18.2.2菱形的性质判定十大题型-2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.2.2菱形的性质判定十大题型（解析版） 知识要点归纳 知识点1、菱形的定义及性质 1. 定义：有一组对边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 性质：（1）菱形的四条边都相等 （2） 菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。 点拨： 1. 由菱形的定义和平行四边形的对角相等可得菱形的四条边相等。 2. 菱形的对角线在位置上互相垂直，与所经过的对角平分一组对角。 方法点拨： 菱形中含多个等腰三角形，其性质的推理证明是借助等腰三角形的性质得到的。 知识点2、菱形的判定定理 1. 定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 判定定理1：四条边相等的平行四边形是菱形。 3. 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 点拨： 1. 用定义法判定菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明这个平行四边形有一组邻边相等。 2. 用边判定菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等，或者直接证明四边形四边相等。 用对角线证明菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形的对角线垂直，或者直接证明四边形的对角线垂直平分。 题型归纳 【题型1 利用菱形性质求角度】 【题型2 利用菱形性质求线段长度】 【题型3 利用菱形性质求面积】 【题型4 利用菱形性质进行证明】 【题型5 利用菱形性质求最值】 【题型6 添加条件使四边形是菱形】 【题型7 证明四边形是菱形】 【题型8根据菱形性质判定求角度】 【题型9 根据菱形性质判定求线段长度】 【题型10 根据菱形性质判定求面积】 典例精析专练 【题型1 利用菱形性质求角度】 【例1-1】．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AB//CD. 又∵BE=AB， ∴BE=CD，BE//CD. ∴四边形BECD是平行四边形. ∴BD=EC. （2）∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD//CE， ∴∠ABO=∠E=50°. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC丄BD. ∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°. 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质 【解析】【分析】（1）先证出BE=CD，BE//CD，可得四边形BECD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得BD=EC； （2）利用平行四边形的性质可得BD//CE，利用平行线的性质可得∠ABO=∠E=50°，再利用菱形的性质可得AC丄BD，最后利用角的运算求出∠BAO=90°﹣∠ABO=40°即可. 【变式1-1】．菱形中，如图，于，于，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；菱形的性质 【解析】【解答】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴垂直平分边， ∴ ∴，均是等边三角形， ∴， ∴， ∵于，于， ∴ ∴在四边形中， ． 故答案为：B. 【分析】连接，根据菱形的性质“菱形的四条边都相等”可得AB=BC=CD=AD，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点得到线段两端点的距离相等”可得AB=AC，然后根据有三边都相等的三角形是等边三角形可得△ABC、△ACD都为等边三角形，由等边三角形的性质“等边三角形的每一个角都等于60°”可得∠BCA=∠DCA=60°，最后根据四边形的内角和等于360°计算即可求解． 【变式1-2】．如图，在菱形中，，是垂直平分线交对角线于点垂足为，连接，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】由菱形ABCD可知：∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝35°， ∠ADC＝180°-∠BAD＝180°-70°＝110°， 连接BF，则易证明△DAF≌△BAF，∴DF＝BF， ∵EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF， ∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAC＝35°， ∴∠CDF＝∠ADC-∠ADF＝110°-35°＝75°. 故答案为：D 【分析】连接BF，根据垂直平分线的性质得出AF＝BF，结合菱形的性质可证明△DAF≌△BAF，推导出AF＝DF，∠ADF＝∠DAC，再根据∠CDF＝∠ADC-∠ADF求出结果.​​​​​​​ 【变式1-3】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，线段AC上有一点E，连接BE、DE，若BE=CE，且∠BAD=40°，则∠BDE的度数为　 　°． 【答案】50 【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠DCB＝∠BAD＝40°，∠DCO＝∠BCO＝20°， 在△DCE与△BCE中， ∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴DE＝BE， ∵BE＝CE， ∴DE＝CE， ∴∠CDE＝∠DCE＝20°， ∵∠DOC＝90°， ∴∠CDO＝70°， ∴∠BDE＝50°， 故答案为：50． 【分析】先利用“SAS”证出△DCE≌△BCE，可得DE＝BE，再利用等量代换及等边对等角的性质可得∠CDE＝∠DCE＝20°，最后利用角的运算求出∠BDE＝50°即可. 【题型2 利用菱形性质求线段长度】 【例2-1】．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 故答案为：C 【分析】根据菱形的性质得出、的长，再根据勾股定理可得BC=5，再根据菱形面积即可求出答案. 【变式2-1】．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解： 连接BE，BD，如图， ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°， ∵E点为CD的中点， ∴∠CBE=∠CBD=30°，CE=DE=1，BE⊥CD； 在Rt△BCE中， BC=2CE=2， BE= . ∵AB∥CD， ∴BE⊥AB. ∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处， ∴EF=AF. 设EF=AF=x，则BF=2-x， 在Rt△BEF中，由勾股定理可得： ， 解得： . 故答案为：A. 【分析】连接BE，BD，如图，由菱形的性质和等边三角形的判定可得△BDC为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一可得BE⊥CD，在Rt△BCE中用勾股定理求出BE的值，由平行线的性质可证得BE⊥AB， 根据折叠的性质可得EF=AF.，设EF=AF=x，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解. 【变式2-2】．如图，四边形是菱形，，于H，则等于（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：如图所示， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故答案为：A． 【分析】先利用菱形的性质及勾股定理求出OA的长，再求出，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半可得，再将数据代入求出DH的长即可. 【变式2-3】．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：记AC与BD的交点为，如图所示： 四边形ABCD为菱形， 菱形的面积 菱形的面积 故答案为：D 【分析】记AC与BD的交点为，根据菱形的性质得到进而根据勾股定理求出BO，再根据菱形的面积结合题意即可求出DE. 【题型3 利用菱形性质求面积】 【例3-1】．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】C 【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 【分析】 根据菱形的性质和已知条件可得OG是斜边上的中线，进而可求出AB的长，再根据勾股定理可求出OA的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【变式3-1】．菱形有一个内角是，边长为，则它的面积是　 　． 【答案】 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：如图，，过点A作于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴它的面积是． 故答案为：． 【分析】 过点A作于点E（即为菱形的高），在Rt△ABE中，根据直角三角形的性质可得∠BAE=30°，进而根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据勾股定理可得的长，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解． 【变式3-2】．菱形周长为40 cm，它的一条对角线长12 cm，则菱形的面积为　 　cm2 【答案】96 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：∵菱形周长为40 cm， ∴菱形的边长为10 cm， 又∵一条对角线长12cm， 根据勾股定理，可得出另一条对角线长16cm， ∴菱形的面积为 cm2 【分析】先利用勾股定理求出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的对角线相乘除以2即可求出菱形的面积。 【变式3-3】．如图，在菱形 中， 对角线 交于点 的延长线于点 交 的延长线于点 ． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若， 求菱形 F的面积． 【答案】（1）证明： 四边形 是菱形， ， 四边形 是平行四边形， 平行四边形 是矩形； （2）解： 四边形 是菱形， ， 设 ， 则 ， ， 在 Rt 中， ， 解得： ， 【知识点】菱形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】（1）先证出四边形 是平行四边形，再结合AB⊥BC，即可证出平行四边形 是矩形； （2）设 ， 则 ，利用勾股定理可得，求出x的值，再利用线段的和差求出FC的长，最后利用菱形的面积公式求解即可. 【题型4 利用菱形性质进行证明】 【例4-1】．在菱形ABCD中，是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化. （1）如图1，当点在线段BD上，且点在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，小明通过连结AC后证明得到BP与CE的数量关系是　 　； （2）如图2，当点在线段BD上，且点在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在BD的延长线上时，其他条件不变，连结BE，若，，求PB的长. 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立. 理由如下：如图，连结AC， 菱形， 和都是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， . (1)中的结论仍然成立； （3）如图，当点在BD的延长线上时，连结AC交BD于点，连结BE，CE， 四边形ABCD是菱形， 平分 同（2）易证， 是正三角形， 【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】（1）BP与CE的数量关系为：BP=CE， 理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠CAB=60°， ∵△APE是等边三角形， ∴∠PAE=60°，AP=AE， 而∠CAB=∠CAP+∠PAB，∠PAE=∠CAP+∠CAE， ∴∠PAB=∠CAE， 在△ABP和△ACE中 ∴△ABP≌△ACE（SAS） ∴BP=CE. 【分析】（1）由菱形和等边三角形的性质并用边角边可证△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可求解； （2）（1）中的结论仍然成立.理由如下：如图，连结AC，同理可证△ABP≌△ACE求解； （3）当点在BD的延长线上时，连结AC交BD于点，连结BE，CE，同理可证△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等可得∠ACE=∠ABO=30°，BP=CE，由（1）可得△ABC是等边三角形，于是由等边三角形的性质和角的构成得∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，在Rt△BCE中，用勾股定理可求得CE的值，然后根据PB=CE可求解. 【变式4-1】．在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动： （1）【探究发现】 如图，点是正方形中边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到，连接，请问是否为等腰直角三角形？并说明理由； （2）【联想拓展】 如图，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接． 求证：． （3）【迁移应用】 如图，若点是菱形外部的一点，，，请求出，，之间的数量关系． 【答案】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： 四边形为正方形， ，即， 由旋转的性质可得：，， ，即， 为等腰直角三角形； （2）证明：四边形为正方形， ， 由旋转的性质可得：，，，， 为等腰直角三角形，， ，， ； （3）解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转120°得到△ABE'，连接EE'， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， ， 作于，则，， ， ， 由勾股定理得：， ，即． 【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAD=90°，即∠BAE+∠DAE=90°，由旋转的性质可得：AF=AE，∠BAF=∠DAE，从而得出∠EAF=90°，即可得证； （2）由正方形的对角线平分一组对角得∠ABD=∠ADB=45°，由旋转得∠ABF=∠ADB=45°，AE=AF，DE=BF，∠EAF=90°，从而得出△AEF为等腰直角三角形，∠EBF=90°，再由勾股定理即可得出答案； （3）将△ADE绕点A顺时针旋转120°得到△ABE'，连接EE'，由旋转得AE=AE'，∠EAE'=120°，∠AE'B=∠AED=60°，BE'=DE，由等边对等角及三角形内角和定理得出∠AEE'=∠AE'E=30°，求出∠BE'E=90°，作AF⊥EE'于F，由等腰三角形三线合一得EE'=2EF，由含30°角直角三角形性质得AF=，在Rt△AEF中，由勾股定理表示出EF，从而可表示出EE'，最后再在Rt△BEE'中，利用勾股定理建立等量关系，最后等量代换即可得出答案. 【变式4-2】．如图，四边形为平行四边形，以为边，在平行四边形外侧作菱形，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：过点作，交的延长线于， ， ， 四边形为平行四边形，四边形是菱形， ，， 在中，，， ， ， 在中，， ． 由知，四边形为平行四边形， ． 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形的性质 【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可得，，再通过菱形的性质可得，，进而得到，，即可证得四边形为平行四边形. (2)作，利用等腰直角三角形的性质求得DG=EG=2，进而求得AG的长度，再通过勾股定理计算出AE的长度，由平行四边形的性质即可求得BF的长度. 【变式4-3】．在菱形ABCD中，，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化. 图1 图2 图3 （1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　 　，AD与CB的位置关系是　 　； （2）如图2，当点P在段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE.若，，请直接写出的面积. 【答案】（1）； （2）解：（1）中的结论：，仍然成立， 理由如下：如图1中，连接AC，设CE与AD交于H， 图1 ∵四边形ABCD是菱形，，∴和都是等边三角形， ∴，，， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，∴，∴，∴； ∵，∴. ∴（1）中的结论：，仍然成立； （3）如图，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，F⊥AP于F， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴AC⊥BD，∠ABO=∠OBC=30°， ∴AO=AB=，OB=AO=3， ∴BD=6， 由（2）知：CE⊥AD， ∵AD∥BC， ∴CE⊥BC， ∴CE==8， 由（2）知：BP=CE=8， ∴DP=2， ∴OP=5， ∴AP==， ∴△APE的面积为AP2=×（）2=； 如图，当点P在DB的延长线上时， 同理可求：AP==， ∴△APE的面积为AP2=×（）2=； 综上可知：△APE的面积为的面积为或. 【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；四边形的综合 【解析】【解答】解：（1）连接AC，延长CE交AD于H， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°， ∴∠BAC=∠CAH=60°，AB=AC， ∵△APE是等边三角形， ∴AP=PE，∠PAE=60°， ∵∠BAC=∠PAE=60°， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△BAP≌△CAE（SAS）， ∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°， ∵△ACD都是等边三角形 ∴∠ACD=2∠ACH=60°， ∴CH⊥AD，即CE⊥AD， ∵AD∥BC， ∴CE⊥BC， 故答案为：BP=CE，CE⊥BC， 【分析】（1）连接AC，延长CE交AD于H，证明△BAP≌△CAE（SAS），可得BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，由等边三角形的性质可推出CH⊥AD，再利用平行线的性质可得CE⊥BC； （2）连接AC，设CE与AD交于H，同（1）证法相同； （3）分两种情况：当点P在BD的延长线上时和当点P在DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，由勾股定理求出CE的长，再求AP的长，继而求出等边△APE的面积. 【题型5 利用菱形性质求最值】 【例5-1】．．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为　 　． 【答案】 【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图，连接． ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【分析】连接，由菱形的性质可得和都为等边三角形，再证明，可得，，从而推出为等边三角形，得出，当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质求出AE，再利用勾股定理求出DE的长，即得EF的最小值． 【变式5-1】．．如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC=S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为　 　. 【答案】 【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：设A到BC的距离为h，P到BC的距离H， ∵ S△PBC=， S菱形ABCD=BC·h， S△PBC=S菱形ABCD， ∴，即2H=h， 过点P作BC的平行线l，过C作l的垂线交AB于点C'，连接BC'交l于点P'，如图， ∴ C'与C关于直线l对称， ∴ P'B+P'C即为PB+PC的最小值BC'， ∵ 四边形ABCD为菱形， ∴ BC=4， ∵ ∠ABC=30°， ∴ CC'=， ∴ BC'=. 故答案为：. 【分析】根据菱形和三角形的面积公式和关系可得2H=h，根据轴对称-最短距离问题可得BC'的长，根据菱形的性质和30°的直角三角形的性质可得BC和CC'，再根据勾股定理即可求得BC'. 【变式5-2】．．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　 　． 【答案】 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：作E点关于AC对称点E′点，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点， ∵菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点， ∴AE′＝AE＝BE＝1， ∴△AEE′为等边三角形， ∴∠AEE′＝60°， ∴∠E′EB＝120°， ∵BE＝EE′， ∴∠EE′B＝30°， ∴∠AE′B＝90°， BE′＝ ＝ ， ∵PE+PB＝BE′， ∴PE+PB的最小值是： ． 故答案为： ． 【分析】根据菱形的性质，找出E点关于AC的对称点E′，连接E′B，则E′B就是PE＋PB的最小值，再由勾股定理可求出E′B． 【变式5-3】．．如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是　 　． 【答案】 【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD， ∴∠AEM=90°， ∵菱形ABCD中∠ABC=120°， ∴∠ABD=60°，AB=AD，AC⊥BD，BM=DM， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAM=30°， ∴AM=2ME， ∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2(ME+DM)， ∵ME+MD≥DE， 根据垂线段最短，DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小， ∵△ABD是等边三角形， ∴DE的最小值为， ∴2DE=，即MA+MB+MD最小值为. 故答案为：. 【分析】过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD，由菱形的性质及有一角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的三线合一及含30°角直角三角形的性质得AM=2ME，由菱形的轴对称性推出MA+MB+MD=2(ME+DM)，根据两点之间线段最短及垂线段最短可得DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小，进而利用勾股定理算出DE的长，此题得解. 【题型6 添加条件使四边形是菱形】 【例6-1】．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（　　），使得▱ABCD是菱形． A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 【答案】B 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故答案为：B． 【分析】由菱形的判定定理逐一判断即可． 【变式6-1】．已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【答案】A 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定 【解析】【解答】解：∵，，， ∴四边形是等腰梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A错误； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故B正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形，故C正确； ∵，AD=BC， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形，故D正确. 故答案为：A． 【分析】（1）根据等腰梯形判定求解； （2）根据平行四边形的判定、矩形的判定求解； （3）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解； （4）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解． 【变式6-2】．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是　 　． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，平行四边形是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 【分析】根据菱形的判定定理即可求出答案. 【变式6-3】．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：A、根据“等角对等边”可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，故选项A不符合题意； B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为菱形，故选项B不符合题意； C、根据同旁内角互补，两直线平行，可得一组对比平行，但不能得到平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、根据平行四边形的对边平行，平行四边形的性质以及“等角对等边”可得平行四边形的两条邻边相等，据此可得到平行四边形为菱形，故选项D不符合题意； 故选C． 【分析】根据平行四边形形的性质结合菱形的判定方法对四个选项逐一进行判断即可． 【题型7 证明四边形是菱形】 【例7-1】．如图，四边形是平行四边形． （1）利用尺规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，请标明字母）； （2）在（1）的条件下，过点A作交于点O，交于点F，连接（无需尺规作图），求证：四边形为菱形． 【答案】（1）解：如下图， ∴线段即为所求， （2）证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】（1）作的角平分线 ①以为圆心，适当长为半径画弧，交于，于，②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，③作射线，交于即可； （2）由平行四边形的性质证明，可得，结合作图可得，得到，根据等腰三角形的性质求得，同理求得，根据平行四边形的判定定理可证四边形是平行四边形，根据菱形的判定定可证四边形为菱形． （1）解：如图，线段即为所求， （2）证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【变式7-1】．如图，在□ABCD中，平分交于点，平分交于点. 求证：（1）； （2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论. 【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边， ∴ ∵平分平分 ∴，， ∴， ∴ （2）四边形ABCD是菱形，理由如下： 由（1）得： ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形. ∵ ∴四边形是菱形. 【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得，再根据角平分线的性质证得∠ABE=∠CDF，于是可利用ASA证明三角形全等； （2）由全等三角形和平行四边形的性质证得，由此可判定四边形EBFD是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状． 【变式7-2】．如图矩形的对角线交于点O，过点B作，过点C作，与交于点P，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【知识点】菱形的判定；矩形的性质 【解析】【分析】由矩形的性质“矩形的对角线相等且互相平分”可得OB=OC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可求解. 【变式7-3】．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形 （2）解：∵四边形是菱形，∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ 【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定 【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得∠OAB=∠DCA，AB=CD，AD=BC，利用角平分线的概念可推出∠DCA=∠DAC，据此可证得CD=AD=AB=BC，利用四边相等的四边形是菱形，可证得结论. （2）利用菱形的性质可证得OA=OC，BD⊥AC，可求出OB的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得OE=OA；再利用勾股定理求出OA的长，可得到OE的长. 【题型8根据菱形性质判定求角度】 【例8-1】．在中，在的左边，，将关于作轴对称，得四边形是对角线上的动点，是直线上的动点，且． （1）四边形如图所示，四边形是　 　填“矩形”或“菱形”或“正方形”；　 　填“”或“”； （2）四边形如图所示，且，四边形是_▲_填“矩形”或“菱形”或“正方形”；中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． （3）四边形如图所示，若，，请直接写出的度数用含、的代数式表示 【答案】（1）菱形；= （2）解：同理可证，四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 成立，理由如下： 过点P作交于点M，交于点N，如图所示： ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：E在B右侧时，=；E在B左侧时，=；当E在上时，=或． 【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；轴对称的性质；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：（1）设、相交于点F， 根据轴对称的性质可知，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：菱形；； （3）由题意可知四边形是菱形， ∴， ∴， 当E在C右侧时，如图： ，， ， ， ， ∵， ， ， ． 当E在B左侧时，如图∶ ，， ， ， ， ∵， ， ， ， 当E在上时，第一种情况，如图∶ ，， ， ， ∵， ， ， ； 当E在上时，第二种情况，如图∶ ，， ， ， ∵， ， ， ． 【分析】（1）设、相交于点F，先根据轴对称的性质得到，，，进而根据菱形的判定与性质得到，从而根据平行线的性质得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意等量代换即可求解； （2）先根据（1）中同理可证，四边形是菱形， 进而根据正方形的判定即可填空；过点P作交于点M，交于点N，先根据平行线的性质得到，进而根据角平分线的定义得到，结合题意等量代换得到，再进行转换得到，从而即可得到∠DPE=90°，进而即可求解； （3）先根据菱形的性质结合三角形全等的判定证明，进而分类讨论：E在B右侧时，E在B左侧时，当E在上时，根据三角形全等的判定与性质结合题意进行角的运算即可求解。 【变式8-1】．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16． ①求∠BOA的度数； ②求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC．， ∴∠DAO＝∠BCO， 在△ADO和△CBO中， ， ∴△ADO≌△CBO（ASA）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）解：①∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，OB＝BD＝8， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形， ∴∠BOA＝90°； ②由①可知，AC垂直平分BD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2OA＝12， ∴S四边形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96． 【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】（1）根据已知条件及几何直观易判断多组全等，结合平行四边形的判定，即证已知一组对边AD∥BC的基础上再证AD=BC即可； （2）①结合（1）中平行四边形的性质及勾股数进而利用勾股定理逆定理得证直角； ②在对角线互相垂直的基础上得出菱形，进而利用菱形的性质求得其面积即可. 【变式8-2】．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，OB＝OD，且DB平分∠ADC，点E为AB边的中点，连结OE，连接CE交DB于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AOE＝28°，∠CEB＝38°，求∠CFB的度数． 【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， 在△ABO和△CDO中， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDO， ∴∠ABO＝∠ADB， ∴AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵点E为AB边的中点， ∴， ∴∠OAE＝∠AOE＝28°， ∴∠ABO＝90°－28°＝62°， ∴∠CFB＝∠CEB＋∠ABO＝38°＋62°＝100°， 即∠CFB的度数为100°． 【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABO＝∠CDO，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABO≌△CDO（ASA）得到AB＝CD，从而根据平行四边形的判定证明四边形ABCD是平行四边形，根据角平分线的定义得到∠ADB＝∠CDO，从而等量代换根据等腰三角形的性质得到AD＝AB，再根据菱形的判定即可求解； （2）由（1）可知，四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质得到AC⊥BD，从而结合题意根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质结合题意求出∠ABO的度数，从而根据已知条件即可求解. 【变式8-3】．如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、G分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）根据到线段两端点距离线段的点在线段的垂直平分线上可得BD=CD，根据三角形的中位线等于第三边的一半可推得AE=DE=DG=AG，根据四条边线段的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形的对边平行可得AB∥DG，根据题意可得∠BEC=∠CFD=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推得BD=DE=BE，根据三条边线段的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°可得∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余即可求解. 【题型9 根据菱形性质判定求线段长度】 【例9-1】．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 【答案】解：（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝FA， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF为菱形； （2）∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO， 在Rt△AOB中，AO＝＝4， ∴AE＝2AO＝8 【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠BAE＝∠AEB，由等角对等边及已知可推出BE=AF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABEF为平行四边形，继而再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得四边形ABEF为菱形； （2）由菱形性质可得AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，在Rt△AOB中，由勾股定理求出AO的长即可得答案． 【变式9-1】．如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作，与、分别相交于点M、N，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 【答案】（1）证明：矩形中，， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， 在△EFM和△CFM中 ∴（AAS）， ∴， ∵EM∥CN， ∴四边形为平行四边形， ∵于点F， ∴四边形为菱形； （2）解：由（1）知：四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， 答：的长为5． 【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【分析】（1）根据已知证明，证得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证； （2）由（1）知：四边形是菱形，则EM=CM，设，在Rt△BMC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【变式9-2】．如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ADB， ∴AB=AD， ∵AB=BC， ∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）得四边形ABCD是菱形， ∴BO=DO，CD=BC， ∵DE⊥BC， ∴∠BED=90°， ∵， ∴， ∵DE=4， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴CE的长为3． 【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质得∠ABD=∠DBC=∠ADB，从而由“等角对等边”得AB=AD=BC，进而证出四边形ABCD是平行四边形，最后根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形得证结论； （2）根据菱形的性质得BO=DO，CD=BC，然后利用直角三角形斜边上的中线性质得BD=2EO的值，从而由勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理得，即，解方程求出x的值即可求解. 【变式9-3】． 如图， 在四边形 中， ， 对角线 交于点 平分 . （1）求证： 四边形 是菱形； （2）若四边形 的面积为 ， 求 的长. 【答案】（1）证明：，平分， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 的长是 【知识点】菱形的判定与性质；线段垂直平分线的判定 【解析】【分析】（1）先根据垂直平分线的判定与性质结合等腰三角形的性质（三线合一）得到，再根据平行线的性质得到，从而等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，即，再根据菱形的判定即可求解； （2）先根据菱形的性质得到，，进而得到AC，再根据菱形的面积即可求解. 【题型10 根据菱形性质判定求面积】 【例10-1】．在中，，D是的中点，过点A作，且，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，D是的中点， ∴AD=BD=CD=BC， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）知：四边形是菱形， ∴， ∵D是的中点， ∴BD=CD， ∴， ∴． 答：菱形ADCE的面积为24. 【知识点】菱形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=BD=CD=BC，结合已知可得AE=DC，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形，再根据"有一组邻边相等的平行四边形是菱形"即可求解； （2）由菱形的性质得，再证，然后根据即可求解． 【变式10-1】．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积． 【答案】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC= AC，OB= BD， ∴OC=OD， ∴平行四边形OCED是菱形； （2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，∴BC=2， ∴AB=DC=2 ， 连接OE，交CD于点F， ∵四边形ABCD为菱形， ∴F为CD中点，∵O为BD中点， ∴OF= BC=1， ∴OE=2OF=2， ∴S菱形OCED= ×OE×CD= ×2×2 =2 ． 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；菱形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【分析】（1）由已知DE∥AC，CE∥BD，得到四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质对角线相等且互相平分，得到OC=OD，得到平行四边形OCED是菱形；（2）根据矩形的性质和勾股定理，求出BC、AB=DC的值，由菱形的性质，求出OE=2OF的值，得到菱形OCED的面积． 【变式10-2】．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF. （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB=16cm，BC=8cm，求四边形DEBF的面积. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，AD=BC，AB∥DC， ∴∠OBE=∠ODF， ∵BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O， ∴OB=OD， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴OE=OF， ∵OB=OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF垂直平分BD， ∴BE=DE， ∴四边形BEDF是菱形 （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=8cm，AE=AB-BE=16-BE， ∵BE=DE，在Rt△DAE中，DE2=AD2+AE2， 即BE2=82+（16-BE）2， 解得：BE=10（cm）， ∴四边形DEBF的面积=AD•BE=8×10=80（cm2） 【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积 【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AB∥DC，进而求出∠OBE=∠ODF，由EF是BD的垂直平分线可得 OB=OD， 利用ASA可判断 △BOE≌△DOF ，由全等三角形的对应边相等可得OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形BEDF是平行四边形， 再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证出结论.（2） 在Rt△DAE中 ，利用菱形的四边相等及勾股定理求出BE，再根据平行四边形的面积计算公式即可求出四边形DEBF的面积. 【变式10-3】．如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 四边形的周长， 四边形的面积． 【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】 （1）由矩形的性质得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠AFE=∠CEF，由折叠得∠AEF=∠CEF，CE=AE，得到∠AEF=∠AFE，由等角对等边得AE=AF，则AF=CE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）由矩形的性质得出BC=AD=10cm，∠B=90°，由折叠的性质可得CE=AE，设CE=AE=xcm，则BE=BC-CE=（10-x）cm， 在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程可求出CE的长，进而根据菱形的面积公式及周长公式计算即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.2.2菱形的性质判定十大题型 知识要点归纳 知识点1、菱形的定义及性质 1. 定义：有一组对边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 性质：（1）菱形的四条边都相等 （2） 菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。 点拨： 1. 由菱形的定义和平行四边形的对角相等可得菱形的四条边相等。 2. 菱形的对角线在位置上互相垂直，与所经过的对角平分一组对角。 方法点拨： 菱形中含多个等腰三角形，其性质的推理证明是借助等腰三角形的性质得到的。 知识点2、菱形的判定定理 1. 定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 判定定理1：四条边相等的平行四边形是菱形。 3. 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 点拨： 1. 用定义法判定菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明这个平行四边形有一组邻边相等。 2. 用边判定菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等，或者直接证明四边形四边相等。 用对角线证明菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形的对角线垂直，或者直接证明四边形的对角线垂直平分。 题型归纳 【题型1 利用菱形性质求角度】 【题型2 利用菱形性质求线段长度】 【题型3 利用菱形性质求面积】 【题型4 利用菱形性质进行证明】 【题型5 利用菱形性质求最值】 【题型6 添加条件使四边形是菱形】 【题型7 证明四边形是菱形】 【题型8根据菱形性质判定求角度】 【题型9 根据菱形性质判定求线段长度】 【题型10 根据菱形性质判定求面积】 典例精析专练 【题型1 利用菱形性质求角度】 【例1-1】．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 【变式1-1】．菱形中，如图，于，于，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，在菱形中，，是垂直平分线交对角线于点垂足为，连接，则等于(　　) A． B． C． D． 【变式1-3】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，线段AC上有一点E，连接BE、DE，若BE=CE，且∠BAD=40°，则∠BDE的度数为　 　°． 【题型2 利用菱形性质求线段长度】 【例2-1】．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，四边形是菱形，，于H，则等于（　　） A． B． C．5 D．4 【变式2-3】．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　） A． B． C．4 D． 【题型3 利用菱形性质求面积】 【例3-1】．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．18 【变式3-1】．菱形有一个内角是，边长为，则它的面积是　 　． 【变式3-2】．菱形周长为40 cm，它的一条对角线长12 cm，则菱形的面积为　 　cm2 【变式3-3】．如图，在菱形 中， 对角线 交于点 的延长线于点 交 的延长线于点 ． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若， 求菱形 F的面积． 【题型4 利用菱形性质进行证明】 【例4-1】．在菱形ABCD中，是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化. （1）如图1，当点在线段BD上，且点在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，小明通过连结AC后证明得到BP与CE的数量关系是　 　； （2）如图2，当点在线段BD上，且点在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在BD的延长线上时，其他条件不变，连结BE，若，，求PB的长. 【变式4-1】．在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动： （1）【探究发现】 如图，点是正方形中边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到，连接，请问是否为等腰直角三角形？并说明理由； （2）【联想拓展】 如图，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接． 求证：． （3）【迁移应用】 如图，若点是菱形外部的一点，，，请求出，，之间的数量关系． 【变式4-2】．如图，四边形为平行四边形，以为边，在平行四边形外侧作菱形，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当时，求的长． 【变式4-3】．在菱形ABCD中，，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化. 图1 图2 图3 （1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　 　，AD与CB的位置关系是　 　； （2）如图2，当点P在段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE.若，，请直接写出的面积. 【题型5 利用菱形性质求最值】 【例5-1】．．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为　 　． 【变式5-1】．．如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC=S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为　 　. 【变式5-2】．．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　 　． 【变式5-3】．．如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是　 　． 【题型6 添加条件使四边形是菱形】 【例6-1】．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（　　），使得▱ABCD是菱形． A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD 【变式6-1】．已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【变式6-2】．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是　 　． 【变式6-3】．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【题型7 证明四边形是菱形】 【例7-1】．如图，四边形是平行四边形． （1）利用尺规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，请标明字母）； （2）在（1）的条件下，过点A作交于点O，交于点F，连接（无需尺规作图），求证：四边形为菱形． 【变式7-1】．如图，在□ABCD中，平分交于点，平分交于点. 求证：（1）； （2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论. 【变式7-2】．如图矩形的对角线交于点O，过点B作，过点C作，与交于点P，求证：四边形是菱形． 【变式7-3】．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 【题型8根据菱形性质判定求角度】 【例8-1】．在中，在的左边，，将关于作轴对称，得四边形是对角线上的动点，是直线上的动点，且． （1）四边形如图所示，四边形是　 　填“矩形”或“菱形”或“正方形”；　 　填“”或“”； （2）四边形如图所示，且，四边形是_▲_填“矩形”或“菱形”或“正方形”；中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． （3）四边形如图所示，若，，请直接写出的度数用含、的代数式表示 【变式8-1】．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16． ①求∠BOA的度数； ②求四边形ABCD的面积． 【变式8-2】．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，OB＝OD，且DB平分∠ADC，点E为AB边的中点，连结OE，连接CE交DB于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AOE＝28°，∠CEB＝38°，求∠CFB的度数． 【变式8-3】．如图，中，，垂足为D，点E、F、G分别是中点，直线交点G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【题型9 根据菱形性质判定求线段长度】 【例9-1】．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 【变式9-1】．如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作，与、分别相交于点M、N，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 【变式9-2】．如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长． 【变式9-3】． 如图， 在四边形 中， ， 对角线 交于点 平分 . （1）求证： 四边形 是菱形； （2）若四边形 的面积为 ， 求 的长. 【题型10 根据菱形性质判定求面积】 【例10-1】．在中，，D是的中点，过点A作，且，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【变式10-1】．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积． 【变式10-2】．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF. （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB=16cm，BC=8cm，求四边形DEBF的面积. 【变式10-3】．如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$