20.4 函数的初步应用（分层作业，5大题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（冀教版）

20.4函数的初步应用 题型一 图像的识别 1．如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若∠BAD=y，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、等腰三角形的性质及直角三角形的性质．根据题意，先得出y与x的函数关系式，再结合x的取值范围进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以， 即， 所以． 因为， 所以， 观察四个选项，D选项符合题意． 故选：D． 2．如图三个图像分别表示变量之间的关系，按图像的顺序将下面的三种情景境与之对应，正确的顺序是（    ） a．嘉琪去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果重量的关系 b．一个弹簧由不挂重物到所挂重物质量逐渐增加，弹簧的长度与所挂重物重量的关系 c．嘉琪从家到电影院，看了一段时间后，按原速原路返回，嘉琪离家的距离与时间的关系 A．a，b，c B．c，a，b C．c，b，a D．b，c，a 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图像，应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况作出选择． 【详解】解：c．嘉琪从家到电影院，看了一段时间后，这个时间段嘉琪离家的距离是不变的，再按原速原路返回，则嘉琪离家的距离与时间的关系符合图1 b．一个弹簧由不挂重物到所挂重物质量逐渐增加，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，则弹簧的长度与所挂重物重量的关系符合图2 a．嘉琪去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果重量的关系符合图3 故选：C． 3．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．分成3段分析可得答案． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：C． 4．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗 ； （2）匀速行驶的汽车 ； （3）足球守门员大脚开出去的球 ； （4）一杯越晾越凉的水 ． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 题型二 从图像中获取信息 1．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离和骑自行车时间之间的关系如图所示，给出下列说法：他们都骑行了；乙在途中停留了；甲、乙两人同时到达目的地；相遇后，甲的速度小于乙的速度；甲始终保持加速运动．根据图象信息，以上说法正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题是函数的图象的知识，熟练掌握从图象中读取信息的方法并灵活运用是解决本题的关键． 函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：函数图形上的任意点都满足其函数的解析式； 满足解析式的任意一对、的值，所对应的点一定在函数图象上； 判断点是否在函数图象上的方法是：将点的、的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 根据以上函数的图象定义逐一判断即可． 【详解】解：、图像中两人最终距离均为，故都骑行了，故正确； 、乙在到1小时，s不变，停留了，故正确； 、甲2小时到达，乙小时到达，不同时，故错误； 、甲速度；乙实际骑行时间，速度，速度相等，故错误； 、甲的图像是直线，为匀速运动，非加速，故错误； 综上所述，正确的有，共2个， 故选：B． 2．已知老李的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：老李从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示老李离家的距离．依据图中的信息，有下面的结论： （1）体育场离老李家； （2）体育场离文具店； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是； （4）老李在文具店买笔用时； （5）老李从文具店回家的平均速度是． 其中结论正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查对函数图象的理解和掌握，利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解判断即可． 【详解】解：（1）体育场离老李家，故原结论正确； （2）体育场离文具店，故原结论错误； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是，故原结论正确； （4）老李在文具店买笔用时，故原结论错误； （5）老李从文具店回家的平均速度是，故原结论错误； 故选：A． 题型三 用描点法画函数图像 1．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， ， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：D. 2．某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【答案】(1)下降；海拔高度h； (2)详见解析 (3) (4)该处的海拔高度是4千米 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，描点法画函数图象，列函数关系式，求自变量的值： （1）从表格获取信息作答即可； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）根据题意，列出函数关系式即可； （4）令，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知：随着海拔高度的升高，气温下降，因此自变量是海拔高度h； 故答案为：下降，海拔高度h； （2）描点，连线，画图如下： （3）由表格可知，海拔每上升，气温下降， ∴； （4）令， 解得：， ∴该处的海拔高度是4千米． 题型四 求自变量的值和函数值 1．一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查的是求自变量，理解函数关系式的含义是解本题的关键； 把代入函数解析式，可得答案． 【详解】解：把代入函数解析式， 可得：， 解得：， ∴当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是千米； 故选：A． 2．已知关系式，当时，，则当时，y的值是（   ） A．17 B．12 C．15 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键．把，代入求出函数解析式，再把代入即可求出y的值． 【详解】解：把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时， ． 故选C． 3．若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值的求解，把自变量代入函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 题型五 运动问题函数图像初步分析 1．如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何图形面积与函数图象的结合，理解几何图形面积的变化情况，掌握函数图象的增减性是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当点位于边上时；当点位于边上时；当点位于上时；根据几何图形面积的变化情况确定函数图形的增减性即可求解． 【详解】解：由题意得，当点位于边上时，的面积随着点的运动匀速增加； 当点位于边上时，的高保持不变， ∴的值保持不变； 当点位于上时，的面积随着点的运动匀速减小， 故选：B． 2．如图，在等腰△ABC中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，过作于点，由图象可知：，，通过面积求出，最后再通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： (1)图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； (2)图①中的图形的面积是多少？ (3)图②中b的值是多少？ 【答案】(1)8，24 (2)图①中的图形的面积为 (3) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． （1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；结合，可以计算出的面积，计算可得a的值； （2）分析图形可得，①中的图形面积等于，根据图象求出和的长，代入数据计算可得答案； （3）计算的长度，再由P的速度，计算可得b的值． 【详解】（1）解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：， 故图①中的长是； ∴， 即图②中的a是； 故答案为：8，24； （2）解：由图可得：，， 则， 又∵， 则①图的面积为， ∴图①中的图形面积为； （3）解：根据题意，动点P共运动了， 其速度是，则， ∴图②中的b的值是17． 1．如图①，已知动点在长方形的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接，记点的运动时间为，的面积为．图②是关于的函数图象，下列说法错误的是（    ） A．线段的长为3 B．长方形的周长为16 C．的值为15 D．长方形的面积为15 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象上点的坐标和图象的特点，利用长方形的性质可以判断出答案． 【详解】解：∵P在上时，的面积为S随t的增大而增大， ∴根据点可以得到，， ∴即， ∴， 当P在上时，S不变， ∴， ∵为长方形， ∴，，故选项A正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项C错误，符合题意； ∴长方形的周长为，故选项B正确，不符合题意； ∴长方形的面积，，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 2．如图，四边形是矩形，，动点P以每秒4个单位的速度从点A沿线段向B点运动，同时动点Q以每秒6个单位的速度从点B出发沿的方向运动，当点Q到达点D时，P、Q同时停止运动，若记的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象，分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在上，即时， 由题意，得：，， 则：； ∴图象为开口向上的抛物线的一段； 当点在上，即：时： ∴； 图象为一条上升的直线的一部分， 故能大致表示y与x之间函数关系图象的是 故选B． 3．已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查的是求函数值，先判断出时，所符合的关系式，然后将代入对应的函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 4．如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据点的运动路径，当点分别在上、上、上表示出的面积随的变化情况即可判断． 【详解】解：由题知，因为四边形是矩形，且，，． 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，， 当时，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而减少， 当时，点与点重合，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，． 对照四个选项，不难发现C选项符合题意． 故选：C． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20.4函数的初步应用 题型一 图像的识别 1．如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若∠BAD=y，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．如图三个图像分别表示变量之间的关系，按图像的顺序将下面的三种情景境与之对应，正确的顺序是（    ） a．嘉琪去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果重量的关系 b．一个弹簧由不挂重物到所挂重物质量逐渐增加，弹簧的长度与所挂重物重量的关系 c．嘉琪从家到电影院，看了一段时间后，按原速原路返回，嘉琪离家的距离与时间的关系 A．a，b，c B．c，a，b C．c，b，a D．b，c，a 3．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（   ）    A．   B．   C．   D．   4．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗 ； （2）匀速行驶的汽车 ； （3）足球守门员大脚开出去的球 ； （4）一杯越晾越凉的水 ． 题型二 从图像中获取信息 1．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离和骑自行车时间之间的关系如图所示，给出下列说法：他们都骑行了；乙在途中停留了；甲、乙两人同时到达目的地；相遇后，甲的速度小于乙的速度；甲始终保持加速运动．根据图象信息，以上说法正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知老李的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：老李从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示老李离家的距离．依据图中的信息，有下面的结论： （1）体育场离老李家； （2）体育场离文具店； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是； （4）老李在文具店买笔用时； （5）老李从文具店回家的平均速度是． 其中结论正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型三 用描点法画函数图像 1．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 2．某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 题型四 求自变量的值和函数值 1．一汽车油箱内剩余汽油的体积（升）与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为升时，它行驶的路程是（   ） 3．若在一定条件下，物体运动所经过的路程s（单位：）与时间t（单位：）之间的关系式为，则当时，该物体运动所经过的路程s为 ． 题型五 运动问题函数图像初步分析 1．如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰△ABC中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： (1)图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； (2)图①中的图形的面积是多少？ (3)图②中b的值是多少？ 1．如图①，已知动点在长方形的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接，记点的运动时间为，的面积为．图②是关于的函数图象，下列说法错误的是（    ） A．线段的长为3 B．长方形的周长为16 C．的值为15 D．长方形的面积为15 2．如图，四边形是矩形，，动点P以每秒4个单位的速度从点A沿线段向B点运动，同时动点Q以每秒6个单位的速度从点B出发沿的方向运动，当点Q到达点D时，P、Q同时停止运动，若记的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是（  ） A． B． C． D． 3．已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（   ） A． B． C． D． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$