精品解析：四川省巴中中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

巴中中学高2023级2025年3月月考 数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、单选题（1-8小题为单选，每题5分，共40分） 1. 在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（ ） A. B. 64 C. 128 D. 2. 已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 75 B. 65 C. 50 D. 55 3. 当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（ ） A. B. C. D. 4. 若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂数列”且，设的前项之积为，则（ ） A. 1024 B. 1023 C. D. 5. 向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 已知椭圆的右顶点为，点，直线交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（9-11小题为多选，每小题6分，共18分） 9. 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等差数列 C. 若数列为等差数列，，，则 D. 若数列为等差数列，，，则时，最大 11. 双曲线的左、右两个焦点分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线与双曲线右支交于，两点，则 B. 若直线与双曲线恒有公共点，则的取值范围为 C. 若双曲线的离心率为，则 D. 若直线与圆相切于点，且与双曲线的渐近线分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点，则 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. 等比数列的首项，前项和为，若，则公比____________． 13. 曲线上的点到直线的最短距离是________． 14. 已知数列的通项公式为，若，，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，则数列的通项公式为_______． 四．解答题（共77分） 15. 求下列函数的导函数： （1） （2） （3） 16. 已知等比数列的公比，，． （1）求； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知抛物线C：经过点． （1）求的值和抛物线C的准线方程； （2）经过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点．求证：为直角． 18. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数．这就是所谓的“隙积术”，相当于求一个二阶等差数列，的和，“隙积术”不仅给出了二阶等差数列的一个求和公式，而且发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究． （1）若，求的值； （2）现已知数列为二阶等差数列，其通项公式为，求其前n项和； （3）三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，……，第n层放若干个物体堆成的堆垛（如图2所示），设各层球数构成一个数列．利用上述材料，求当从上往下n层小球总数（即数列的前n项和）时，三角垛的层数？ 19. 已知函数，记，且， （1）求，； （2）设，， （ⅰ）证明：数列是等差数列； （ⅱ）数列的前n项和为，且对任意的，满足，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中中学高2023级2025年3月月考 数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、单选题（1-8小题为单选，每题5分，共40分） 1. 在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（ ） A. B. 64 C. 128 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给数列的部分项归纳数列通项公式即可得解. 【详解】由数列1，，4，，16，…，可知通项公式为， 所以. 故选：B 2. 已知是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 75 B. 65 C. 50 D. 55 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质进行求解即可. 【详解】由等差数列前项和的性质得：成等差数列， ，即， 解得. 故选：A. 3. 当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，将与代入即可求得答案. 【详解】函数求导得， 将代入得，将代入得， 则， 故选：B 4. 若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂数列”且，设的前项之积为，则（ ） A. 1024 B. 1023 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，然后两边取对数得，从而得出数列是等比数列，结合对数运算公式可求，由此可得结论. 【详解】∵正项数列是“幂2数列”， ∴，，， 故， 又∵， ∴，解得或（舍去）， ∵， ∴，又， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ∴, ∴ ， 所． 故选：D. 5. 向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可知在相等时间间隔内容器内水面的高度增加量越来越大，结合容器形状可确定选项. 【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大， 故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求. 故选：C. 6. 已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求两函数曲线在交点处的公切线斜率，结合代入交点坐标计算，联立方程组，可解出参数，求和即可. 【详解】由题意，，则， ，则， 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 则有，即，解得. 所以. 故选：A. 7. 已知椭圆的右顶点为，点，直线交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把点代入椭圆方程得出点Q，再写出直线方程，点P在直线上列式结合计算求出离心率. 【详解】由，知点在轴上方，若，则代入椭圆得出， 所以， 于是， 所以直线的方程为， 令，则，所以， 即，所以. 故选：D. 8. 已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递推关系求出，再由裂项相消法求的前10项和即可. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得，即， 所以， 所以. 故选：D 二、多选题（9-11小题为多选，每小题6分，共18分） 9. 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，得到曲线在点处切线的斜率大于等于，结合的范围，得到答案. 【详解】因为， 所以，设切点的坐标为，则， 则曲线在点处切线的斜率为， 所以，又，切线斜率存在，故， 则. 故选：ABD. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等差数列 C. 若数列为等差数列，，，则 D. 若数列为等差数列，，，则时，最大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，逐项分析即可得到结果. 【详解】由于，当时，， 若，则当时，，又，故A错误； 因为， 当时，； 当且时，， 当时，上式亦满足，所以； 所以，所以是首项为，公差为的等差数列；故B正确； 若数列为等差数列，，，则，即，所以，故C错误； 若数列为等差数列，，， 所以，， 所以，，即，， 设等差数列的公差为，所以，所以等差数列是递减数列， 所以在等差数列中，当且时，当且时， 所以时，最大，故D正确. 故选：BD. 11. 双曲线的左、右两个焦点分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线与双曲线右支交于，两点，则 B. 若直线与双曲线恒有公共点，则的取值范围为 C. 若双曲线的离心率为，则 D. 若直线与圆相切于点，且与双曲线的渐近线分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可判断A选项；联立直线与双曲线可判断B选项；根据双曲线离心率公式可判断C选项；设直线，分别联立直线与双曲线，直线与渐近线，表示与中点，化简即可判断D选项. 【详解】 A选项：如图所示，，则， 所以不一定成立，A选项错误； B选项：联立直线与双曲线，即， 得，则，解得， 又，则，B选项正确； C选项：双曲线离心率，，解得，C选项正确； D选项：如图所示，易知当直线斜率不存在时，直线与双曲线有且仅有一个公共点为双曲线的左顶点或右顶点， 即直线斜率存在，设， 又直线与圆相切，即，化简可得，即 由已知双曲线的渐近线为， 联立直线与渐近线，可得，， 则中点满足 联立直线与双曲线， 得， 则， 且， 中点满足， 又，均在直线上，且，即与重合， 即中点与中点重合， 所以，D选项正确； 故选：BCD. 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. 等比数列的首项，前项和为，若，则公比____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数列前项和的定义及等比数列通项公式 得出，解出即可． 【详解】是等比数列，由数列前项和的定义及等比数列通项公式得 ，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查等比数列前项和的计算、通项公式．利用数列前项和的定义，避免了在转化时对公比是否为1的讨论． 13. 曲线上的点到直线的最短距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论. 【详解】与平行的直线和相切，则斜率为， 因为，所以， 令，解方程得，代入直线方程得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故答案为：. 14. 已知数列的通项公式为，若，，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，从而得到，又，从而可求得数列的通项. 【详解】由，则，， 所以等比数列的公比为3，则， 又因是等差数列的第项，所以， ， . 故答案为：. 四．解答题（共77分） 15. 求下列函数的导函数： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式并结合导数的运算法则与复合函数的求导法则计算，最后一题还需利用降幂公式化简函数再求导. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 因为， 所以 . 16. 已知等比数列的公比，，． （1）求； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列出关于公比的方程，代入计算，即可得到公比，从而得到通项公式； （2）将数列的通项公式化简，再由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，且，即，即， 化简可得，解得或， 又，所以，则. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 即数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则. 17. 已知抛物线C：经过点． （1）求的值和抛物线C的准线方程； （2）经过点的直线l与抛物线C交于M，N两点，O为坐标原点．求证：为直角． 【答案】（1）；； （2） 由题知，直线的斜率不为0，设其方程为，， 则， 联立消去得， 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，即为直角. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程求解即可； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程消去，利用韦达定理代入计算即可得证. 【小问1详解】 将点坐标代入得，即， 所以抛物线C的准线方程为. 【小问2详解】 略 18. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数．这就是所谓的“隙积术”，相当于求一个二阶等差数列，的和，“隙积术”不仅给出了二阶等差数列的一个求和公式，而且发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究． （1）若，求的值； （2）现已知数列为二阶等差数列，其通项公式为，求其前n项和； （3）三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，……，第n层放若干个物体堆成的堆垛（如图2所示），设各层球数构成一个数列．利用上述材料，求当从上往下n层小球总数（即数列的前n项和）时，三角垛的层数？ 【答案】（1）232； （2）； （3）15 【解析】 【分析】（1）得到，代入公式求出； （2），代入公式计算出答案； （3），累加法得到，层三角垛，每层所放物体数乘以2，利用公式，结合（2）得到，代入680，求出答案. 【小问1详解】 由题意得，则， ； 【小问2详解】 将其转化为上底有个，下底有个，共n层的堆积物， 其中， 则 ； 【小问3详解】 由题意，， 故 故第层所放物体个数为， 从上往下，层三角垛，每层所放物体数乘以2， 则从上往下，各层物体数依次为， 则，项数为， 由（2）知，，故， 令，故， 所以，故三角垛的层数为15. 19. 已知函数，记，且， （1）求，； （2）设，， （ⅰ）证明：数列是等差数列； （ⅱ）数列的前n项和为，且对任意的，满足，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）由（1）知，， 又，可得， 而， 则， 所以数列是首项为4，公比为4的等比数列，故， 则，，从而， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用求导公式及导数运算法则求出的导数，再求的导数即得. （2）（i）求得，且，由等差数列的定义可得证明；（ii）由等差数列的通项公式和数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和，不等式恒成立分离参数后求最大值即可得解. 【小问1详解】 函数，， . 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）得，即有， ， 于是， 两式相减得， 所以， 又对任意的，满足，可得恒成立， 设， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以可得的最大值为，所以，即即可, 故的取值范围. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $