精品解析：山东省临沂市兰山区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024～2025学年度上学期期末质量检测试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，轴对称而非中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. “经过三点确定一个圆”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的判断，频率和概率的关系，根据随机事件判断A，再根据可能性的大小和概率的关系判断B，C，然后根据不规则物体的概率只能通过大量次数的实验，得出频率估计概率的方法判断D． 【详解】解：因为“经过不在同一条直线上的三点确定一个圆”是必然事件，所以A不正确，不符合题意； 因为事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，所以B正确，符合题意； 因为彩票中奖的概率是，因此买100张彩票可能有1张中奖，说明中奖的概率很低，所以C不正确，不符合题意； 图钉是不规则的物体，投掷一枚一枚图钉，“针尖朝上”只能通过大量的实验，使频率稳定时，可能频率估计概率，不可以用列举法求得，所以D不正确，不符合题意． 故选：B． 3. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程()的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，是解决此题的关键．求出各选项方程根的判别式的值，判断出正负即可确定一元二次方程是否有实数根． 【详解】解：，则方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，则方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，所以方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，方程没有实数根，所以选项符合题意； 故选：． 4. 对于二次函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，函数有最小值1 C. 当时，随的增大而减小 D. 可由抛物线向左平移2个单位得到 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先确定顶点坐标判断A，再根据最大值判断B，然后根据对称轴及增减性判断C，最后根据二次函数的平移解答D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标是，开口向上， ∴当时，函数有最小值1； 所以A不正确，B正确； ∵二次函数的对称轴是，开口向上， ∴当时，函数值y随着x的增大而增大， 所以C不正确； 将抛物线向左平移2个单位得到， 所以D不正确． 故选：B． 5. 如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，则的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 70° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】由等弧所对的圆周角相等可知，再利用三角形外角定理求． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，三角形的外角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 6. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件 时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件 时，则不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答． 7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，，分别与相切于点，，延长，交于点，若的半径为3，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，连接，根据切线的性质得，进而得出，然后根据弧长公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 反比例函数（，）的图象如图所示，点是图象上一点，轴且与轴交于点，点是轴上任意一点，若的面积为，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 连接，由轴，则，然后由反比例函数的几何意义得出，从而求解． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 9. 如图，是半圆的直径，按以下步骤作图： （1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线与半圆交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线与半圆交于点； （3）连接，，．与交于点． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论不正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理和等边对等角等知识．由作图可知，垂直平分线段，平分，证明，得出平分，判断A正确；证明，得出，判断B正确；连接，证明，得出，即，判断C正确；证明，得出，判定D错误． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故A正确，不符合题意； 由作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（ ） A. 6072 B. 6073.5 C. 6078 D. 6079.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标规律问题， 先求出各点的坐标，再根据规律解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷分填空题和解答题． 2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，根据两个点关于原点对称，可知两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数求出a，b，再求出代数式的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米．（） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知于D，交圆弧于C，由题意得米，解得米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意可知， ，，（米）， ， （米） （米） （米） （米） 弧田面积 （平方米） 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 14. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t秒时，与相似， 则，，， ∵， ∴当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 故答案为：或． 15. 已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②；③关于一元二次方程有两个相等的实数根；④当时，的取值范围为；⑤若点，均在二次函数图象上．则．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、利用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数和一元二次方程的关系等知识，熟练掌握其性质并灵活运用是解题的关键． 利用待定系数法求得二次函数的表达式即可求得①②，利用根的判别式即可判断③，利用二次函数的性质即可判断④，求得两个点的横坐标的平均数和顶点横坐标作比较，即可判断⑤． 【详解】解：把，，代入得： ，解得， ，故①正确，符合题意； ，故②正确，符合题意； ， 整理，得： ， ， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故③正确，符合题意； ， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，当时，， ， ∴抛物线开口向下，顶点纵坐标为最大值， ∴当时， 的取值范围为，故④错误，不符合题意； 等于顶点横坐标， ，故⑤正确，符合题意． 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 因式分解得：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键． 17. 小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值．请直接写出：______，______； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格求出当时，当时的值即可； （）根据画函数图象的步骤即可； （）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，即，当时，，即， 故答案为：，； 小问2详解】 解：列表： 描点， 连线， 画出函数图象如下图所示， 【小问3详解】 解：根据图象可知： 当时，对应的自变量有个值， 故答案为：． 18. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 【答案】（1） （2）填表见解析， 【解析】 【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可； （2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：当时， ，，， ∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：； 【小问2详解】 解：补全表格如下： ∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种， ∴和为单项式的概率为． 【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． （1）请在网格中画出关于轴对称的图形； （2）以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请在网格中画出； （3）已知点是轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换、轴对称变换、一次函数解析式与坐标轴的交点问题． （1）根据轴对称性质作图即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）先根据两点之间线段最短可知连接与轴交点即为点，利用待定系数法求一次函数解析式，再令，即可求解点M坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 解：如上图，即为所作； 【小问3详解】 解：连接与轴交点即为点， ∵点关于y轴对称， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时点M即为所求， 由位似性质可得：， ∴设经过点C与的一次函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴经过点C与的一次函数解析式为， 当， ∴， 故答案为：． 20. 如图，反比例函数（）的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． （1）求的值； （2）点是（）图象上任意一点，过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点． ①当时，判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①，见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数关系式，解不等式， （1）将点代入反比例函数关系式，求出解； （2）①画出图形，将点的坐标代入关系式求出，可得答案； ②根据题意可知，，，再分三种情况：当时，当时，当时，求出，根据得出不等式，求出解集即可． 【小问1详解】 解：反比例函数（）的图象经过点， ， ． 【小问2详解】 解：①，理由如下： 将代入（）得． 将代入，得． ， ． ②． 根据题意可知，，， 当时，， 当时， ∴， 解得， 此时无解； 将两个函数关系式联立，得， 解得． 当时，， 当时， ∴， 解得； ∴； 当时，， 当时， ∴， 整理，得， 即， 得或， 解得（不符合题意，舍去）或， 所以． 综上所述，的取值范围是． 21. 如图，是的直径，为弦，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、等弧所对的圆周角相等、圆的切线的判定、等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的相关性质． （1）连接，证明，由，得即可证明结论． （2）连接，．证明是等边三角形，进而可得，．，即可求面积． 【小问1详解】 证明：连接， 是的中点， ， ． 又， ． ， ， ， ． ． 又是半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接，． ， 是等边三角形， ， ． 由（1）知， ，． ， ， ． 22. 根据以下材料，探索完成任务： 智能浇灌系统使用方案 材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（最大高度不超过），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长，宽的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处． 问题解决 任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留） 任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管至少需要调节到什么高度？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立适当的坐标系，求出二次函数解析式． （1）以点O为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，设抛物线的函数表达为，将代入得，求出，即可得出答案； （2）当时，即将抛物线向上平移个单位，求出函数关系式为，求出其与x轴的交点坐标，再根据圆的面积公式求出结果即可； （3）连接，根据勾股定理求出，得出，设，此时抛物线函数表达式为，将代入，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，此时，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达为， 将代入得，， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）当时，即将抛物线向上平移个单位，得： ， 令，则， 解得：，（舍去）， ∴浇灌最大圆形区域面积为． （3）连接，如图所示： 由题意知过点O，根据勾股定理可得：， ∴， ∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为． 设，此时抛物线函数表达式为， 将代入，得， 解得：， ∴至少调节到． 23. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．线段，之间的数量关系为______；的度数为______． （2）将图1中的和均变为等腰直角三角形如图2，，，，直线和直线交于点． ①线段，之间的数量关系为______；的度数为______． ②若，，，求的长． （3）如图3，若和均为直角三角形，，且，，．当点在线段的延长线上时，则的长度为______． 【答案】（1）；；（2）① ；②；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据“边角边”证明，可得； ②根据全等三角形的性质得设交于点O，根据，结合三角形内角和定理求得可得结果； （2）先证明，可得，，根据三角形的外角的性质得，即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出，再根据三角函数得，接下来求出，证明，求出，最后根据可得答案． 【详解】（1）解：①，∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴ 设交于点O， ∵， ∴ 即； 故答案为：； （2）①解：结论：，理由如下： ∵ ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴； 故答案为：，； ②由①得，， ∵ ∴，． 在中，． 在中，； （3）解：根据勾股定理，得， 在中，， ∴． ∵, ∴． ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，灵活选择相似三角形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度上学期期末质量检测试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，轴对称而非中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. “经过三点确定一个圆”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 3. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，函数有最小值1 C. 当时，随的增大而减小 D. 可由抛物线向左平移2个单位得到 5. 如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，则的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 70° D. 90° 6. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立是（ ） A. B. C. D. 7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，，分别与相切于点，，延长，交于点，若的半径为3，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数（，）的图象如图所示，点是图象上一点，轴且与轴交于点，点是轴上任意一点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是半圆的直径，按以下步骤作图： （1）分别以，圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线与半圆交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线与半圆交于点； （3）连接，，．与交于点． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论不正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（ ） A. 6072 B. 6073.5 C. 6078 D. 6079.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷分填空题和解答题． 2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为_____． 13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米．（） 14. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似． 15. 已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④当时，的取值范围为；⑤若点，均在二次函数图象上．则．其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 小莉根据学习函数经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值．请直接写出：______，______； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 18. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． （1）请在网格中画出关于轴对称的图形； （2）以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请在网格中画出； （3）已知点是轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为______． 20. 如图，反比例函数（）的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． （1）求的值； （2）点是（）图象上任意一点，过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点． ①当时，判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，直接写出的取值范围． 21. 如图，是的直径，为弦，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22 根据以下材料，探索完成任务： 智能浇灌系统使用方案 材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（最大高度不超过），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长，宽的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处． 问题解决 任务1 确定水流形状 在图2中建立合适平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留） 任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管至少需要调节到什么高度？ 23. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．线段，之间的数量关系为______；的度数为______． （2）将图1中的和均变为等腰直角三角形如图2，，，，直线和直线交于点． ①线段，之间的数量关系为______；的度数为______． ②若，，，求的长． （3）如图3，若和均为直角三角形，，且，，．当点在线段的延长线上时，则的长度为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$