详解 【详解】（1）证明：∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴，∴； （2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示： ∵是的中线，∴，∵，∴（SAS），∴， ∵，∴，∵，， ∴（AAS），∴，∴． 13．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)16 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分，∴，∵，∴，∴，， ∵，∴，∵是的一个外角， ∴，∴，∴，∴∵，∴； （2）在上截取，连接，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴的长为16． 14．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【详解】解：[方法初探]延长至点E，使，连接．∵是边上的中线，∴， 在和中，∴，故答案为； [问题解决]，理由如下：证明：延长至点G，使，连接， 同理可证，∴，，∴， ∵，，∴， ∴，∴ ∵∴， 又∵，∴，∴∴． 15．（2024·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴，∵平分∴，   ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴．故答案为：． （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，   ∴，∴，∴． （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴，∵，∴， ∵，  ∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴∴，即平分． 16．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°， ∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD， 在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS） （2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE， 由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD， ∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°， ∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG， 在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS）， ∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF； （3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC ∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM， ∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM， ∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC， 在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD； ∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°， ∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG， 在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS）， ∴HG=EF，∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案为：CF=EF-BD． 17．（2024·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______． (2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：． (3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析(3)，理由见解析 【解析】（1）解：延长至E，使，连接， 是边上的中线，，在和中，， ，， 在中，由三角形的三边关系得：，，即， ，，；故答案为：；； （2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示： 同（1）可证：，， ，，∴MD是线段NF的垂直平分线，， 在中，由三角形的三边关系得：，； （3）解：，理由如下：延长至，使，连接，如图3所示： 由（1）得：，，， ，，即， ，，∵，，∴， 在和中，，，，． 18．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点，∴． ∵，，∴， ∴，，∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【详解】（1）解：如图②，为的中线，， 又，，，， 在中，，，， ，，故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接，点是的中点，． ，，， ，，，， ，∴ ，又∵，∴． ∵，∴，∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，，，，，， ，，故答案为：． 19．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴， 设，在中，由三边关系可得，即，∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示：∴， ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$