重难点07 函数的综合探究及应用（新函数问题、函数与几何结合问题、函数实际应用问题）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）

重难点07 函数的综合探究及应用（新函数问题、函数与几何结合问题、函数实际应用问题） 题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练 了解和掌握新函数的图象和性质出题形式和考试方向；学会运用新函数的相关性质进行研究；了解和掌握含绝对值的新函数、分段函数及与函数结合的实际应用是本专题知识点的关键。新函数图象与性质的探究题型既考查学生对于函数图象与性质的理解，又考查学生对实际问题和几何图形的分析能力以及作图能力，新函数图象与性质的探究题大致可归纳为3种类型：(1)函数图象的变形；(2)实际情景中新函数图象与性质的探究；(3)与几何结合的新函数的图象与性质．本专题主要对新函数图象探究题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。 模型01 新函数问题 考｜向｜预｜测 新函数问题该题型近年主要以解答题型出现，解决这类问题的关键是对初中阶段学习的一次函数、反比例函数、二次函数的定义图象和性质充分了解，然后结合几类函数的图形和性质特点进行演变分析。在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。答｜题｜技｜巧 1. 观察新函数特点（表达式特点、图象特点），结合所学基本函数特征进行分析； 2. 确定函数图象（注意列表、描点、）； 3. 结合函数性质进行研究（对称性、增减性、最值）； 4. 对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用； 1．（2023·广西）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 …    (1)①与的几组对应值如下表，请补全表格； ②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象； (2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象； (3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积． 1．阅读下列材料，解答相应的问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下． ①根据函数表达式列表： … 0 1 2 3 … … 0 2 4 6 … ②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象．    (1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整； (2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题． A．根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数图象的两个结论． B．小文类比探索函数图象的过程，借助下面的平面直角坐标系，进一步研究函数（为常数，且）的图象．他从特殊到一般选取，，，…等具体情况，通过列表、描点、连线等步骤，画出它们的图象，并归纳出函数图象的一般结论，请你帮他总结得到的结论．（写出任意两条即可） 2．小明在积累了学习函数的经验之后，自主探究学习了一个新函数：．小明首先观察函数表达式，确定此函数的自变量的取值范围，之后列表求值，画出函数图象，研究函数的性质．请你协助小明完成下列问题： （1）自变量的取值范围； （2）列表求值．请你协助小明补全表格： ··· ··· ··· ··· （3）请你画出函数的大致图象，并试着写出它的两条性质．性质： ．    3．已知函数与函数定义新函数 （1）若则新函数 ； （2）若新函数的解析式为则 ， ； （3）设新函数顶点为． ①当为何值时，有最大值，并求出最大值； ②求与的函数解析式； （4）请你探究：函数与新函数分别经过定点，函数的顶点为，新函数上存在一点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的值． 4．在初三阶段，我们要研究一个新函数：二次函数，在此前，我们研究过一次函数和反比例函数，那么如何研究一个新函数呢？现在做如下探究： 探究课题：探究函数的图象与性质． 方法1：运用已学关于根式，分式的知识． （1）函数的自变量x的取值范围是 ； 方法2：列表法借助图像性质． （2）下表是y与x的几组对应值． 其中_____________ x 1 2 3 4 … y 0 m … 如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； 方法3：分析图像的增减性： ． 模型02 函数与几何结合问题 考｜向｜预｜测 函数与几何结合问题主要是借助函数模型进行探究几何问题，对实际几何问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。该题型在考试中主要以解答题的形式出现，具有一定的难度，除了考查学生对几何有关图形性质、定理知识外，对函数的图象与性质等也需要真正理解，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。 答｜题｜技｜巧 1. 理解题意，找到实际情境的数学模型； 2. 从学过的基础函数入手，建立函数关系； 3. 利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习； 4. 按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题。 1．（2023·湖南）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 1．研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间变化的函数图象如图所示(越大表示学生注意力越集中)．当时，图象是抛物线的一部分；当和时，图象是线段．根据图象回答问题： (1)课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是_______． (2)结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第______分钟到第________分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态． 2．有这样一个问题，如图1，在等边中，，为的中点，，分别是边，上的动点，且，若，试求的长．爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法来解决这个问题，下面是他的探究思路，请帮他补充完整． （1）注意到为等边三角形，且，可得，于是可证，进而可得，注意到为中点，，因此和满足的等量关系为______． （2）设，，则的取值范围是______．结合（1）中的关系求与的函数关系． （3）在平面直角坐标系中，根据已有的经验画出与的函数图象，请在图2中完成画图． （4）回到原问题，要使，即为，利用（3）中的图象，通过测量，可以得到原问题的近似解为______（精确到0.1） 3．从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）． 变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明． 从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B． （2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是 ； （3）说明ABC是等腰三角形； （4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 4．如图．在等边中．为的中点分别是边上的动点．且． 爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法根据以上条件来探究一些问题． 探究过程： （1）用几何的方法，可得出和满足的等量关系为________ ， 并说明理由； （2）设，则与之间的函数解析式为_______ ， 自变量的取值范围为____； （3）在平面直角坐标系中，根据已有的经验画出与的函数图象，请在图2中完成画图． 解决问题： （4）是否存在的值，使得?请利用中的函数图象进行说明． 模型03 函数实际应用问题 考｜向｜预｜测 函数实际应用问题通过对实际情景问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用．考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。 答｜题｜技｜巧 1. 理解题意，找到实际情境的数学模型； 2. 从学过的基础函数入手，建立函数关系； 3. 利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习； 4. 按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题； 例1．（2023·山东）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀 任务2：利用时，；时，，求出h关于t的函数解析式； 【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值与表中观察值偏差的平方和记为w；w越小，偏差就越小； 任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值； （2）请确定经过的一次函数解析式的w值，使得w的值最小； 【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案． 1．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定y与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算： 如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 2．【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据：    R/Ω … 1 2 3 4 n 6 … I/A … 5 m … （1）填写： ， ； 【探究观察】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；    【拓展应用】 （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 3．【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题： 如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽，最大高度．车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙．你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？ 如图2，小东以点为原点，地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 请你帮小东解决问题： (1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少？ (3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使两点在抛物线上，两点在地面上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下． 4．小木同学在学习了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下： (1)绘制函数图象 ①列表：如表是与的几组对应值，其中______； … … … … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整． (2)探究函数性质 请你结合函数图象，写出此函数的两条性质： ①____________；②____________． (3)函数的应用 请你结合函数图象，直接写出的解集：______． 1．阅读下列材料，解答相应的问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下． ①根据函数表达式列表： ②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象． (1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数|图象的一个结论． 2．小吕在学习了反比例函数知识后，结合探究反比例函数图像与性质的方法，对新函数及其图像进行如下探究． (1)自变量x的取值范围是______，x与y的几组对应值如表： x … 1 2 3 4 5 … y … 1 0 m … 其中m＝______．（结果保留根号） (2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质：______． (3)当时，x的取值范围为______． 3．如图，在矩形中，，，点P是边上一点，连接，过点P作的垂线分别交，于点E，F．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随x的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． x 0 0 m 0    (1)根据几何知识，可得关于x的函数解析式为______． (2)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值． 通过计算可知，表格中m的值约为______（结果精确到）． (3)在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出了与x之间的函数关系图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与x之间的函数关系图象． (4)结合函数图象解决问题：当时， ______（结果精确到）． 4．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则直角梯形的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点B为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点，点，可求点F坐标为，点H坐标为． ③由点A和点H的坐标求出直线的关系式为． ④因为点M的横坐标为6，且点M在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点N坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出直角梯形的面积为______． 【迁移探究】如图3，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础下，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点，请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图4，在题（1）建立的直角坐标系下，沿着直线折叠得到，请求点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．    【基础应用】 （1）求k的值； （2）求直线的函数表达式； 【拓展应用】 （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 6．小明同学学习二次函数后，对函数研究．进行了在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)观察研究 ①方程的解为 ②关于x的方程有四个实数根时，a 的取值范围是 (2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b 的值 (3)延伸思考将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x 的取值范围 1．【提出问题】 如图1，在中，，，求的最小值． 【分析问题】 下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识 小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接 【解决问题】 求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路) 【深入探究】 如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ． 【拓展提升】 如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值． 2．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】（1）某年广东省数学中考卷的填空压轴题：如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分（直角梯形）的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为________，点坐标为． ③点和点的坐标求出直线的关系式为_________． ④为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为_________． 【迁移探究】（2）如图，长方形中，，，，，点是边上的一点，交于点．请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （3）在题（2）建立的直角坐标系基础下，点是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由→→→的方向移动，点是点在运动过程中关于轴的对称点．请问在点的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标、若不存在，请说明理由． （4）在题（2）建立的直角坐标系基础下，把沿着直线折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 3．张明丽同学学习了反比例函数 y＝－的图象和性质后，对新函数y＝－的图象和性质进行了探究，以下是她的探究过程： 第一步：在平面直角坐标系中，作出函数 y＝－的图象； 第二步：通过列表、描点、连线，作出新函数y＝－的图象； ①列表： x … －4 －2 －1 0 1 3 4 5 6 … y … 1 2 3 6 －6 －3 －2 － … ②描点：如图所示 （1）请在图中帮助张明丽同学完成连线步骤； （2）观察函数图象，发现函数y＝－与函数 y＝－的图象都是双曲线，并且形状也相同，只是位置发生了改变，由此可知，函数y＝－的图象可由函数 y＝－的图象平移得到．请结合图象写出函数y＝－的两条性质（函数的增减性和对称性各一条）． 4．小莉在学习完反比例函数之后遇到一个新函数：，她按照探究反比例函数的过程对其进行探究： 绘制图象：列表： n (1)_______，_______； (2)① 在平面直角坐标系中描点并连线，补全该函数的图象； ② 小莉通过图象得到了以下性质，其中不正确的是____________； A．当时，随的增大而增大 B．此函数的图象关于原点中心对称 C．函数图象经过原点且位于第一、三象限 D．此函数有最小值，是当时，最小值为 (3)若正比例函数与函数的图象交于，两点，则的值为_____． 5．定义：经过函数图像上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图像，我们把满足这种情况的函数图像称为经过这一点的“折叠函数”． 【基本应用】 (1)如图，点、、均在直线l上．    ①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）； ②求出经过点A、C、D的二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，点为二次函数图像上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围． 【创新应用】 (3)如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为________． 6．【知识迁移】 我们知道，函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为． 【理解应用】 函数的图像可以由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______． 【灵活运用】 如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图像画出函数的图像，并根据所画图像直接写出，当x在什么范围内变化时，？    【实际应用】 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为；若在时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x变化的函数关系为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？ 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 函数的综合探究及应用（新函数问题、函数与几何结合问题、函数实际应用问题） 题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练 了解和掌握新函数的图象和性质出题形式和考试方向；学会运用新函数的相关性质进行研究；了解和掌握含绝对值的新函数、分段函数及与函数结合的实际应用是本专题知识点的关键。新函数图象与性质的探究题型既考查学生对于函数图象与性质的理解，又考查学生对实际问题和几何图形的分析能力以及作图能力，新函数图象与性质的探究题大致可归纳为3种类型：(1)函数图象的变形；(2)实际情景中新函数图象与性质的探究；(3)与几何结合的新函数的图象与性质．本专题主要对新函数图象探究题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。 模型01 新函数问题 考｜向｜预｜测 新函数问题该题型近年主要以解答题型出现，解决这类问题的关键是对初中阶段学习的一次函数、反比例函数、二次函数的定义图象和性质充分了解，然后结合几类函数的图形和性质特点进行演变分析。在所学函数的基础上构建新的函数形式，对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。答｜题｜技｜巧 1. 观察新函数特点（表达式特点、图象特点），结合所学基本函数特征进行分析； 2. 确定函数图象（注意列表、描点、）； 3. 结合函数性质进行研究（对称性、增减性、最值）； 4. 对对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用； 1．（2023·广西）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 …    (1)①与的几组对应值如下表，请补全表格； ②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象； (2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象； (3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析， (2)向左平移1个单位，向上平移2个单位 (3) 【详解】（1）当时，， 补全表格为： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 … 图象如下：    （2）的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位可以得到的图象； （3）一次函数的图象，如图，可知， ∴的面积为．    1．阅读下列材料，解答相应的问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下． ①根据函数表达式列表： … 0 1 2 3 … … 0 2 4 6 … ②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象．    (1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整； (2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题． A．根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数图象的两个结论． B．小文类比探索函数图象的过程，借助下面的平面直角坐标系，进一步研究函数（为常数，且）的图象．他从特殊到一般选取，，，…等具体情况，通过列表、描点、连线等步骤，画出它们的图象，并归纳出函数图象的一般结论，请你帮他总结得到的结论．（写出任意两条即可） 【答案】(1)见解析 (2)A，的图象是以原点为公共端点的两条射线；的图象经过坐标系的第一、二象限 B,见解析 【分析】（1）本题考查函数图像上上点问题及作函数图像，将，，，代入求解，描点连线即可得到答案； （2）本题考查函数的性质及作函数图像，A：根据（1）中的图像直接找到函数规律即可得到答案；B．作出图像，根据图像找到规律即可得到答案； 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故表中依次填入：6，4，2， … 0 1 2 3 … … 6 4 2 0 2 4 6 … 描点，连线如图所示，    （2）解：A：由（1）得， ①的图象是以原点为公共端点的两条射线； ②的图象经过坐标系的第一、二象限； ③的图象关于轴对称； ④的图象的最低点是； B:由题意可得，列表、描点、连线如图所示， … 0 1 2 3 … 9 6 3 0 3 6 9 6 4 2 0 2 4 6 1 0 1    ①的图象是以原点为公共端点的两条射线； ②的图象经过坐标系的第一、二象限； ③的图象关于轴对称； ④的图象的最低点是； ⑤的绝对值越大，的图象越靠近轴． 2．小明在积累了学习函数的经验之后，自主探究学习了一个新函数：．小明首先观察函数表达式，确定此函数的自变量的取值范围，之后列表求值，画出函数图象，研究函数的性质．请你协助小明完成下列问题： （1）自变量的取值范围； （2）列表求值．请你协助小明补全表格： ··· ··· ··· ··· （3）请你画出函数的大致图象，并试着写出它的两条性质．性质： ．    【答案】（1）；（2）-2，；（3）见解析，0＜x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大 【分析】（1）分式的分母不等于零； （2）把自变量的值代入即可求解； （3）根据题意描点、连线即可；再观察图象即可得出该函数的其他性质． 【详解】自变量的取值范围：． 补全表格如下： ··· ··· ··· ··· 图象如图：    观察所画出的函数图象，有如下性质：①0＜x＜1时，y随x的增大而减小；②x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． 3．已知函数与函数定义新函数 （1）若则新函数 ； （2）若新函数的解析式为则 ， ； （3）设新函数顶点为． ①当为何值时，有最大值，并求出最大值； ②求与的函数解析式； （4）请你探究：函数与新函数分别经过定点，函数的顶点为，新函数上存在一点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①当时，；②；（4）或或 【分析】（1）将k=2代入函数，然后用得到新函数； （2）先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得； （3）①先用k表示新函数的定点，得出m、n和k的关系式，再利用配方法求得n最大时k的值； ②已求得m、n关于k的关系式，将代入n中，化简可得m、n的关系式； （4）先求出定点A、B、C，如下图，存在3处D可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D的坐标，进而得出k的值． 【详解】（1）当k=2时 （2） ∵新函数的解析式为： ∴b=，－2=(3－k) 解得：k=5，b=－12 （3）①新函数顶点为. . 当时， 新函数的顶点的绿坐标有最大值，最大值为 ② 将代入得: （4）∵点A是的定点坐标 ，当x=时，y=0 ∴A(，0) ∵点B是新函数上的定点 当x=时，y= ∴点B(，) ∵点C是的定点 ∴C(1，2) ∵四边形ABCD是平行四边形，存在如下图3种情况： 根据平行四边形的性质，易知： 图1中，点D(1，) 图2中，点D(1，) 图3中，点D(-2，) 当点D(1，)时，代入新函数 解得：k= 同理可得或 ∴或或 4．在初三阶段，我们要研究一个新函数：二次函数，在此前，我们研究过一次函数和反比例函数，那么如何研究一个新函数呢？现在做如下探究： 探究课题：探究函数的图象与性质． 方法1：运用已学关于根式，分式的知识． （1）函数的自变量x的取值范围是 ； 方法2：列表法借助图像性质． （2）下表是y与x的几组对应值． 其中_____________ x 1 2 3 4 … y 0 m … 如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； 方法3：分析图像的增减性： ． 【答案】（1）且；（2），图象见解析；方法3：当时，函数y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而减小； 【分析】（1）根据分式有意义分母不为0和二次根式有意义的条件被开方数非负，建立关于x的一元一次不等式组，解之即可求出自变量x的取值范围； （2）将代入解析式求m的值即可，再根据图中描出各点，连点成线画出图象即可； 方法3 ：观察（2）中函数图象，根据函数图象即可得到函数的增减性； 【详解】（1）解：由题意可得 ， 解得且； 故答案为：且． （2）解：当时，， 即， 故答案为：． 该函数的图象如下图所示： 方法3：观察（2）中函数图象可知，当时，函数y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而减小； 故答案为：当时，函数y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而减小． 模型02 函数与几何结合问题 考｜向｜预｜测 函数与几何结合问题主要是借助函数模型进行探究几何问题，对实际几何问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用。该题型在考试中主要以解答题的形式出现，具有一定的难度，除了考查学生对几何有关图形性质、定理知识外，对函数的图象与性质等也需要真正理解，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。 答｜题｜技｜巧 1. 理解题意，找到实际情境的数学模型； 2. 从学过的基础函数入手，建立函数关系； 3. 利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习； 4. 按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题。 1．（2023·湖南）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；③D 【详解】解：（1）作交于点N，交于点M， 设正方形的边长为，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 此时正方形的边长是， 故答案为：； 解：（2）①当时，， 故答案为：； ②描点、连线，图象如图所示， ③由图可知： A、当时，随的增大，先减小后增大，原说法错误； B、a不能为零，可知与y轴无交点，a为正数可知，,与横轴无交点，即该函数的图象不可能与坐标轴相交，原说法错误； C、该函数图象没有对称轴，原说法错误； D、当，函数值先减少后增加，故当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间，说法正确． 故选：D． 1．研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间变化的函数图象如图所示(越大表示学生注意力越集中)．当时，图象是抛物线的一部分；当和时，图象是线段．根据图象回答问题： (1)课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是_______． (2)结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第______分钟到第________分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态． 【答案】(1)10到20分钟；(2)4，29. 【分析】(1)由图象可知，10到20分钟值不变，故学生注意力保持平稳； (2)分别计算出当和的函数解析式，取值，找出大体接近25分钟的时间段，从而得解． 【详解】解：(1)由图象可知，学生注意力保持平稳状态的时间段为：10到20分钟， 故答案为10到20分钟． (2)当时，设抛物线的函数关系式为， ∵图象过点，，， ∴， 解得，，， ∴，()． 当，设其函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 令得， ， ∴老师最好在上课后大约第4分钟到第29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态． 故答案为4，29． 2．有这样一个问题，如图1，在等边中，，为的中点，，分别是边，上的动点，且，若，试求的长．爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法来解决这个问题，下面是他的探究思路，请帮他补充完整． （1）注意到为等边三角形，且，可得，于是可证，进而可得，注意到为中点，，因此和满足的等量关系为______． （2）设，，则的取值范围是______．结合（1）中的关系求与的函数关系． （3）在平面直角坐标系中，根据已有的经验画出与的函数图象，请在图2中完成画图． （4）回到原问题，要使，即为，利用（3）中的图象，通过测量，可以得到原问题的近似解为______（精确到0.1） 【答案】（1）；（2），；（3）答案见解析；（4）1.6． 【分析】（1）利用相似三角形的性质即可解决问题． （2）求出当点F与点A重合时BE的值即可判断x的取值范围． （3）利用描点法画出函数图象即可． （4）画出两个函数图象，量出点P的横坐标即可解决问题． 【详解】解：（1）由，可得， ∵， ∴. 故答案为： （2）由题意：． ∵由，可得， ∵，，． ∴， ∴． 故答案为：；. （3）函数图象如图所示： （4）观察图象可知两个函数的交点P的横坐标约为1.6，故BE=1.6 故答案为1.6． 3．从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）． 变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明． 从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B． （2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是 ； （3）说明ABC是等腰三角形； （4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】（1）PD＋PE＝CF，见解析；（2） ；（3）见解析；（4）（，2）或（-，4） 【分析】（1）连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得结论； （2）根据一次函数图象，与y轴交点即为点C，令x=0求出y值即可得到点C的坐标； （3）求出A、B、C三点坐标，根据坐标求出线段AB和AC的长相等，即可求证； （4）分M在线段BC上和M在线段BC外两种情况，再分别根据图②和③的结论，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l2的解析式可求出M的坐标． 【详解】解：小明的证明思路：如图②，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴＝AB•PD，＝AC•PE，＝AB•CF， ∵＋＝， ∴AB•PD＋AC•PE＝AB•CF， 又AB＝AC， ∴PD＋PE＝CF； （1）如图③，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴＝AB•PD，＝AC•PE，＝AB•CF， ∵−＝ ， ∴AB•PD−AC•PE＝AB•CF， 又∵AB＝AC， ∴PD−PE＝CF； （2）∵和两条直线恰好相交于y轴上的点C， ∴当 ，则 ， ∴ ； （3）∵点A是l1与x轴的交点， ∴当 时 ， ∴ ， ∵点B为l2与x轴的交点， ∴当 时 ， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴AB=AC, ∴ABC是等腰三角形； （4）如图④，由题意可求得A（−4，0），C（0，3），B（1，0）， ∴AB＝5，AC＝5，BC＝，OC＝3， 当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC，垂足分别为P、Q， ∵l2上的一点M到l1的距离是1， ∴MQ＝1， 由图②的结论得：MP＋MQ＝OC=3， ∴MP＝2， ∴M点的纵坐标为2， 又∵M在直线y＝−3x＋3， ∴当y＝2时，x＝ ∴M坐标为（，2）； 同理，由前面结论可知当M点在线段BC外时，有|MP−MQ|＝OC， 可求得MP＝4或MP＝−2，即M点的纵坐标为4或−2， 分别代入y＝−3x＋3，可求得x＝-或x＝（舍，因为它到l1的距离不是1）， ∴M点的坐标为（-，4）； 综上可知M点的坐标为（，2）或（-，4）． 4．如图．在等边中．为的中点分别是边上的动点．且． 爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法根据以上条件来探究一些问题． 探究过程： （1）用几何的方法，可得出和满足的等量关系为________ ， 并说明理由； （2）设，则与之间的函数解析式为_______ ， 自变量的取值范围为____； （3）在平面直角坐标系中，根据已有的经验画出与的函数图象，请在图2中完成画图． 解决问题： （4）是否存在的值，使得?请利用中的函数图象进行说明． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）函数图象见解析；（4）存在的值，使得，理由见解析． 【分析】（1）证明即可得到结论； （2）根据AF=AC-CF，代入（1）中的结论即可得到答案； （3）根据列表，描点，连线的步骤，画出函数图象即可； （4）根据得，变形为，画出函数图象即可得到结论 【详解】解： 理由：为等边三角形， ， ， 为的中点， ， ； 由（1） ∵，且CF=AC-AF=4- y ∴， 整理得， 列表得， x 1 2 3 4 y 0 2 3 描点，连线得函数图象如图所示： 存在，画出函数和函数y=-x+3(1≤x≤3)的图象，如图： 观察图象可知两个函数存在交点， 存在的值，使得 模型03 函数实际应用问题 考｜向｜预｜测 函数实际应用问题通过对实际情景问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用．考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识的综合掌握和运用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型。 答｜题｜技｜巧 1. 理解题意，找到实际情境的数学模型； 2. 从学过的基础函数入手，建立函数关系； 3. 利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习； 4. 按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题； 例1．（2023·山东）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀 任务2：利用时，；时，，求出h关于t的函数解析式； 【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值与表中观察值偏差的平方和记为w；w越小，偏差就越小； 任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值； （2）请确定经过的一次函数解析式的w值，使得w的值最小； 【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：，，，；任务2：；任务3：（1）；（2）当时，w的最小值为0.038；任务4：将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔标记一次刻度，就代表时间经过了10分钟 【详解】任务1： 变化量分别为：，，，， ∴每隔水面高度观察值的变化量为：，，，． 任务2： 设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， ∵时，，时，； ∴， 解得：， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为； 任务3： （1）； （2）设：，则 ∴当时，w有最小值为0.038； 任务4： 由任务3知，优化后的函数解析式为． ∴时间刻度方案要点为，零刻度放在水位最高处，在容器外壁向下每隔标记一次刻度，就代表时间经过了10分钟． ∵时，， ∴最大量程为294分钟． 1．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定y与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算： 如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式． （1）由表格描点，连线即可； （2）根据函数图象可得是一次函数，用待定系数法可求出函数关系式； （3）求出时的值，然后计算即可． 【详解】（1）解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图： （2）解：设解析式为， 当， 则有， 解得， ∴解析式为：， ∵时，， ∴函数解析式为：． （3）解：当时，即， 解得：， 即经过，箭尺读数为， ∵本次实验记录的开始时间是上午， ∴当箭尺读数为时是． 2．【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据：    R/Ω … 1 2 3 4 n 6 … I/A … 5 m … （1）填写： ， ； 【探究观察】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；    【拓展应用】 （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）3，5；（2）①见解析，；②函数值随的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等；（3） 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）由已知列出方程，即可解得m，n的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意， ，解得， 故答案为：3， 5； （2）①根据表格数据描点：，在平面直角坐标系中画出对应函数，的图象如下： ②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，或函数有最大值，没有最小值等； （3）如图： 由函数图象知，当时，函数的图象在函数在上方， 所以，的解集为 3．【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题： 如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽，最大高度．车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙．你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？ 如图2，小东以点为原点，地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 请你帮小东解决问题： (1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少？ (3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使两点在抛物线上，两点在地面上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下． 【答案】(1) (2)3米 (3)这个支架总长的最大值为15米 【分析】本题主要考查二次函数解析式，二次函数图象与性质以及二次函数的应用： （1）先根据所建坐标系求出顶点P的坐标，再设解析式为顶点式，把原点O的坐标代入解析式，运用待定系数法即可求出函数解析式； （2）把代入解析式，求出的值，再减去即可； （3）设点，则 ，，然后根据列出函数解析式，由二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度为12米， ∴， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∵（米） ∴通过隧道车辆的高度限制应为3米； （3）解：设点，则 ，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值是15， ∴这个支架总长的最大值为15米． 4．小木同学在学习了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下： (1)绘制函数图象 ①列表：如表是与的几组对应值，其中______； … … … … ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整． (2)探究函数性质 请你结合函数图象，写出此函数的两条性质： ①____________；②____________． (3)函数的应用 请你结合函数图象，直接写出的解集：______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①利用待定系数法即可得解．②根据表中各数对即可描点，③根据描点即可补充图象如图所示； （2）①写出函数的增减性；②写出函数图象与直线没有交点即可． （3）先求出与的交点，再利用数形相结合即可得解． 【详解】（1）解：（1）①把代入得， 解得． ∴， 当时，， 故答案为：； ②③补充图象如图所示． （2）解：由图可得①当时，函数值随的增大而增大； ②此函数图象与直线没有交点． （3）解：， 解得或， 当时，， 当时，， ∴与相交于点和， 由图可得的解集：或 1．阅读下列材料，解答相应的问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下． ①根据函数表达式列表： ②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象． (1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数|图象的一个结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查函数图像上点的问题及作函数图象， （1）将，，，代入求解，描点连线即可求解； （2）本题考查函数的性质及作函数图象，根据（1）中的图象直接找到函数规律，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故表中依次填入：6，4，2， … 0 1 2 3 … … 6 4 2 0 2 4 6 … 描点，连线如图所示， （2）解：由（1）得， ①的图象是以原点为公共端点的两条射线； ②的图象经过坐标系的第一、二象限； ③的图象关于轴对称； ④的图象的最低点是； 2．小吕在学习了反比例函数知识后，结合探究反比例函数图像与性质的方法，对新函数及其图像进行如下探究． (1)自变量x的取值范围是______，x与y的几组对应值如表： x … 1 2 3 4 5 … y … 1 0 m … 其中m＝______．（结果保留根号） (2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质：______． (3)当时，x的取值范围为______． 【答案】(1)，， (2)图像见详解，y随x增大而减小； (3)． 【分析】（1）根据根式及分式有意义的条件即可得到答案，将代入函数即可得到m的值； （2）根据题目中的表描点即可画出图像，根据图像即可得到性质； （3）根据图表的得到与交点的交点，根据函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 时有意义， ∴自变量x的取值范围是， 当时，； （2）解： 由图像可得，y随x增大而减小； （3）解：由图表可得过点， 当时，， 由（2）得中 y随x增大而减小， ∵， ∴中y随x增大而增大， ∴的解集为：． 3．如图，在矩形中，，，点P是边上一点，连接，过点P作的垂线分别交，于点E，F．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随x的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． x 0 0 m 0    (1)根据几何知识，可得关于x的函数解析式为______． (2)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值． 通过计算可知，表格中m的值约为______（结果精确到）． (3)在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出了与x之间的函数关系图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与x之间的函数关系图象． (4)结合函数图象解决问题：当时， ______（结果精确到）． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4)或或 【分析】（1）先证明，利用相同角的正切值相同得出对应边的比相同，即可求出二次函数的解析式． （2）先证明和均为腰长为3的等腰直角三角形，过点E作于点H，利用等腰三角形的性质和正切的定义得出，，设，则，，根据，求出x的值，再利用勾股定义求出的值，再估计无理数的大小即可． （3）利用描点法画出函数图象即可； （4）利用数形结合的思想解决问题即可； 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得， 故答案为． （2）当时，点P在的中点，则， ∵，， ∴和均为腰长为3的等腰直角三角形， ∴， 在中，过点E作于点H，    ∵，，， 设，则，， 在， 解得， 则， 故答案为； （3）根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与x之间的函数关系图如图，    （4）根据图象可得，当时，即两个函数相交时，或或． 故答案为：或或． 4．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则直角梯形的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点B为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点，点，可求点F坐标为，点H坐标为． ③由点A和点H的坐标求出直线的关系式为． ④因为点M的横坐标为6，且点M在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点N坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出直角梯形的面积为______． 【迁移探究】如图3，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础下，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点，请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图4，在题（1）建立的直角坐标系下，沿着直线折叠得到，请求点的坐标． 【答案】初步运用：；迁移探究：（1）；（2）存在，或；（3） 【分析】初步运用：先求出、的坐标，得出、，再根据计算即可得解； 迁移探究：（1）以直线为轴，直线为轴，以点为原点建立直角坐标系，求出直线的解析式为；同理可得：直线的解析式为，联立求解即可； （2）分三种情况：当点在边上时；当点在边上时；当点在边上时；分别求解即可； （3）由折叠可得：，，证明，从而得出，得出点、到的距离相等，推出，进而得出直线的解析式为，设，作轴于，则，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：初步运用：∵直线的关系式为， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴； 迁移探究：（1）如图，以直线为轴，直线为轴，以点为原点建立直角坐标系， ， ∵，，， ∴，，，， 设直线的解析式为， 将，代入直线可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴； （2）存在， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 当点在边上时，如图， ， ∵是一个等腰三角形，， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴， ∴， ∴； 当点在边上时，，，且，此时不可能为等腰三角形； 当点在边上时，如图，设， ， ∵是一个等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，或； （3）由折叠可得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、到的距离相等， ∴， 由（1）可得直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设，如图，作轴于， ， 则，， ∴由勾股定理可得，，即， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴点的坐标为． 5．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．    【基础应用】 （1）求k的值； （2）求直线的函数表达式； 【拓展应用】 （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作轴，易得，设，代入一次函数解析式，求出点坐标，待定系数法求值即可； （2）先求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，证明，得到，进一步求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：过点作轴，    ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵在双曲线上， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得：， ∴直线的解析式为：； （3）存在，过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∵， ∴点的横坐标为， ∵点在双曲线上，， ∴． 6．小明同学学习二次函数后，对函数研究．进行了在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)观察研究 ①方程的解为 ②关于x的方程有四个实数根时，a 的取值范围是 (2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b 的值 (3)延伸思考将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x 的取值范围 【答案】(1)①或或；②； (2)或； (3)见解析，或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用图象求方程的根和不等式的解集，是解题的关键． （1）①找到曲线与的交点的横坐标即可； ②图象法解不等式即可； （2）观察图象可知当直线过时，函数的图象与直线有三个交点或当与只有一个交点时，两个图象有3个交点，进行求解即可； （3）根据平移规则进行求解，图象法求不等式的解集． 【详解】（1）解：观察图象可知： ①方程的解为：或或； ②关于x的方程有四个实数根时，则a的取值范围是． 故答案为：或或；； （2）把点代入得，， 令，整理得， 则，解得， ∴当函数的图象与直线有三个交点时，b的值为或； （3）将函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数的图象， 当时，自变量x的取值范围是或． 1．【提出问题】 如图1，在中，，，求的最小值． 【分析问题】 下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识 小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接 【解决问题】 求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路) 【深入探究】 如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ． 【拓展提升】 如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值． 【答案】【解决问题】的最小值为2；【深入探究】；【拓展提升】线段的最小值为1 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； [解决问题] 小明：根据勾股定理表示出，根据二次函数的性质求最值，即可求解； 小红：延长至点，使得，则点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而求得的最小值； [深入探究] 设，则，勾股定理表示出，进而根据二次函数的性质求得的最小值，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出的最小值； [拓展提升] 延长至点，使得，由题意得，证明，设，则，，延长至点，使得，得出点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而即可求解． 【详解】[解决问题]小明：设，则，在中，， ， 当时，有最小值， 的最小值为； 小红：如图1，延长至点，使得， 此时，且为等腰直角三角形， ， 点在过点且与的夹角为的直线上运动， 当于点时，最小， 此时， 的最小值为        [深入探究]； 设，则， ∵， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵是的中点， ∴ ∴的最小值为 [拓展提升]如图2，延长至点，使得，由题意得， ， ，， 又， ， ， 设，则，， 如图3，延长至点，使得， ， ， ， ， 点在过点且与的夹角为的直线上运动， 当于点时，最小，此时， ， 线段的最小值为． 2．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】（1）某年广东省数学中考卷的填空压轴题：如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分（直角梯形）的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为________，点坐标为． ③点和点的坐标求出直线的关系式为_________． ④为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为_________． 【迁移探究】（2）如图，长方形中，，，，，点是边上的一点，交于点．请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （3）在题（2）建立的直角坐标系基础下，点是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由→→→的方向移动，点是点在运动过程中关于轴的对称点．请问在点的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标、若不存在，请说明理由． （4）在题（2）建立的直角坐标系基础下，把沿着直线折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），，8；（2）；（3）点的坐标为或；（4）点的坐标为． 【分析】（1）以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系．则，，，，运用待定系数法可求得直线的解析式，进而求得，，再利用梯形面积公式即可求得答案； （2）以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系．则，，，，利用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组可求得点的坐标，再由，即可求得答案； （3）分三种情况：当点在边上时，当点在边上时，当点在边上时，分别求出点的坐标即可； （4）由折叠得，再证得，得出，即点、到的距离相等，推出，可得直线的解析式，设，根据，建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系． 则，，，， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，，8； （2）如图，以直线为轴，以直线为轴，以点为原点建立直角坐标系． ∵，，， ∴，，，， 则直线的解析式为，直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴， ∴； （3）存在． ∵，， ∴， 当点在边上时，如图， ∵是一个等腰三角形，， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴， ∴， ∴； 当点在边上时，，， 且， 此时不可能为等腰三角形； 当点在边上时，如图，作的垂直平分线交的延长线于点， 设，把的中点坐标代入得：， 解得：， ∴的垂直平分线的解析式为， 当时，， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （4）由折叠得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、到的距离相等， ∴， ∴直线的解析式为， 设，如图， 则， ∴， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为． 3．张明丽同学学习了反比例函数 y＝－的图象和性质后，对新函数y＝－的图象和性质进行了探究，以下是她的探究过程： 第一步：在平面直角坐标系中，作出函数 y＝－的图象； 第二步：通过列表、描点、连线，作出新函数y＝－的图象； ①列表： x … －4 －2 －1 0 1 3 4 5 6 … y … 1 2 3 6 －6 －3 －2 － … ②描点：如图所示 （1）请在图中帮助张明丽同学完成连线步骤； （2）观察函数图象，发现函数y＝－与函数 y＝－的图象都是双曲线，并且形状也相同，只是位置发生了改变，由此可知，函数y＝－的图象可由函数 y＝－的图象平移得到．请结合图象写出函数y＝－的两条性质（函数的增减性和对称性各一条）． 【答案】（1）见解析；（2）当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而增大；图象关于点（2，0）中心对称（或图象关于直线y＝x－2轴对称）． 【分析】（1）利用平滑的曲线连接，不可与图中的双曲线相交； （2）观察两个函数对应点的关系可知，将y＝－的图像向右平移2个单位可得到y＝－的图像； 【详解】连线如下图； (2) 函数y＝－的两条性质为： ①当x＞2时，y随x的增大而增大， 当x＜2时，y随x的增大而增大； ②图象关于点(2，0)中心对称(或图象关于直线y＝x－2轴对称) ． 4．小莉在学习完反比例函数之后遇到一个新函数：，她按照探究反比例函数的过程对其进行探究： 绘制图象：列表： n (1)_______，_______； (2)① 在平面直角坐标系中描点并连线，补全该函数的图象； ② 小莉通过图象得到了以下性质，其中不正确的是____________； A．当时，随的增大而增大 B．此函数的图象关于原点中心对称 C．函数图象经过原点且位于第一、三象限 D．此函数有最小值，是当时，最小值为 (3)若正比例函数与函数的图象交于，两点，则的值为_____． 【答案】(1)， (2)①见解析；②A (3) 【分析】本题考查函数的图象与性质，一次函数与反比例函数的交点， （1）将分别代入解析式，即可求解． （2）①描点、连线画出函数的图象即可； ②根据函数的图象即可求得； （3）正比例函数与函数的两交点坐标关于原点对称，依此可得，，依此关系即可求解． 【详解】（1）当时， 当时， 故答案为：，． （2）解：①描点、连线画出函数的图象如图： ； ②观察图象： A．当时，随的增大先增大后减小，故错误； B．此函数的图象关于原点中心对称，故正确； C．函数图象经过原点且位于第一、三象限，故正确； D. 此函数有最小值，是当时，最小值为，故正确； 故选：A； （3）正比例函数与函数的两交点，关于原点对称，依此可得，， ． 故答案为：． 5．定义：经过函数图像上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图像，我们把满足这种情况的函数图像称为经过这一点的“折叠函数”． 【基本应用】 (1)如图，点、、均在直线l上．    ①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）； ②求出经过点A、C、D的二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，点为二次函数图像上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围． 【创新应用】 (3)如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为________． 【答案】(1)①以点C为顶点，作,作，交x轴于点D，则点D即为所求；② (2)或 (3) 【分析】（1）①将已知点坐标代入解析式的一般式，待定系数法确定解析式，进而确定，，以点C为顶点，作,作，交x轴于点D，则点D即为所求； ②由图知，,可证,得,由两点间距离公式求得,进一步求得,确定,待定系数法确定经过,,三点的抛物线解析式； （2）设点，由两图象关于直线对称，可求新抛物线顶点纵坐标为，确定翻折后的抛物线解析式为，分情况讨论：如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，解，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧）， 如图2，当点P在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点；（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧），　得出结论； （3）确定原函数解析式，进而根据对称性求得翻折函数的解析式， 时，，解得，所以交点坐标为． 【详解】（1）解：①设直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴直线解析式为， 将代入得，，解得：， ∴ 以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；    ②由图知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设经过，，三点的抛物线为，则： ， 解得：， ∴解析式． （2）解：原抛物线， 点，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为： ， 故翻折后的抛物线解析式为：， 如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意，则，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），      如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点， 点P落在x轴上时，（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）； 当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点． ∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时，或．      （3）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴，    如图，设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入得，，即折后的图象解析式为， 时，，解得， 所以交点坐标为． 故答案为：． 6．【知识迁移】 我们知道，函数的图像是由二次函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到．类似地，函数的图像是由反比例函数的图像向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为． 【理解应用】 函数的图像可以由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______． 【灵活运用】 如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图像画出函数的图像，并根据所画图像直接写出，当x在什么范围内变化时，？    【实际应用】 某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为；若在时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x变化的函数关系为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？ 【答案】理解应用：3，2，；灵活运用：；实际应用： 【分析】理解应用：根据平移的特点进行解答即可； 灵活应用：先根据函数关系式，得出函数的图像可以由函数的图像向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为，画出函数图像，根据图像得出x的取值范围即可； 实际应用：求出当时进行第一次复习，复习后的记忆留存量变为1，得出点在函数的图象上，求出，求出当时，，即可得出结果． 【详解】解：理解应用：函数的图像可以由函数的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，其对称中心坐标为， 故答案为：3，2，； 灵活运用：函数的图像可以由函数的图像向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为，画出函数图像，如图所示：    根据函数图像可知，当时，； 实际应用：解当时，， 解得时进行第一次复习，复习后的记忆留存量变为1， ∴点在函数的图象上，则， ∴， 当时，解得， ∴时，是他第二次复习的“最佳时机点”． 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$