四川省自贡市2025届高三第二次诊断性测试数学试题

自贡市普通高中2022级第二次诊断性测试 数学参考答案及评分意见 一、选择题 题号 6 。 10 0 11 选项 C C ACD A AC B D ABC 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 26 14.#,11 12. 0.04 13. ~。 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(13分) 所以n-1时a.=1. 当n→2时,$(n-1)+n-1 2 2+n(n-1)+(n-) 所以a=S-S-- 2. 2 -n(n>2 a.=1,.足.-....-n.n.e.r.)...................4分. 数列(b)是正项等比数列b=a,=2,b.=a。=8 所以公...2...........................7分 (2)由(1)知c。= [n.(n=2k-1) (keN.)...................... 2,(n=2k) T=(1+.5..+999.+2....+2-.)............ 10分 50(1+99)4x(1-4{) 4x(4*-1)4*+7496 T。_ -2500+ 2 1-4 2 3 ...........13分 16.(15分) 解:(1)由题知:回答A类问题累计得分为100分的概率 #-##21 5525 .........................................................分 二诊数学参考答案及评分意见 第1页(共5页) (2)先回答A类问题累计得分记为变量5,5的值为0,40,100........4分 P(5=.........5分. #(=_40### ##=10)_#)# E()#=40 p(=40)+10 (K=100)=40 ( )+10(+)..8分$ 先回答B类问题累计得分记为变量n,”的值为0,60,100............9分 ##7-0)(1D) ##n100)_#)# E()>E(n),40#4-#100>605-)#100( 解得: ........................................................................5分 17.(15分) 解:........................................分. 当a....................................................2分 当a>0时,由/(x)=e-a=0知, x=lna 当x>lna时,f(x)单调递增:当x<lna时,f(x)单调递减 所以f(x)的极小值为f(lna)=a-alna-1=-1 解得...............................................分. e*-xlnx-1 (2)由题知,/(x)g(x),即a< ....................... 。 设(x)--lnx-(x>o),因为(x)- (e*-1)(x-1) 2 2(x0).......10分 于是,(x)在(0,1)单调递减,在(1,+)单调递增 二诊数学参考答案及评分意见 第2页(共5页) 所以, (x)>(1)=e-1,则a<e-1 所以a的.值范.是.-o.....................................15分 18.(17分) 解:设等边三角形△ABC的边长为2, 则AD=DC=2连接BD交AC于点O (1)因为△ADC所以DO1AC,即PO1AC. 因为PB=AB=2,PO=1,B$O=3$$ 所以 BO}+P$O^}=$PB^{},$P$O1$BO,$ACOBO=O$$$ 所以PO1面ABC,因为POc面APC 所以面APC1面ABC.. (2)在△APB中,AP=V2, PAB=45*,AB=2 由余弦定理得PB-2,PB=PA=PC, 所以三校锥P-ABC为正三校锥. 1 因为G是△ABC的重心, M 所以,PG1面ABC,PG1AB 连接CG并延长交AB于Q. 连接PO,可得CO1AB,PGOCO=G. 所以AB1面PCO E1 所以面PAB1面PGO,过G作GH1PQ, # 因为面PABO面PGO=PQ,GHC面PCO. 所以GH1面PAB,取PA的中点为M; 由题意知G是AF的中点. 所以GMI/PE,所以/GMH为所求线面角。 #3 在△GHM中,GdM-PE=PA-# PG.GO 2 GH= PQ 2 , 3 -0. ) sin GMH= 二 ........1.分... 二诊数学参考答案及评分意见 第3页(共5页) (3)因为PO=1:设 POB=q,过P作PN1OB 可得PN=sina,BN-3-cos 过P作PF1BC,连接NF 由三垂线定理可得乙PFN为所求夹角 2sing tan乙PFN-- =k,(k>0) 3-cosa 2 2, 2sing-k(V3-cosa) >{2 3 sin(g+o)=- 所以,求平面ABC与平面PBC夹角正切的最大值2 ..................分. 19.(17分)解:(1)由题知,PO1x轴,设切点P(x。,1),,则切线lpc:y=p(x+x), 又切线PG过点G(-1.0),所以x。=1,于是P(l.2p),所以 POl=2V2P=2 抛物线...方.........................5分... (i)设AB方程为x=my+n(m:0),A(x,y), B( y) 由##_ [x=my+n “联立得:y-my-n=0.于是,y+y=n,yy=-n,A>0. 因为AB=1+m2}y-y-2 B{}=(1+m})[(y+y)}-4yy]=(1+m})(m}+4n)=4 即(m +4m{n+n})+4n=4 |04+o-~0_40-4n}+4n)-n语)-n4-403 于是, 所以当n-时,04+B的最小值为、3. ......................... (iì)由(i)知直线AB的方程为x=my+n(m;0),A(x,y), B(x,y), 设C(x,y),D(x.y) 二诊数学参考答案及评分意见 第4页(共5页) m+2n m^{+2n nt 1+y4 y2 于是可得M().同(_). y+y-yy+y-y +y&-yy+y-y yy y.+y-yy+y-y 2n 1.-}-+} +y-y4 m-m- 2(y-y) 2y.y2 yV2 -2n 所以 ...............................................17.分 (ii)法二(极点极线) 因为C(), ._-(+) 点C关于曲线E的极线MN的方程为v: 2 2 )2 2 即-- . y+)2 $&-xy2-}+y 所以k=k,于是AB/MN. 二诊数学参考答案及评分意见 第5页(共5页)自贡市普通话中2022级第二次诊断生测试 数学 注意事项： （售孩时间：120分计：企《满分：150分) :答卷前，考生务必将自己的考号、桂名、座位号填写在签题卡上。 2。回谷选择道时，达出年小题答委后，用B铅彩花签道卡上对位随日的答案标受涂果。如 高改动，用校皮操擦干净后，弄选涂其它专标号，回签非选择超时，将容案写在答随卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,0,1,2,B={xx-<2,则AnB= A.{-l,0} B.0.1 C.{-1,0,1} D.0.1.2} 2.设i为虚数单位，若z1+√3i=2i,则= A.1 B.5 C.2 D.25 3.己知圆维的母线长是底面半径的2倍，则该圆维的侧面积与表面积的比值为 2-3 B C. 3-2 D.2 4.若(2x-)0=a+a,x+a,x2++a0x2n“+22,则∑a,= 2025 A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.若f(x)=ln(e“+)+ax是偶函数，则a= A.0 B.-1 C.-2 D.-e 6.现有数字1,2,2,3,3,3，若将这六个数字排成一排，则数字2,2恰好相邻的概率为 B.I c D 7尼知nasinB=-子cosa-0=},则sn'a-cos2g A.16 B.8 C.16 D.-3 6 8.已知a=2.303230-(m2.303)h230,b=en2301,c=h(1+cos2.303),则a,b,c 的大小关系为 A.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a 二诊数学试题第1页（共4页) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共8分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量=(2,1)，b=(1,x),则 A.当a∥b时，x=2 B.当a+2b=5时，x=1 C.当x=1时，a在b方向上的投影向量为0 D.当a与b夹角为锐角时，x>-2 10.设0为坐标原点，椭圆C:等 +岁-=1a>6>0的左右焦点分别为，万，点0,3别为定 点，而点B在椭圆上，且位于第一象限，若AB=4=20F,则 A.a2-b2=3 B.∠FBF3=60° C.当△BFE的面积为6-35时，C的方程为云+=1 D.当B∥x轴时，C的离心率e=5-l 1.三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当△ABC内一点P满足条件： ∠PAB=∠PBC=∠PCA=0时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角0为布洛卡角.如图，在 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为，b,c,记△ABC的面积为S,点P是△ABC 的布洛卡点，布洛卡角为日，则 A.当AB=AC时，PB2=PAPC B.当AB=AC且PC=2PB时，cos9=25 C.当0=30°时，a2+b2+c2=4v3S D.当A=28时，b2=ac B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X服从正态分布N1,a2),且P1<X≤2.5)=0.46，则P(X>2.S)= B设，5分别是双曲线C:二-1a>0,b>0)的左、右焦点，0为坐标原点，点P在 双曲线的渐近线上，loP=PF-PFl,则C的离心率为 14.己知实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,a+b-c=1,则a3+b-c3的取值范围是 二诊数学试题第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算非骤， 15.(13分) 己知数列{an}的前n项和Sn= +”(neN),数列他，》是正项等比数列，满足6=a,baa 2 (1)求{an},b}的通项公式： b,二2)keN),记数列e}的前n项和为T,求T· (2)设Cn= 16.(15分) 某社区为推行普法宜传，举办社区“普法”知识竞赛，有A,B两类问题。每位参加比赛的 选手先在两类问题中选择一类并从该类问愿中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛 结束：若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手 比赛结束。A类问恩中的每个问题回答正确得40分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答 正确得60分，香则得0分.设选手李华能正确回答A类问题的概率为P(0<P<1》,能正确回答 8类问愿的概率为号十兮，参赛选手能正确回答问愿的概率与回答顺序无关。 (1)当p=时，求李华先回答A类问题累计得分为100分的概率： 4 (2)若李华先回答A类问题累计得分的期望大于先回答B类问题紧计得分的期望，求P的取 值范围。 17.（15分) 己知函数f(x)=e-ar-1,g(x)=xlnx. (1)若f(x)存在极小值，且极小值为-1，求a: (2)若f(x)≥g(x),求a的取值范围. 二诊数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在平面四边形ABCD中，△BC是等边三角形，△MDC是等腰三角形，且∠DC=90, 现将AMCD沿AC翻折至△PAC,形成三棱锥P-MBC,其中P为动点. I)若AB=P,求证：平面APC⊥平面ABC: (2)若∠PA8=45,记△MBC的重心为G,若花-G死，求PE与平面PAB所成角的正弦 值： (3)求平面ABC与平面PBC夹角正切的最大值. D B 19.(17分) 已知抛物线E:y'=2px(p>0),过点G(l,0)作E的切线，切点分别为P,Q:且P2=2, (1)求E的方程： (2)设A,B为E上两点，C为线段AB的中点(C不在x轴上)，O为坐标原点，直线OC 交E于点D,直线DA与直线OB交于点M,直线AO与直线DB交于点N. (i)设AB=2,求可A+O的最小值： (i)求证：AB∥MN. 二诊数学试题第4页（共4页)