专题13 全等模型之手拉手模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题13 全等模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.全等模型--手拉手模型 1 12 模型1.全等模型--手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（2024·广东广州·八年级校考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【详解】解：①和为等边三角形， ，，，， 在和中，，，，，①正确； ②，在和中，，．，，，，②正确； ③同②得：，，③正确； ④，且，，故④错误；⑤，， 是等边三角形，，，， ，⑤正确；故答案为：①②③⑤． 例2．（2024·绵阳市八年级课时练习）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形． (1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明． 【答案】(1)①见解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；(3)α=60°，证明见解析 【详解】（1）①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）； ②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，又∵∠CED=60°，∴∠AEB=60°； （2）解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下； ∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CDA=∠CED=60°； ∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，∴∠ADB=60°； 又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，∴DE=2DM，∴2DM +BD=BE=AD； （3）解：α=60°，理由如下：同理可证△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC，∴∠CDF+∠CEF=180°， ∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，∴α=∠ECD=60°． 例3．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴， 又∵，∴， 即，∴，∴，①正确； ∵，∴，又∵， ∴，∴，即，③正确； 过点A分别作，垂足为点P,Q． ∵，∴，∴，∴， ∴点A在的平分线上，即平分，④正确．故选：D． 例4．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，． 是斜边的中点，，， ，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连结，延长到，使，连接并延长交于点．证明（具体证法过程跟②一样）．， 是中点，是中点，是中位线，， ，，， ，．故答案为：； ②证明：延长到点，使，连接． ，，，， ，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，，，． 例5．（2024·广东·七年级专题练习）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60； 【详解】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60° ∴， ， ∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴∴ 和中∴∴∴为等边三角形； （2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC∴为等边三角形；∴ 根据题意，AE和CD相交于点O ∵ ∴ ∵∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：； （3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC∴为等边三角形；∴ ∵，，∠ABC＝∠DBE＝60°∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴∴ 如图，延长，交CD于点O ∴ ∵∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：； （4）∵BA＝BC，∴ ∵∠ACB＝60°∴∴为等边三角形 ∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE∴ ∵， ∴ 和中 ∴∴ 分别延长CD、AE，相较于点O，如下图： ∴ ∵∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是故答案为：． 例6．（2024·山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 【答案】(1)BE＝CD．证明见详解；(2)90°；(3)BC＝BD+BE．证明见详解；(4)∠EBD＝120°． 【详解】（1）证明：问题初探：BE＝CD．如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD； （2）解：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F， ∵，，∴∠ACB=∠ABC=， ∵MF∥AC，∴∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF， ∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF， 在△BME和△FMD中，，∴△BME≌△FMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MFD=45°；∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．故答案为：90°； （3）解：BC＝BD+BE．如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE； （4）拓展创新：∠EBD＝120°．理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G， 如图则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM， ∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME+∠BMD=∠BMD+∠GMD=60°，∴∠BME＝∠DMG， 在△BME和△GMD中，，∴△BME≌△GMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MGB＝60°，∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°． 例7．（2024·广东·八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2) AG=CE，AG⊥CE；(3) △ADE的面积=△CDG的面积 【详解】（1）∵四边形ABCD与DEFG都是正方形，∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°， ∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS）， （2）AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE， ∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE； （3）△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°， ∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG， ∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面积=，△CDG的面积=， ∴△ADE的面积=△CDG的面积. 1．（2023·重庆·七年级重庆八中校考期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：，，，， ，即，所以①正确； 在和中，，，所以②正确；， ∵∠AFD=∠MFB，，，所以③正确．故选：． 2．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，即， 在和中，，， ，，，故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：，，故②正确，符合题意； 作于，于，如图所示，则， 在和中，，，，平分， ，当时，才平分， 假设，，，平分，， 在和中，，，， ，，与矛盾，③错误； 没有条件可以证明平分，④错误；正确的个数有个；故选：． 4．（2024·贵州遵义·八年级期末）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 【答案】6 【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即， ∵在中，，∴，， ∴是等边三角形，∴，，又∵在等边三角形中，，， ∴，∴ （SAS），∴，又∵，E为边的中点，∴， ∴，∴．故答案为6． 5．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是 ． 【答案】5 【详解】解：∵将AD顺时针旋转60°，得，连结，则AD=DD′=AD′，∴△ADD′是等边三角形， 又∵等边三角形，∴∠BAC=∠，∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°， ∴AB=AC，AD′=AD，∴△ABD′≌△ACD（SAS）， ∴BD′=CD，∴BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大， BD最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5．故答案为：5． ． 6．（2024·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）； (2)证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵，∴AM＝AN，∴点A在∠BFE平分线上，∴FA平分∠BFE． 7．（2024·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边CA延长线上一点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．(1)如图1，若点D在边BC上，求证：CE=CF+CD； (2)如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2) CD=CF+CE，理由见解析 【详解】（1）证明：在CA上截取CG=CD，连接DG，如图1所示： ∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠EDF=60°，BC=AC，DE=DF， ∵CG=CD，∴△CDG是等边三角形，∴DG=DC=CG，∠GDC=60°=∠EDF，∴∠EDG=∠FDC， 在△DEG和△DFC中， ，∴△DEG≌△DFC（SAS），∴GE=CF， ∵CE=GE+CG，∴CE=CF+CD； （2）解：CD=CF+CE，理由如下：在CA的延长线上截取CG=CD，连接DG，如图2所示： 同（1）得：△CDG是等边三角形，△DEG≌△DFC（SAS），∴DG=DC=CG，GE=CF，∵CG=GE+CE，∴CD=CF+CE． 8．（2024·江苏·八年级专题练习）已知为等边三角形． （1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． （2）如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边三角形，求证：无论点D的位置如何变化，的内角平分线的交点P始终在的角平分线上． （3）如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．试判断线段，，之间存在何种数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），证明见解析． 【详解】（1）∵和都是等边三角形，∴． ∴，即． 在和中，，∴． （2）过点P作于点M，交射线BA于点N，∴， ∵为内角平分线，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，即， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴平分，即无论点D的位置如何变化， 的内角平分线的交点P始终在的角平分线上． （3）在上截，连接， ∵，∴， 在和中，∴，∴， ∵为等腰直角三角形，∴ ∵E为斜边中点，∴，∴∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴，∴． 9．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)PE=AP+PD，见解析 【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE； （2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE， ∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，∴BD×AH=CE×AF，∴AH=AF， 又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE； （3）解：PE=AP+PD，理由如下：如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO， ∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，又∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP=AO， ∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，∴∠NPD=∠DAE=α=60°， ∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，又∵AP平分∠BPE，∴∠APO=60°， 又∵AP=AO，∴△APO是等边三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD． 10．（2023·江苏·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵，∴，又∵,∴（SAS）， ，∵，∴， ∴，∴，，故答案为：，； 拓展探究：成立．理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵，∴， 又∵，，∴（SAS），∴，， ∵，∴，∴，∴， 即，依然成立． 11．（2023·安徽八年级月考）综合与实践 特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接．如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ；拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【详解】解：，延长交于点G， ∵四边形为矩形，且AD=DC，∴BC=CD，=90º， 由旋转的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），， ∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º ， ，理由如下：如答图，延长交于点交于点， ，四边形为矩形，， ，， ，矩形为正方形．， 在和中，．． ． ． 12．（2023·福建八年级期中）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题 (1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由． 【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由见解析(2)∠ACB＝45° 【解析】（1）①CF⊥BD，CF＝BD ∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF 在△BAD与△CAF中， ∵∴△BAD≌△CAF（SAS）∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD， ∵∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD ；故答案为：垂直，相等； ②成立，理由如下：∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF 在△BAD与△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF（SAS） ∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD； （2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G ∵∠ACB＝45°∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°∵AG＝AC，AD＝AF， ∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，∴CF⊥BC． 13．（2024·江苏·七年级专题练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析 【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC， 令AD与CE交于点G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE， ∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°； （3）∠A+∠BCD=180°．理由：如图3，延长DC至P，使DP=DB， ∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°， ∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A， ∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°． 14．（2024·山东东营·七年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数． 【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°． 【详解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE， ∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，即，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD=CE； （2）BD=CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2． 所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．所以∠DAB=∠EAC． 在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS）．所以BD=CE，∠DBA=∠ECA． 因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°． 即∠DBC+∠ECB=90°．所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°． 所以BD⊥CE．综上所述：BD=CE且BD⊥CE． （3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．由图可知，AD=AB，AE=AC， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE=CD，， 又∵，∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°， ∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°，    ∴∠PBC+∠PCB=60°． 15．（2024·广东汕头·九年级校考开学考试）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．(1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：由得：，∵，∴， ∵，，∴，∴． 16．（2024·江苏·八年级假期作业）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）证明：、是等边三角形，， ，即，≌； （2）解：≌，，，； （3）证明：如图，作于点于点， ，，，， ，，，平分． 17．（2024·山东临沂·八年级统考期中）（1）如图1，与均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______． 【答案】（1）见解析；（2）60°； 【详解】（1）证明∵，∴，即． 在和中，∴．∴． （2）解：和均为等边三角形，∴，，． ∴，即． 在和中，∴，，，∴． ∴，．∵点A，D，E在同一直线上，∴．∴． ∴． 故答案为：， 18．（2024·陕西·九年级专题练习）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°． 点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°． 问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°． 【答案】见解析； 【详解】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，如图所示： 则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°， ∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1=90°+45°=135°， ∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，∴E、C1、N1三点共线， 在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1=EM1，∠1=∠2， ∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5， ∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°． 19．（2024·湖南怀化·八年级统考期末）问题发现：如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系． 拓展探究：如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系． 【答案】问题发现：∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE，理由见解析；拓展探究：∠BEC＝90°，BF＝CE＋AF，理由见解析 【详解】问题发现：∵△ACB和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA， ∵点B，D，E在同一直线上，∴∠ADB＝180－60＝120°，∴∠AEC＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝120－60＝60°， 综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE． 拓展探究：∵△ACB和△DAE均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC， ∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADB＝180－45＝135°， ∴∠AEC＝135°，∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝135－45＝90°； ∵∠DAE＝90°，AD＝AE，AF⊥DE，∴AF＝DF＝EF，∴DE＝DF＋EF＝2AF，∴BF＝BD＋DF＝CE＋AF． 20．（2024·广东深圳·八年级校考期中）在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度． (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度． (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由． (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．        【答案】(1)90(2)120(3)(4)或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：90； （2）∵，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：120； （3），理由如下：∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴； （4）如图4，当点D在的延长线上时，，       证明方法同（3）；如图5，当点D在的延长线上时，， 理由如下：∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴．综上，或． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 全等模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.全等模型--手拉手模型 1 12 模型1.全等模型--手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（2024·广东广州·八年级校考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上） 例2．（2024·绵阳市八年级课时练习）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形． (1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明． 例3．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 例4．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 例5．（2024·广东·七年级专题练习）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 例6．（2024·山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 例7．（2024·广东·八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 1．（2023·重庆·七年级重庆八中校考期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·贵州遵义·八年级期末）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 5．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是 ． 6．（2024·安徽芜湖·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE． 7．（2024·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边CA延长线上一点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．(1)如图1，若点D在边BC上，求证：CE=CF+CD； (2)如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 8．（2024·江苏·八年级专题练习）已知为等边三角形． （1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． （2）如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边三角形，求证：无论点D的位置如何变化，的内角平分线的交点P始终在的角平分线上． （3）如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．试判断线段，，之间存在何种数量关系，并证明你的结论． 9．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由． 10．（2023·江苏·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 11．（2023·安徽八年级月考）综合与实践 特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接．如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ；拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由． 12．（2023·福建八年级期中）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题 (1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由． 13．（2024·江苏·七年级专题练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 14．（2024·山东东营·七年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数． 15．（2024·广东汕头·九年级校考开学考试）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．(1)求证：；(2)若，求的度数． 16．（2024·江苏·八年级假期作业）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．(1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分． 17．（2024·山东临沂·八年级统考期中）（1）如图1，与均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______． 18．（2024·陕西·九年级专题练习）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°． 点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°． 问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°． 19．（2024·湖南怀化·八年级统考期末）问题发现：如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系． 拓展探究：如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系． 20．（2024·广东深圳·八年级校考期中）在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度． (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度． (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由． (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．        12 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$