精品解析：福建省泉州市泉港区第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考考试数学试卷

泉港二中25年春季高一下第一次月考考试数学试卷 一、单选题 1. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知角是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，是单位向量，且，则为（ ） A. B. C. 3 D. 5 4. 已知等边三角形边长是，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（ ） A. B. C. D. 7 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 下列选项说法错误的是（ ） A. 若，，均为非零向量，则 B. 已知向量，满足，，则的取值范围是 C. 已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形 D. 若，则 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等实数根，则的取值范围是 11. 对于函数，下列正确的有（ ） A. 偶函数 B. 在区间单调递增 C. 是周期函数且最小正周期为 D. 的图象关于直线对称 三、填空题 12. 已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数________． 13. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为__________. 14. 函数在区间上的一个对称中心是，则的值为______. 四、解答题 15. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 16. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 17. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． 18. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． （1）令，，用，表示； （2）求线段的长． 19. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. （1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值. （3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉港二中25年春季高一下第一次月考考试数学试卷 一、单选题 1. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 2. 已知角是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知直接利用同角三角函数基本关系式即可计算求解. 【详解】因为角是第二象限角，所以，又，所以． 故选：A. 3. 已知向量，是单位向量，且，则为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案. 【详解】因为向量，是单位向量，所以 由则， 所以， 故选：B. 4. 已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点， 则， 由得，可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因此， . 故选：B. 5. 已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算性质可得出，再利用投影向量的定义可求得结果. 【详解】设向量、的夹角为，因为，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：C. 6. 先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简整理函数，然后根据函数变换得到函数，令，求得函数的对称轴. 【详解】由题意可得：， 经过题中的一系列变换得到， 令，，解得：，， 对各项验证可得：当时，. 故选：D. 7. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一，根据条件，通过构角，得到，即可求解；法二，利用余弦的和角公式，得到，再利用条件和平方关系，直接求出，代入即可求解. 【详解】法一：因为，所以， 整理得，所以，又， 则， 法二：，所以， 即①，又，， 解得或， 代入①式，得到，化简得， 故选：A. 8. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 二、多选题 9. 下列选项说法错误的是（ ） A. 若，，均为非零向量，则 B. 已知向量，满足，，则的取值范围是 C. 已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过分析不同情况下向量的特点，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A， 与共线，与共线， ∴不一定成立， ∴选项A错误； 选项B， 与的方向相同时，取得最小值3， 与的方向相反时，取得最大值5， ∴选项B正确； 选项C， A，B，C，D四点共线时不能构成一个梯形， ∴选项C错误； 选项D， ，，方向不确定， ∴选项D错误， 故选：ACD． 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意得到， 对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确. 【详解】由图可知：的最小正周期， 当时，，所以； 对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，将向右平移，得到，正确； 对于D，的大致图像如下： 欲使得在内方程有2个不相等的实数根， 则，正确； 故选：ACD. 11. 对于函数，下列正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递增 C. 是周期函数且最小正周期为 D. 图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A根据奇偶性的定义验证即可判断，对于B当时，，则 即可判断，对于C验证即可判断，对于D验证是否成立即可. 【详解】因为，所以是偶函数，故A正确； 当时，在区间单调递增， 且，根据正弦函数的单调性可知B正确； 因为， 所以是的一个周期，故C错误； 因为， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义、数量积的运算律计算得解. 【详解】由向量，的模相等且夹角为，得， 由向量与向量垂直，得， 而，所以. 故答案为：2 13. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解. 【详解】因在上的投影向量为，即， 则，又，则得， 所以， 又，故向量与向量的夹角为， 故答案为：. 14. 函数在区间上的一个对称中心是，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的对称中心可得结果. 【详解】由题意得，， 令，得， 当时，，，故的值为. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦的和差角公式的展开式，联立可得即可根据弦切互化求解， （2）根据平方和公式，结合余弦和角公式即可求解. 【详解】（1）由可得故 故， （2）由可得，故， 即，解得 16. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 由， 得， ， 所以，且有公共点B， 所以三点共线. 【小问2详解】 由与共线， 则存在实数，使得， 即， 又是不共线的两个非零向量，因此， 解得，或， 实数k的值是. 当时，与反向共线 17. 已知函数 （1）求函数最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质求最小正周期和递减区间. （2）由（1）及图象平移有，应用整体法及正弦函数的性质求区间值域. 【小问1详解】 由题设，， 所以的最小正周期为， 令，，解得，， 因此，函数的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，， 将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象， ∵，则， ∴，则． ∴在上的值域为． 18. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． （1）令，，用，表示； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解； （2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得． 【小问1详解】 ∵，分别为，的中点， ∴； 【小问2详解】 设， ∵，分别为，的中点， 所以， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， 即， 由已知与平行且相等，因此是平行四边形， 所以，是等边三角形， 所以． 19. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. （1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值. （3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 【答案】（1）,图象如图所示 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得； （2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值； （3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为，由题意，， 且，解得，则，即有， 将点代入，化简可得，则， 即，因，故得，即. 取函数在一个周期上的五点列表如下： 0 2 0 0 在直角坐标系中作图如下： 【小问2详解】 依题意，是偶函数， 故，解得，即， 因，则得，则时，取得最小值为 . 【小问3详解】 由（2）分析可得，因，则， 结合余弦函数的图象性质可得，故得， 因对任意的，恒有成立，故得， 解得或，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$