精品解析：北京市第五中学2022-2023学年高二下学期6月段考数学试题

2023北京五中高二6月段考 数 学 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线 ：的离心率为，则 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥则在折叠过程中，不可能出现（ ） A. B. C. 三棱锥的体积为 D. 平面平面BCD 7. 在中，角，， 的对边分别为，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个 位的数，则（ ）（参考数据：） A. 308 B. 309 C. 1023 D. 1024 10. 对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为m，且，则n的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 的展开式中的常数项为_______________． 12. 设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线AF的斜率为，则__________. 13. 在锐角中，，，则的取值范围为________. 14. 已知数列为等差数列，其公差，若数列中的部分项组成的数列，，…，，…恰为等比数列，其中，，，则______. 15. 设函数给出下列四个结论： ①当时，，使得无解； ②当时，，使得有两解； ③当时，，使得有三解； ④当 时，，使得有解； 其中，所有正确结论的序号是 _________． 三、解答题（第16、17、19-21题，每题14分，第18题15分，共85分） 16. 已知函数.在下列条件①､条件②､条件③这三个条件中，选择可以确定和m的两个条件作为已知. 条件①：的最小正周期为； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③：. （1）求的值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 17. 某工厂生产一种产品，产品等级分为一等品、二等品、普通品，为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示． 产品等级 一等品 二等品 普通品 样本数量（件） 80 80 40 （1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率； （2）以频率估计概率，从该流水线上随机抽取3件产品，记其中一等品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）为拓宽市场，工厂决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了a元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小．（请直接写出结论） 18. 已知正方体的棱长为3，分别为棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点． （1）已知是靠近的三等分点，求证：点在正方体过三点的截面上； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，求出D1P的长度． （3）求正方体过三点的截面与平面的夹角的余弦值． 19. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由. 20. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）求证：对，都有． 21. 在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为． （1）设数列为，写出，，，的值； （2）若为等差数列，求出所有可能的数列； （3）设，，求的值．（用p，q，A表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023北京五中高二6月段考 数 学 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，； 的虚部为. 2. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合 ，再利用补集运算可求答案. 【详解】由题意得，所以． 故选：C． 3. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简并判断的奇偶性，判断A；利用图像可判断B；根据函数奇偶性判断C；根据函数的最小正周期可判断D. 【详解】对于A，为奇函数，不符合题意； 对于B，作出的图象如图： 可知函数最小正周期为，且为偶函数，符合题意； 对于C，为奇函数，不符合题意； 对于D，的最小正周期为，不符合题意， 故选：B 4. 已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线离心率可得，再结合即可得，代入渐近线方程即可得出结果. 【详解】由双曲线离心率为可得，即可得， 又，即可得； 由题意可得双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中间值法，结合幂函数、三角函数、对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由题意知，，，，，故． 故选：D. 6. 已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥则在折叠过程中，不可能出现（ ） A. B. C. 三棱锥的体积为 D. 平面平面BCD 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由线面垂直的性质定理即可判断AB，由三棱锥的体积公式即可判断C，由二面角的定义即可判断D. 【详解】对于A，若，因为，面ABC，所以，而，即直角边长与斜边长相等，显然不对，故A错； 对于B，取BD中点O，因为，AO 所以面AOC，所以 ，故B对； 对于C，当折叠所成的二面角时，顶点A到底面BCD的距离为，此时 ，故C对； 对于D，当沿对角线折叠成直二面角时，有平面平面，故D对； 故选:A 7. 在中，角 ， ，的对边分别为， ， ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦定理分别判断充分性和必要性即可. 【详解】由正弦定理可知，若，则，则，则可得“”是“”的充分条件， 再由可得，，即，所以，从而，即“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 8. 已知点 在圆运动，若对任意点 ，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段 长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由恒成立可知，始终在以 为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离即得线段 长度的最小值. 【详解】如图， 由题可知，圆心为点，半径为1， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则始终在以 为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为， 所以 长度的最小值为. 故选：D 9. 2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（ ）（参考数据：） A. 308 B. 309 C. 1023 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可推得当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边同时取以10为底的对数，根据对数的运算性质可得，根据已知数据，即可得出答案. 【详解】根据题意，得个超导量子比特共有种叠加态， 所以当有1024个超导量子比特时共有种叠加态. 两边取以10为底的对数得， 所以. 由于，故是一个309位的数，即. 故选：B. 10. 对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为m，且，则n的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先由条件得出，进而结合等差数列前n项和列出不等式，解不等式即可. 【详解】由递增数列中不大于的项的个数恰为可知， 又，故， 即，解得或， 又，故的最小值为10. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据递增数列中不大于的项的个数恰为m，得出是解决本题的关键. 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 的展开式中的常数项为_______________． 【答案】24 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出展开式的常数项作答. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 由，得，， 所以所求常数项为24. 故答案为：24 12. 设抛物线的焦点为，准线为， 为抛物线上一点，， 为垂足.若直线AF的斜率为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设准线与 轴焦点为 ,可得 的坐标为，, 由直线斜率为，可得，结合抛物线的定义, 可得是等边三角形，即可得答案. 【详解】如图 由抛物线方程为，可得其焦点为，准线方程为， 设准线与 轴焦点为 ,则 的坐标为， 由直线斜率为，所以，可得， 因为轴，所以,又由抛物线的定义有, 所以是等边三角形，故， 故答案为：. 13. 在锐角中，，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点，建立平面直角坐标系，根据题意得到，设，由，求得，且，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】解：以 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，且， 即，即，可得， 设，因为为锐角三角形，所以，所以， 过点作，且若，可得，即， 即点 在线段上（不包含端点），即， 又由， 所以， 即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知数列为等差数列，其公差，若数列中的部分项组成的数列，，…，，…恰为等比数列，其中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比中项的性质化简可得，进而求得的公比，再根据等差数列与等比数列的通项公式列等式化简求解即可得出表达式，然后根据分组求和即可得出结果. 【详解】由题意有，即，所以， 由化简可得， 所以，所以等比数列的公比， 由于是等差数列的第项，且是等比数列的第项， 故，所以． 所以. 故答案为：. 15. 设函数给出下列四个结论： ①当时，，使得无解； ②当时，，使得有两解； ③当时，，使得有三解； ④当时，，使得有解； 其中，所有正确结论的序号是 _________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】由取不同值时函数的单调性和性质，根据函数的图象及函数的图象的交点个数确定方程的解的个数． 【详解】解：当时，，函数的图象如图所示． ∴当时，无解，①对； 当时，函数的图象如图所示． 当时，与的图象只有一个交点， 即方程只有一个解，②错； 对于③， 当时，取， 当时，可化为，解得， 当时，可化为， ∵函数的图象可看作偶函数向右平移个单位得到， 所以关于对称， 且时，函数， 令，由对勾函数的单调性可知，当时，单调递增， 又也是单调递增，由复合函数的单调性可知： 时，函数单调递增； 当时，，时，， ∴函数与函数有两个交点，即有两个解， 故有三解，③对． 对于④， 当时，取， 当时，可化为，解得x＝1（舍去）， 当时，可化为，此方程无解，④错； 故选：①③． 三、解答题（第16、17、19-21题，每题14分，第18题15分，共85分） 16. 已知函数.在下列条件①､条件②､条件③这三个条件中，选择可以确定和m的两个条件作为已知. 条件①：的最小正周期为； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③：. （1）求的值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）选条件①②：根据周期可求得，利用最大值与最小值之和为0，求得m，可得函数解析式，即可求得答案；选①③：根据周期可求得，根据，求得m，可得函数解析式，即可求得答案；选②③，由两条件求得m的值不相同，故无法确定和m的值. （2）根据，确定，结合正弦函数的单调性，列出不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知， 选条件①②： 由最小正周期为，知，所以， 所以， 因为最大值与最小值之和为0，且，， 故，解得， 所以，故； 选条件①③： 由最小正周期为，知，所以， 所以， 由，得，则， 所以， 所以； 选条件②③： 因为最大值与最小值之和为0，且，， 所以，解得， 由得，得，与相矛盾， 所以②③无法确定和的值。 【小问2详解】 由（1）知，， 由，知， 因为函数在区间上是增函数， 所以，即， 所以a的取值范围为. 17. 某工厂生产一种产品，产品等级分为一等品、二等品、普通品，为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示． 产品等级 一等品 二等品 普通品 样本数量（件） 80 80 40 （1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率； （2）以频率估计概率，从该流水线上随机抽取3件产品，记其中一等品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）为拓宽市场，工厂决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了a元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小．（请直接写出结论） 【答案】（1）0.4 （2）分布列见解析，数学期望为1.2 （3） 【解析】 【分析】（1）求样本空间中随机抽取一件产品为一等品的频率作为概率即可； （2）由题意得，从而求分布列及数学期望； （3）由方差的定义可判断． 【小问1详解】 在样本空间中，随机抽取一件产品为一等品的频率为， 故从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率为0.4． 【小问2详解】 由题意知，， ， ， ， ， 故X的分布列为： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 . 【小问3详解】 每件产品的销售价格均降低了a元，产品的平均销售价格也降低了a元， 故由方差的定义知，降价前后这200件样本产品的利润的方差不变， 即. 18. 已知正方体的棱长为3，分别为棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点． （1）已知是靠近 的三等分点，求证：点在正方体过三点的截面上； （2）在线段上是否存在点 ，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，求出D1P的长度． （3）求正方体过三点的截面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面性质作出截面，再分析线段长度，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，通过坐标运算求得点P位置； （3）写出两平面法向量的坐标，根据法向量的夹角余弦值得出二面角的夹角余弦值． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接，分别为棱的中点， 所以，作，交于 ， 连接并延长，交的延长线于点， 延长，交 的延长线于点， 连接，交 于点 ，交于点，连接， 则六边形过三点的截面， 由面面平行的性质定理得，从而有， 因为，，所以， 因为是的中点，，易得， 所以， 又因为，可知， 所以， 所以，故点是靠近 的三等分点，得证； 【小问2详解】 建立如图所示坐标系， 则，设， 则， 若平面，则有，无解， 所以不存在点 ，使得平面； 【小问3详解】 由（2）可知，即为平面的法向量， 取平面的法向量为， 则， 即过三点的截面与平面的夹角的余弦值为． 19. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆 上，且点 和关于点对称. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点 且平行于 的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）存在直线，使得四边形的对角线互相平分，理由如下： 由题可知直线，直线的斜率存在， 设直线的方程为，直线的方程为 由，消去 得， 由题意，可知 ，设，， 则，， 由消去, 得， 由，可知，设，又， 则 若四边形的对角线互相平行，则与的中点重合， 所以，即 故 所以 解得， 所以直线为，四边形的对角线互相平分． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据对称性求出点，从而可得出椭圆 两焦点的坐标，利用椭圆定义求出的值，结合 的值，可求出 的值，从而写出椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线的方程为，可得出直线的方程为，设，， 将直线的方程与椭圆 的方程联立，消去，得出有关 的一元二次方程，并列出韦达定理，同理将直线的方程与椭圆 的方程联立可得出点的坐标，由已知条件得出线段 与的中点重合，从而可得出有关的方程，求出的值，即可得出直线的方程． 【详解】（Ⅰ）由点和关于点对称，得， 所以椭圆E的焦点为，， 由椭圆定义，得 . 所以 ，. 故椭圆 的方程为； （Ⅱ）结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分，理由略. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，对于直线与椭圆的综合问题，常采用韦达定理法，本题中注意到四边形为平行四边形，利用两对角线互相平分结合韦达定理进行求解，这是解题的关键，同时在解题中也要注意韦达定理法适用的情形． 20. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）求证：对，都有． 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的单调性； （2）由（1）及导数研究的符号，将问题化为恒成立，再应用导数研究左侧的值域范围. 【小问1详解】 由，则， 由得，得， 在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，在单调递减，在在单调递增， 则，， 又，则， 设，则， 在上单调递增，则， ， 在上，的最大值为， 对，都有，又， 即对，都有， 设，则， 在上单调递增，则，即， 综上，对，都有. 21. 在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为． （1）设数列为，写出，，，的值； （2）若为等差数列，求出所有可能的数列； （3）设，，求的值．（用p，q，A表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据使得成立的的最大值为，结合数列为，分析即可； （2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列； （3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出 的值． 【小问1详解】 由使得成立的的最大值为，数列为， 得，则， ，则， ，则， ，则， 所以； 【小问2详解】 由题意，得， 结合条件，得， 又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为， 所以，.， 设，则， 假设，即， 则当时，，当时，， 所以，， 因为为等差数列， 所以公差， 所以，其中， 这与矛盾， 所以， 又因为， 所以， 由为等差数列，得，其中， 因为使得成立的的最大值为， 所以， 由，得； 【小问3详解】 设， 因为， 所以，且 ， 所以数列中等于1的项有个，即个， 设， 则，且， 所以数列中等于2的项有个，即个， 以此类推，数列中等于的项有个.， 所以 ， 即. 【点睛】关键点点睛：本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起，理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $