18.2.3正方形的性质判定十二大题型-2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）（人教版）

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.2.3正方形的性质判定十二大题型（解析版） 知识要点归纳 知识点1、正方形的定义及性质 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 2. 性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 点拨：正方形是一个特殊的平行四边形，从它与矩形、菱形关系入手认识正方形，掌握它的性质与判定。 知识点2、正方形的判定 1. 从平行四边形出发：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。 2. （1）从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2） 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 3. 其他证法： （1） 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 （2） 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 （3） 既是菱形又是矩形的四边形是正方形。 点拨：判定一个四边形是正方形时，首先判定其是平行四边形、矩形、菱形，再判断其他条件。 题型归纳 【题型1 利用正方形性质求角度】 【题型2 利用正方形性质求线段长度】 【题型3 利用正方形性质求面积】 【题型4 正方形的折叠】 【题型5 求正方形重叠部分面积】 【题型6 根据正方形性质证明】 【题型7 添加条件使四边形是正方形】 【题型8 证明四边形是正方形】 【题型9根据正方形性质判定求角度】 【题型10 根据正方形性质判定求线段长度】 【题型11 根据正方形性质判定求面积】 【题型12 根据正方形的性质判定证明】 典例精析专练 【例1】．如图，正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，且．则的度数为　 　． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质 【解析】【解答】解：正方形的两条对角线相交于点O，点E在上， ， ， ， 故答案为：． 【分析】根据正方形的性质可得，根据等腰三角的性质及三角形内角和定理可得． 【变式1-1】．如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形 ； （2）解：，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是等腰直角三角形，， 是的中点， ， 同理，在中，， ， ，， ， ， ， ； ∵， 为的中位线， ，， ， 在中，， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ． 【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理 【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AB=AD，∠D=∠ABC=∠DAB=90°，由同角的余角相等推出∠DAE=∠BAF，从而由ASA证明△ADE≌△ABF，由全等三角形的对应边相等得AF=AE，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）取CE的中点M，连接GM，GC，由等腰直角三角形的性质得AG=EF，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CG=GE=GF=EF，则AG=CG，从而用SSS判断出△ADG≌△CDG，由全等三角形的对应角相等得∠ADG=∠CDG=45°；由三角形的中位线定理得出GM∥CF，GM=CF，由二直线平行，同位角相等得∠DMG=∠DCB=90°，然后易得△DMG是等腰直角三角形，则DM=GM，由勾股定理即可得出结论． 【变式1-2】．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【答案】B 【知识点】正方形的性质 【解析】【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠CAD=45°， ∵AE=AB，AB=AD， ∴AE=AD， ∴∠ADE=∠AED=67.5°， ∵∠ADC=90°， ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-67.5°=22.5°. 故答案为：B. 【分析】先利用正方形的性质及三角形的内角和求出∠ADE=∠AED=67.5°，再利用∠CDE=∠ADC-∠ADE计算即可。 【变式1-3】．如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕其顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小是　 　． 【答案】15°或 【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS 【解析】【解答】解：如图（1），当△AEF在正方形ABCD内部时，∵AB=AD，AE=AF，BE=DF， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠DAF=（∠BAD-∠EAF）=（90°-60°）=15°； 如图（2），当△AEF在正方形ABCD外部时，同理可证△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠DAF， ∴∠BAF=∠DAE， ∴∠BAF=∠DAE=（360°-∠BAD-∠EAF）=105°， ∴∠BAE=∠BAF+∠EAF=105°+60°=165°， ∴∠BAE的大小为15°或165°； 故答案为：15°或165°. 【分析】分两种情况：当△AEF在正方形ABCD内部时和当△AEF在正方形ABCD外部时，据此分别画出图形，利用三角形全等的判定与性质、正方形及等边三角形的性质分别求解即可. 【题型2 利用正方形性质求线段长度】 【例2】．如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：四边形是正方形， ，，， 又， ， ， ∴， ， 又， ， ∴中，． 故答案为：C． 【分析】根据正方形的对角线平分对角，对角线互相垂直且平分得出，，，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等得出，推得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解. 【变式2-1】．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴∠EMN=∠FMN=90°， ∴， ∴ ， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， 即 ， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】连接BE、BF、EN，由正方形的性质得AB=BC=CD，∠BAE=∠BCD=∠BCF=∠ABC=90°，由SAS证△ABE≌△CBF，得∠ABE=∠CBF，BE=BF， 从而由角的和差及等量代换推出∠EBF=90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，然后用SAS证△EMN≌△FMN，可得EN=FN，设CN=x，用含x的式子表示出EN、DE，在Rt△EDN中，利用勾股定理可算出x的值，从而得到CN、BC的长，进而再在Rt△BCN中，利用勾股定理算出BN即可. 【变式2-2】．如图，在正方形中，点E为中点，连接，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；正方形的性质 【解析】【解答】解：如图：过B作交延长线于H，则， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【分析】先证明，列出关于BH，HE的比例式，求出BH与HE，再证明，列出关于DF的比例式，求出DF，再根据求出FG． 【变式2-3】．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是(　　) A．2 B． C．2 D．5 【答案】B 【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：连接AC，CF，过点A作AM垂直于FG的延长线于点M，如图， ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ ∠GCF=45°， 同理∠ACD=45°， ∴ ∠ACF=90°， ∵ BC=1，CE=3， ∴ AC=，CF=， ∴ AF=， ∵ H是AF的中点， ∴ CH=. 故答案为：B. 【分析】根据正方形的性质可推出∠ACF，根据正方形的性质和勾股定理可得AC和CF，进而得到AF，根据直角三角形斜边的中线为斜边的一半，即可求得CH=. 【题型3 利用正方形性质求面积】 【例3】．如图，正方形的边长为，是的中点，是上一点，且． （1）求证：； （2）计算的面积． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 即， ， ， ， 即， ， ， ∽， ， ， ， ， ； （2）解：正方形的边长为， ，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， 由知， 的面积． 【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，再根据中点得到，等量代换得到，再结合题意等量代换得到，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质证明∽得到，从而结合题意进行角的运算即可求解； （2）先根据正方形的性质得到，，再根据中点得到，进而根据勾股定理求出AE和EF，从而根据三角形的面积即可求解。 【变式3-1】．如图，点 分别在正方形 的边 上， ，已知 ， 则 =（　　） A．6 B．12 C．15 D．30 【答案】C 【知识点】三角形的面积；正方形的性质 【解析】【解答】解：过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵AH⊥AE， ∴∠HAE＝∠BAD＝90°， ∴∠HAD＝∠BAE， 在△ADH和△ABE中， ∴△ADH≌△ABE（ASA）， ∴BE＝HD，AH＝AE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠HAF＝∠EAF＝45°， 在△AFH和△AFE中， AF＝AF ∴△AFH≌△AFE（SAS）， ∴EF＝HF， ∵DF＝2， ∴CF＝4， ∵EF2＝CE2＋CF2， ∴（2＋BE）2＝16＋（6−BE）2， ∴BE＝3， ∴HF＝HD＋DF＝5， ∵△AFH≌△AFE， ∴S△AEF＝S△AFH＝×HF×AD＝×5×6＝15， 故答案为：C． 【分析】过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，先证出△ADH≌△ABE可得BE＝HD，AH＝AE，再利用“SAS”证出△AFH≌△AFE，可得EF＝HF，再结合EF2＝CE2＋CF2，可得（2＋BE）2＝16＋（6−BE）2，求出BE的长，再利用线段的和差求出HF的长，最后利用三角形的面积公式求解即可. 【变式3-2】如图，正方形的边长为，点在边上，的中垂线分别交，于点，，延长至点，使，连结，，． （1）求证：． （2）设，四边形的面积． 用含的代数式表示． 当为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）证明：连结． 垂直平分， ， 又为正方形对角线上一点， 由正方形的轴对称性得：， ； （2）解：如图，作于点， 垂直平分， ， 又为正方形对角线上一点， 平分， ， ， ； ， 为等腰三角形分两种情况： 当时，即， ， 解得：， ， 当时，即， ， 化简得：， 解得：， ， ， ， 综上可得：或． 【知识点】一元二次方程的其他应用；等腰三角形的性质；正方形的性质；线段垂直平分线的应用 【解析】【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，线段的垂直平分线等知识，熟练掌握正方形的性质，明确等腰三角形分类讨论的情况是解题关键。（1）连结．由PN垂直平分得PE=PB，由正方形的轴对称性得，可得PE=PD；（2）①作于点，得PN=PM=CN=，； ②为等腰三角形分两种情况：得：，，，得，，可知或． 【题型4 正方形的折叠】 【例4】．如图是正方形纸片ABCD，点E在边BC上（不与点B，C重合），连接DE．把四边形ADEB翻折，折痕为DE，点A，B分别落在A'，B'处．若AB＝3，则点A'到点A的距离可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：连接AA'，与DE相交于点O，由折叠的性质可知DE垂直且平分AA'， ∴AA'＝2OA， 在Rt△AOD中，OA＝AD•cos∠DAO， ∵点E在边BC上（不与点B，C重合）， ∴0°＜∠DAO＜45°， ∴＜cos∠DAO＜1， ∵AD＝AB＝3， ∴＜AA'＜6， ∵3，4，5，6中，只有5在此范围内， ∴C选项符合题意， 故选：C． 【分析】连接AA'，与DE相交于点O，由折叠的性质可知DE垂直且平分AA'，先求出＜cos∠DAO＜1，再结合AD＝AB＝3，求出＜AA'＜6，即可得到3，4，5，6中，只有5在此范围内，从而得解. 【变式4-1】．综合实践课，同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，． （1）当点在上时，的度数是　 　． （2）如图，改变点在上的位置点不与点，重合，延长交于点，连接． 求证：； 若正方形纸片的边长为，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：四边形ABCD是正方形， ∴ AB=BC=CD=AD，， 由折叠可得，，， ，， 又， ≌， ， ； 解：由可知MQ=CQ=1，四边形ABCD是正方形，边长为8， ，，， 设，则， 又， ， ， ， 解得， 的长为． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】（1）解：连接AM，如图所示， 由折叠的性质可得：AE=BE，DF=CF， ，，， （SAS）， ， ， ， 是等边三角形， ， 又四边形是正方形， ， ． 故答案为：． 【分析】（1）连接AM，根据SAS证明，根据全等三角形的性质证明三角形ABM是等边三角形，结合正方形ABCD的性质求解即可； （2）①由正方形的性质和折叠的性质准备条件，根据HL证明，从而推出MQ=CQ，最后由PQ=PM+MQ即可得证；②由正方形的性质和折叠的性质，设AP=x，则PD=8-x，PQ=x+1，DQ=7，然后利用勾股定理，即可得到AP的长．​​​​​​​ 【变式4-2】．数学活动中，小伟同学利用一张正方形纸片作如下操作：如图，先对折正方形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕和线段，若线段，则线段　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，， ， . 故答案为：. 【分析】由折叠的性质可得BE=3cm，，再利用勾股定理求得EN的长度. 【题型5 求正方形重叠部分面积】 【例5】． 如图， 正方形 的边长是 2 ， 对角线 相交于点 ， 点 分别在边 ， 上， 且 ， 则四边形 的面积为（　　） A．0.5 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：∵四边形ABD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴S△AOE＝S△BOF， ∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1； 故答案为：B. 【分析】先利用正方形的性质和角的运算利用等量代换可得∠AOE＝∠BOF，再利用“ASA”证出△AOE≌△BOF，可得S△AOE＝S△BOF，最后利用正方形的面积公式及等量代换求出四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1即可. 【变式5-1】．如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形，则图中阴影部分面积为　 　. 【答案】 【知识点】三角形的面积；正方形的性质；旋转的性质；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：如图，连接AE， 由旋转知：AD=AB'=3，∠D=∠B'=∠DAB=90°，∠B'AB=30°， ∴∠DAB'=60°， ∵AE=AE， ∴Rt△ADE≌Rt△AB'E(HL) ∴∠DAE=∠B'AE=30°，S△ADE=S△AB'E， 在Rt△ADE中，AD=3， ∴DE=AD=， ∴S△ADE=×3×=， ∴ 阴影部分面积=正方形ABCD的面积-2S△ADE=9-2×=9-. 故答案为：9-. 【分析】连接AE，证明Rt△ADE≌Rt△AB'E(HL)，可得∠DAE=∠B'AE=30°，S△ADE=S△AB'E，由直角三角形的性质求出DE=AD=，从而求出△ADE的面积，根据阴影部分面积=正方形ABCD的面积-2S△ADE即可求解. 【变式5-2】．如图，正方形 与正方形 ，其中点 三点共线，点 在边 上，点 是 与 的交点． 若正方形 的面积是 9，则 的面积为　 　． 【答案】 【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；正方形的性质 【解析】【解答】解：连接DB， ∵四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形， ， ， 的面积的面积正方形的面积． 故答案为：． 【分析】连接DB，由正方形的每条对角线平分一组对角得，进而根据同位角相等，两直线平行得，进而根据平行线间的距离相等及同底等高的三角形面积相等即可得S△BOE=S△DOE，最后再根据正方形性质可得S△BOE=S正方形BEFG可得答案. 【题型6 根据正方形性质证明】 【例6】．已知：如图，是正方形对角线上的一点，且，垂足为，交于点． 求证：． 【答案】证明：连接BF， ∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BD， ∴∠C=∠BEF=90°，∠EDF=45° ∴∠EFD=45°，即∠EDF=∠EFD， ∴DE=EF， ∵BE=BC， ∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL） ∴EF=CF， ∴DE=CF； 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质 【解析】【分析】连接BF，由正方形的性质及垂直的定义可得∠C=∠BEF=90°，∠EDF=45°，从而得出∠EDF=∠EFD=45°，可得根据HL证明Rt△BEF≌Rt△BCF，可得EF=CF，利用等量代换可得DE=CF. 【变式6-1】．正方形的边长为，正方形的顶点、分别在正方形的对角线和边上，，连接． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）证明：正方形和， ，，， ， ≌， ； （2）解：连接和， 正方形的边长为，且， ，，， ， 由得≌，， ， ， ． 【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）利用正方形的性质及余角的性质可得AD=CD，DE=DG，∠ADE=∠CDG，根据SAS证明△ADE≌△CDG，可得AE=CG； （2）连接和，先求CF=2，再利用勾股定理求出EG=DF=，由（1）知△ADE≌△CDG，可得，从而推出∠ECG=90°，根据勾股定理即可求解. 【变式6-2】．如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点． （1）请问和有何数量关系，并说明理由； （2）如图所示，在的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数． 【答案】（1）解：CF=CG，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCD=90°=∠DCG， ∴∠CDG+∠G=90°， ∵AE⊥BF， ∴∠FBC+∠AEB=90°， ∵AE∥DG， ∴∠G=∠AEB， ∴∠FBC=∠CDG， 在△BCF和△DCG中， ∴△BCF≌△DCG（ASA）， ∴CF=CG，结论得证. （2）解：连接EH，如图： 在正方形ABCD中，AD∥BC，即AD∥EG， 又∵AE∥DG， ∴四边形ADGE是平行四边形， ∴AE=DG，AD=EG， ∵在正方形ABCD中，AD=BC， ∴BE=BC-EC=AD-EC=EG-EC=CG， ∵在矩形FCGH中，FH=CG， ∴FH=BE， ∵在矩形FCGH中，FH∥CG，即FH∥BE， ∴四边形BEHF是平行四边形， ∴BF=EH， 由（1）得△BCF≌△DCG， ∴BF=DG， ∴AE=EH， ∴∠EAH=∠EHA， ∵在平行四边形BEHF中，EH∥BF， 又BF⊥AE， ∴EH⊥AE， ∴∠AEH=90°， ∴∠EAH+∠EHA=90°， ∴∠EAH=∠EHA=45°， ∵AE∥DG， ∴∠AMD=∠EAH=45°. 【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质 【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得BC=DC，∠BCD=∠DCG=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠CDG+∠G=90°，∠FBC+∠AEB=90°，根据两直线平行，同位角相等可得∠G=∠AEB，根据等角的余角相等可得∠FBC=∠CDG，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解； （2）连接EH，根据正方形的对边平行可得AD∥EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ADGE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AE=DG，AD=EG，根据正方形的四条边都相等和矩形的对边相等可推得BE=EH，结合正方形的对边平行和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEHF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BF=EH，根据全等三角形的对应边相等可得BF=DG，推得AE=EH，根据等边对等角可得∠EAH=∠EHA，根据平行四边形的对边平行和两直线平行，同位角相等可得∠AEH=90°，根据三角形内角和是180°可得∠EAH=∠EHA=45°，根据两直线平行，内错角相等即可求解. 【题型7 添加条件使四边形是正方形】 【例7】． 如图， 四边形 是菱形， 添加一个条件不能使它成为正方形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方形的判定 【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，正确； B、对角线相等的菱形是正方形，正确； C、因为∠BAD+∠ABC=180°，所以∠BAD=∠ABC=90°，有一个角是直角的菱形是正方形，正确； D、一边等于一条对角线的菱形不能做为判定为正方形的依据，错误； 答案为：D. 【分析】本题主要考查正方形的判定方式，如果在菱形的基础上增加条件证明为正方形，通常情况下是增加"一个内角为直角"或“对角线相等”等条件 . 【变式7-1】．如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 一组邻边相等 一个角是直角 顺次添加的条件： ， 则正确的添加顺序是(　　) A．仅 B． C． D． 【答案】C 【知识点】正方形的判定 【解析】【解答】 解：：两组对边分别相等得出四边形是平行四边形，再添加 一组邻边相等，得到菱形，然后再添加一个角是直角可得正方形，故①符合题意； ： 两组对边分别相等与 一组对边平行且相等得出的四边形都是平行四边形， 再添加一组邻边相等得到是菱形，故②不符合题意； ： 一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形，再添加 一个角是直角是矩形，然后再添加 一组邻边相等可得正方形，故③符合题意； 故选C. 【分析】 ①是根据一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形 ②是一组邻边相等的平行四边形是菱形 ③根据一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形. 【变式7-2】．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使矩形ABCD是正方形． 【答案】AB=AD(答案不唯一) 【知识点】正方形的判定 【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，AB=AD， 矩形ABCD是正方形. 故答案为：AB=AD. 【分析】邻边相等的矩形是正方形. 【变式7-3】．已知四边形ABCD中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方形的判定 【解析】【解答】解： 故答案为： 由∠A=∠B=∠C=90°，可以判定四边形ABCD为矩形， 因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形， 故答案为：D. 【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形. 【题型8 证明四边形是正方形】 【例8】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA．求证：四边形AECF是正方形． 【答案】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA = OC，OB=OD． ∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF是菱形． ∵OE=OA=OF．∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC，∴菱形AECF是正方形． 【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定 【解析】【分析】先利用菱形的性质得到AC⊥BD，OA = OC，OE=OF，进而证得四边形AECF是菱形，再根据EF=AC证得菱形AECF是正方形． 【变式8-1】．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形． 【答案】解答：证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC∴∠DEB＝∠DFB＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形． 【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；正方形的判定 【解析】【分析】要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形． 【变式8-2】．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是 E，F.求证：四边形CFDE 是正方形. 【答案】证明：∵ ∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC ， ∴∠ACB=∠DFC=∠DEC=90°， ∴四边形DECF是矩形， ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC ， ∴DF=DE， ∴ 四边形CFDE是正方形. 【知识点】角平分线的性质；正方形的判定 【解析】【分析】先由三个角是直角得四边形是矩形证四边形DECF是矩形，由角平分线的性质可得DF=DE，根据一组邻边相等得矩形是正方形即证结论. 【变式8-3】．如图，在矩形ABCD中，∠ABC，∠DCB的平分线的交点 E 落在边AD 上，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形 BECF 是正方形. 【答案】证明：∵BF＝CF，BF⊥CF， ∴∠F＝90°，∠FBC＝∠FCB＝45°， 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°，BE＝CE， ∴∠EBF＝∠EBC+∠FBC＝90°＝∠BEC＝∠F， ∴四边形BECF是矩形， ∵BE＝CE， ∴四边形BECF是正方形． 【知识点】矩形的性质；正方形的判定 【解析】【分析】先证明四边形BECF是矩形，然后根据BE＝CE，即可证明四边形BECF是正方形． 【题型9根据正方形性质判定求角度】 【例9】．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上任意一点（点E不与点A、B重合），点F在AD的延长线上，BE＝DF． （1）求证：CE＝CF； （2）如图2，在图1的条件下，作点D关于CF的对称点G，连接BG、CG、DG，DG与CF交于点P，BG与CF交于点H、与CE交于点Q． （Ⅰ）若∠BCE＝20°，求∠CHB的度数； （Ⅱ）用等式表示线段CD、GH、BH之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ； （2）解：（I）点与点关于CF对称， 在和中， ， 由（1）得： （Ⅱ）线段CD、GH、BH之间的数量关系为： 理由如下： 如图2，连接BD， CP垂直平分DG， 设， 由（Ⅰ）得：， 在Rt中，由勾股定理得：， 在Rt中，， 【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定与性质 【解析】【分析】本题是一道四边形的综合题目，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理及三角形内角和定理等知识. (1)利用正方形的性质证明即可证明结论； （2） （Ⅰ） 证明可得：由（1）得：，进而求得得到然后三角形的内角和定理进行求解即可； （Ⅱ）连接BD，根据线段垂直平分线的性质可得：设，由（Ⅰ）得：，进而可以算得：再利用角度的和差关系可得：然后再利用勾股定理进行求解即可. 【变式9-1】．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接DE，FG，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：如图所示，延长交于点H，连接BE，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°. 过点E作与点F，于点G， ∴四边形是矩形 ∴， 易证， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴，是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：C． 【分析】延长交于点H，由题意得四边形是矩形，得到，，然后由正方形的性质证明出，是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的判定证明，得到，然后利用角度的等量代换即可求解． 【变式9-2】． 如图， 将一张矩形纸片先对折两次， 然后剪下一个角， 再打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形， 故答案为：C. 【分析】利用翻折的性质及正方形的判定方法和性质分析求解即可. 【题型10 根据正方形性质判定求线段长度】 【例10】．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】（1）证明：如图，作于，于， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 矩形是正方形； （2）解：四边形是正方形，， ，，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ≌， ； （3）解：当与的夹角为时， 如图， ，， ， ， ； 当与的夹角为时， 如图 ， 点，点，点，点四点共圆， ， 综上所述：或． 【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】(1)作EP、EQ分别垂直于CD、BC，可证明≌，即可证明EDEG为正方形； (2)结合正方形的性质得AE的长，由≌，可得CG的长； (3)讨论DE和AD，DE和DC所成夹角为30°时，求出EFC的度数. 【变式10-1】． 如图，在矩形ABCD中，的平分线交BC于点E，于点于点与EF交于点O. （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若，求DG的长. 【答案】（1）证明：∵矩形， 四边形ABEF是矩形， 平分， 四边形ABEF是正方形；.. （2）解：平分， 四边形ABCD是矩形， 又 由（1）可知四边形ABEF是正方形 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】(1)先根据矩形的性质和判定证出四边形ABEF是矩形，再根据角平分线的性质证出EF=EB，最后根据邻边相等的矩形是正方形证出即可. (2)先根据全等三角形的判定AAS证出进而得到DG=BE得出即可. 【变式10-2】． 如图，直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，BC=CD，DG∥BC交BA的延长线于点G，E是BC边上一点，将△CDE沿DE折叠，C点恰好落在AE上的F处. （1）求证：四边形BCDG为正方形； （2）若AB=6，CE=4，求CD的长. 【答案】（1）证明：∵DG∥BC，∠C=90°， ∴∠GDC=90°， 又∠B=90°， ∴四边形BCDG为矩形， 又BC=CD， ∴四边形BCDG为正方形； （2）解：由题意知，∠DFA=∠DFE=∠C=90°，DC=DF， ∵四边形BCDG为正方形， ∴DG=DC，∠DGA=90°， ∴DG=DF， ∴Rt△DGA≌Rt△DFA， ∴GA=FA， 设正方形BCDG的边长为a，则GA=FA=a－6，AE=a－2，BE=a－4， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2， ∴62+（a－4）2=（a－2）2， 解得，a=12， ∴BC的长为12. 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定；正方形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由题意根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形BCDG为矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形可求解； （2）由题意，用HL定理可证Rt△DGA≌Rt△DFA，则GA=FA，设正方形BCDG的边长为a，在Rt△ABE中，由勾股定理可得关于a的方程，解方程即可求解. 【题型11 根据正方形性质判定求面积】 【例11】．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 ，记 的面积为 ，四边形 的面积为 ． 若， ，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质 【解析】【解答】解：连结 ， 由题意得∶ ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， 同理可证∶△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG， ∴， 四边形是菱形， ， 又， 在同一直线上 又 ， 则 四边形 是正方形， 在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上； 设DG=CF=BH=AE=x， 则 ， ， 解得∶ (负值已舍去) ． 故选：B. 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质．先证明△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG，可得，从而得到四边形是菱形，再求，可证四边形 是正方形，进而得到 在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上，设DG=CF=BH=AE=x，用x表示出S1和S2，再由，即可求解． 【变式11-1】．如图，在正方形ABCD中，点为线段BC上一个动点，若MN垂直平分AP与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N，若已知正方形ABCD的面积，可以求得（　　） A．与面积之和 B．与面积之和 C．与面积之和 D．与面积之和 【答案】A 【知识点】三角形全等的判定；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：作，，，连接，如图： 设， 由四边形是正方形，则， ∵是直角三角形斜边上的中点， ， ∵， ∴为中点， 为的中位线； ∴； 由四边形为正方形，则， ∵， ∴； ∵，，， 故四边形是正方形， ； 垂直平分 ， ∵， ， 则， ， ， ∴， 得：， 设正方形的边长为，则正方形面积为， 则，， 故； ∵， 故已知正方形的面积可以求出与面积之和． 故答案为：A 【分析】作，，，连接，设，先根据正方形的性质得到，，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而根据三角形中位线的判定与性质得到，从而结合正方形的判定与性质证明四边形是正方形得到，再根据垂直平分线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再进行线段的运算得到，设正方形的边长为，则正方形面积为，则，，根据三角形的面积结合题意即可得到，从而即可求解。 【变式11-2】．如图，在中，的平分线交于点D，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）解：(1)四边形是菱形， ，， 四边形是平行四边形 平分 ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解： ∵， 四边形是正方形 ， 四边形的面积为∶． 【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定；正方形的判定与性质；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）由，得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义可得， 可得，即可证明平行四边形是菱形； （2）由得四边形是正方形，根据对角线可得边长，代入正方形面积公式，计算求解即可. 【题型12 根据正方形的性质判定证明】 【例12】． （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：如图1，在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF， ∴△CBE≌△CDF， ∴CE=CF； （2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF， 由（1）知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD， 即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°， ∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG， ∴GE=GF， ∴GE=DF+GD=BE+GD； （3）解：如图：过点C作CG⊥AD于G， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝90°， ∵∠A＝∠B＝90°，GC⊥AD， ∴四边形ABCG是矩形，且AB＝BC＝12， ∴四边形ABCG是正方形， ∴AG＝12， 由（2）可得DE＝DG＋BE， ∴DE＝4＋DG， 在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2， ∴（12−4）2＋（12−DG）2＝（4＋DG）2， ∴DG＝6， ∴AD＝6， ∴S四边形ABCD＝ (AD＋BC)×AB＝×(6＋12)×12＝108． 【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；直角梯形；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明CE=CF； （2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，得到∠BCE=∠DCF，进而得到∠GCF=∠GCE=45°，证明，得到GE=GF，即可证明GE＝BE＋GD； （3）过点C作CG⊥AD于G，得到∠A＝90°，证明四边形ABCG是矩形，且AB＝BC＝12，即四边形ABCG是正方形，得到AG＝12，根据勾股定理得到AE2＋DA2＝DE2，求出DG＝6，进而即可求出直角梯形ABCD的面积． 【变式12-1】．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连结DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE ，EF为邻边作矩形DEFG，连结AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB的中点，请求出AE的长． 【答案】（1）证明：如图，作EM⊥AD于点M， EN⊥AB于点N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD=∠EAB，∴ EM=EN．∵∠EMA=∠ENA= ∠DAB=90° ∴四边形ANEM是矩形． ∵EF⊥DE，∴∠MEN= ∠ DEF=90°， ∴∠DEM= ∠ FEN， ∵∠EMD=∠ENF=90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED=EF． ∵四边形DEFG是矩形，矩形DEFG是正方形． （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG=DE ， DC=DA=AB=4，∠ GDE=∠ADC= 90°， ∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE， ∴AG=CE ， ∴AG+AE = EC+AE =AC=AD=4． （3）解：连结DF，如图． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=4，AB∥ CD． ∵F是AB的中点，AF=FB=2．∵四边形DEFG是正方形， 设DE=EF=x，∵DF2 = AD2 +AF2 = DE2+EF2，∴42+22 =x2+x2 ， 解得×=(负值舍去)，即EF=，由(1)得EM= EN=AN，设EN=y，则FN=y-2．∴y2+(y-2)2=( )2 ，解得y=3(负值舍去)，即EN=EM=AN=3， ∴AE= 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质 【解析】【分析】（1）邻边相等的矩形为正方形，所以只需要证出ED=EF．通过证明△EMD≌△ENF即可解决问题； （2）可将AG和AE转移至同一条线上，通过证明△ADG≌△CDE，得AG=EC，所以 AG+AE =EC+AE=AC； （3）通过两种求DF长的方式可算出DE的长度，再在三角形EFN中，通过勾股定理求出EN的长度，从而可得出答案． 【变式12-2】．如图，在正方形ABCD中，E，F 分别是BC，CD 上的点，AE，BF 相交于点P，并且AE=BF. （1）如图1，判断AE和BF 的位置关系，并说明理由. （2）若AB=8，BE=6，求BP的长度. （3）如图2，作 DN⊥AE于点N，FM⊥DN于点M，当点F 在线段CD 上运动时(点 F 不与C，D 两点重合)，四边形 FMNP 能否成为正方形? 请说明理由. 【答案】（1）解：（1） AE⊥BF，理由如下： 在正方形ABCD中， AB=BC，∠ABE=∠C=90°， ∵ AE=BF ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL） ∴∠BAE=∠CBF， ∴∠CBF+∠ABP=∠BAE+∠ABP=∠ABC=90°， ∴∠APB=180°-（∠BAE+∠ABP）=90°， ∴AE⊥BF； （2）解：在Rt△ABE中， AB=8，BE=6 ， ∴AE==10， ∵AE⊥BF， ∴△ABE的面积=AE·BP=AB·BE，即×10BP=×8×6 解得BP=4.8； （3）解：四边形FMNP不能成为正方形 ， 理由：由（1）知∠APF=90°， ∵ DN⊥AE，FM⊥DN ， ∴四边形 FMNP是矩形， ∵∠BAP+∠NAD=∠NAD+∠ADN=90°， ∴∠BAP=∠ADN， ∵AD=AB，∠APB=∠AND=90°， ∴△ADN≌△ADN（ASA） ∴AN=BP，AP=DN ∵ AE=BF. ∴EN=PF， ∵ 点F在线段CD上运动时(点 F不与C，D 两点重合) ， ∴P、E不重合， ∴PN≠PF， ∴ 四边形 FMNP不能成为正方形. 【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得 AB=BC，∠ABE=∠C=90°，结合AE=BF ，可用HL证Rt△ABE≌Rt△BCF，利用全等三角形的性质及三角形内角和即可求解； （2）由勾股定理求出AE的长，再利用△ABE的面积=AE·BP=AB·BE即可求解； （3）用ASA证△ADN≌△ADN，可得AN=BP，AP=DN，结合AE=BF，可得EN=PF，根据点F在线段CD上运动时(点 F不与C，D 两点重合) ，可得P、E不重合，则PN≠PF，根据正方形的判定即可判断. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.2.3正方形的性质判定十二大题型 知识要点归纳 知识点1、正方形的定义及性质 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 2. 性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 点拨：正方形是一个特殊的平行四边形，从它与矩形、菱形关系入手认识正方形，掌握它的性质与判定。 知识点2、正方形的判定 1. 从平行四边形出发：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。 2. （1）从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2） 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 3. 其他证法： （1） 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 （2） 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 （3） 既是菱形又是矩形的四边形是正方形。 点拨：判定一个四边形是正方形时，首先判定其是平行四边形、矩形、菱形，再判断其他条件。 题型归纳 【题型1 利用正方形性质求角度】 【题型2 利用正方形性质求线段长度】 【题型3 利用正方形性质求面积】 【题型4 正方形的折叠】 【题型5 求正方形重叠部分面积】 【题型6 根据正方形性质证明】 【题型7 添加条件使四边形是正方形】 【题型8 证明四边形是正方形】 【题型9根据正方形性质判定求角度】 【题型10 根据正方形性质判定求线段长度】 【题型11 根据正方形性质判定求面积】 【题型12 根据正方形的性质判定证明】 典例精析专练 【例1】．如图，正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，且．则的度数为　 　． 【变式1-1】．如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式1-2】．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【变式1-3】．如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕其顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小是　 　． 【题型2 利用正方形性质求线段长度】 【例2】．如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为　 　． 【变式2-2】．如图，在正方形中，点E为中点，连接，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为　 　． 【变式2-3】．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是(　　) A．2 B． C．2 D．5 【题型3 利用正方形性质求面积】 【例3】．如图，正方形的边长为，是的中点，是上一点，且． （1）求证：； （2）计算的面积． 【变式3-1】．如图，点 分别在正方形 的边 上， ，已知 ， 则 =（　　） A．6 B．12 C．15 D．30 【变式3-2】如图，正方形的边长为，点在边上，的中垂线分别交，于点，，延长至点，使，连结，，． （1）求证：． （2）设，四边形的面积． 用含的代数式表示． 当为等腰三角形时，求的值． 【题型4 正方形的折叠】 【例4】．如图是正方形纸片ABCD，点E在边BC上（不与点B，C重合），连接DE．把四边形ADEB翻折，折痕为DE，点A，B分别落在A'，B'处．若AB＝3，则点A'到点A的距离可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】．综合实践课，同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，． （1）当点在上时，的度数是　 　． （2）如图，改变点在上的位置点不与点，重合，延长交于点，连接． 求证：； 若正方形纸片的边长为，，求的长． 【变式4-2】．数学活动中，小伟同学利用一张正方形纸片作如下操作：如图，先对折正方形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕和线段，若线段，则线段　 　． 【题型5 求正方形重叠部分面积】 【例5】． 如图， 正方形 的边长是 2 ， 对角线 相交于点 ， 点 分别在边 ， 上， 且 ， 则四边形 的面积为（　　） A．0.5 B．1 C．2 D．4 【变式5-1】．如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形，则图中阴影部分面积为　 　. 【变式5-2】．如图，正方形 与正方形 ，其中点 三点共线，点 在边 上，点 是 与 的交点． 若正方形 的面积是 9，则 的面积为　 　． 【题型6 根据正方形性质证明】 【例6】．已知：如图，是正方形对角线上的一点，且，垂足为，交于点． 求证：． 【变式6-1】．正方形的边长为，正方形的顶点、分别在正方形的对角线和边上，，连接． （1）求证：； （2）求的值． 【变式6-2】．如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点． （1）请问和有何数量关系，并说明理由； （2）如图所示，在的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数． 【题型7 添加条件使四边形是正方形】 【例7】． 如图， 四边形 是菱形， 添加一个条件不能使它成为正方形的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】．如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 一组邻边相等 一个角是直角 顺次添加的条件： ， 则正确的添加顺序是(　　) A．仅 B． C． D． 【变式7-2】．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使矩形ABCD是正方形． 【变式7-3】．已知四边形ABCD中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 【题型8 证明四边形是正方形】 【例8】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA．求证：四边形AECF是正方形． 【变式8-1】．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形． 【变式8-2】．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是 E，F.求证：四边形CFDE 是正方形. 【变式8-3】．如图，在矩形ABCD中，∠ABC，∠DCB的平分线的交点 E 落在边AD 上，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形 BECF 是正方形. 【题型9根据正方形性质判定求角度】 【例9】．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上任意一点（点E不与点A、B重合），点F在AD的延长线上，BE＝DF． （1）求证：CE＝CF； （2）如图2，在图1的条件下，作点D关于CF的对称点G，连接BG、CG、DG，DG与CF交于点P，BG与CF交于点H、与CE交于点Q． （Ⅰ）若∠BCE＝20°，求∠CHB的度数； （Ⅱ）用等式表示线段CD、GH、BH之间的数量关系，并说明理由． 【变式9-1】．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接DE，FG，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】． 如图， 将一张矩形纸片先对折两次， 然后剪下一个角， 再打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕的夹角为（　　） A． B． C． D． 【题型10 根据正方形性质判定求线段长度】 【例10】．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【变式10-1】． 如图，在矩形ABCD中，的平分线交BC于点E，于点于点与EF交于点O. （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若，求DG的长. 【变式10-2】． 如图，直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，BC=CD，DG∥BC交BA的延长线于点G，E是BC边上一点，将△CDE沿DE折叠，C点恰好落在AE上的F处. （1）求证：四边形BCDG为正方形； （2）若AB=6，CE=4，求CD的长. 【题型11 根据正方形性质判定求面积】 【例11】．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 ，记 的面积为 ，四边形 的面积为 ． 若， ，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式11-1】．如图，在正方形ABCD中，点为线段BC上一个动点，若MN垂直平分AP与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N，若已知正方形ABCD的面积，可以求得（　　） A．与面积之和 B．与面积之和 C．与面积之和 D．与面积之和 【变式11-2】．如图，在中，的平分线交于点D，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【题型12 根据正方形的性质判定证明】 【例12】． （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积． 【变式12-1】．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连结DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE ，EF为邻边作矩形DEFG，连结AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB的中点，请求出AE的长． 【变式12-2】．如图，在正方形ABCD中，E，F 分别是BC，CD 上的点，AE，BF 相交于点P，并且AE=BF. （1）如图1，判断AE和BF 的位置关系，并说明理由. （2）若AB=8，BE=6，求BP的长度. （3）如图2，作 DN⊥AE于点N，FM⊥DN于点M，当点F 在线段CD 上运动时(点 F 不与C，D 两点重合)，四边形 FMNP 能否成为正方形? 请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$