精品解析：福建省安溪第八中学2024-2025学年高一下学期第一次质量检测数学试卷

安溪八中2024-2025学年 高一年下学期第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由弧长公式即可求解； 【详解】因为时针每转一周， 故经过，时针的针尖转过的弧度数为， 走过的路程约为． 故选：C 2. 已知点是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可求解. 【详解】根据三角函数的定义，可得. 故选：A. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数定义得到正弦和余弦值，利用诱导公式化简，代入求值. 【详解】角的终边经过点，故，， 所以. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两角和、差的余弦公式展开后消去即得 【详解】因为， 所以. 故选：D. 5. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系的向量表示可得，即可得出结果. 【详解】由可得， 由于，可得， 解得， 由于，因此． 故选：D 7. 在中，，分别是边，的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，由平面向量的加法法则求解即可； 【详解】 ， 故选：D. 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和与差正弦和余弦公式结合化简，再由基本不等式即可得出答案. 【详解】 ， 当且仅当时取等. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【详解】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件可得，即可判断出选项A的正误，对于B，直接求出的对称中心，即可求解；对于C，根据条件，求得，利用图象与性质，即可求解；对于，利用三角函数图象的平移变换，直接求出结果，即可求解. 【详解】因为， 又的最小正周期为，所以，得到，所以选项A正确， 对于选项B，因为，由，得到， 所以的对称中心为，当时，对称中心为，所以选项B正确， 对于选项C，当时，，且 所以由图象与性质知，在上不单调，故选项C错误， 对于选项D，将的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，所以选项D正确， 故选：ABD. 11. 正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断. 【详解】在正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且． 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 若，则，不合题意，D错误． 故选：AC 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且为第二象限角，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系与二倍角公式即可求得结果 【详解】，且为第二象限角，, 又， 故答案为： 13. 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式． 【详解】由图象可知：，，所以. 由，且，可得 所以. 故答案为： 14. 如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）．若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的性质得到，，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可. 【详解】因为点C为的中点，，所以，， 所以 ． 因为点M为线段AB上的一动点（含端点），所以， 所以，所以的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 【答案】（1）（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）将原式化齐次式，代入计算，即可得到结果； （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限， ， . （2）由， 所以. （3）因，且， 解得或（舍去）， 则. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方关系先求出，再由两角差的正弦公式求解； （2）根据二倍角公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 所以. 【小问2详解】 . 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式； （2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间. 【小问1详解】 由图形可知，，得 过点，，即， ， 函数的解析式 【小问2详解】 将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍， 得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度， 得到的图象， 即， 由，得 所以的对称中心为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 18. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． （1）求； （2）设，是否存在实数t，使得是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合数量积求模长即可； （2）根据题意可得，结合数量积列式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 因为， 所以． 【小问2详解】 因为，． 若是以AB为斜边的直角三角形，则， 即， 可得， 即，化简得，解得， 所以存在满足条件． 19. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可. （2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得. （3）探讨函数在上的性质，借助直线与函数的图象交点问题求解. 【小问1详解】 函数， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问3详解】 当时，，由，得， 则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程在有两个根， 所以的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安溪八中2024-2025学年 高一年下学期第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 8 B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，则（ ） A B. C. D. 7. 在中，，分别是边，的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 将图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 11. 正五角星与黄金分割有着密切联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且为第二象限角，则________. 13. 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为______． 14. 如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）．若，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，在第二象限，求，值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 16 已知. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 18. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． （1）求； （2）设，是否存在实数t，使得是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$