中考计算专题 扇形面积的计算 计算天天练 2025年中考数学一轮复习（江苏适用）

第八章 圆 第八章 圆中相关计算 知识点 2 扇形面积的计算（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 2．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积． 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC． （1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，求阴影部分的面积． 第八章 圆 扇形面积的计算（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，在△ABC中，∠C = 90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D． （1）若∠B = 24°，求的度数； （2）若D是AB的中点，AB = 3，求阴影部分的面积； （3）若AD·AB= 12，求AC的值． 2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连结AM． （1）求证：AM是⊙O的切线； （2）若DN=4，AC=8，求线段MN的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 3．如图，为的直径，弦于E，，交的延长线于F，． （1）求证：为的切线； （2）若，求、、弧围成的阴影部分的面积． 第八章 圆 扇形面积的计算（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F． （1）求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求阴影部分的面积．（结果保留π）． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝2cm，将△ABC绕顶点C按顺时针旋转45°至△A1B1C的位置， （1）求证：△ACB≌△A1CB1； （2）求线段AB扫过的区域（图中阴影部分）的面积． 3．如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处． （1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）； （2）若AB＝8cm，求阴影部分面积． 扇形面积的计算（一）参考答案 1.解：（1）过点B作BF⊥CD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵CB=CD， ∴∠CBD=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°， ∴△ABD≌△FBD（AAS）， ∴BF=BA，则点F在圆B上， ∴CD与圆B相切； （2）∵∠BCD=60°，CB=CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CBD=60° ∵BF⊥CD， ∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°， ∴∠ABF=60°， ∵AB=BF=， ∴AD=DF==2， ∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE = =． 2.解：（1）CB与⊙O相切， 理由：连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵CP＝CB， ∴∠CPB＝∠CBP， ∵∠CPB＝∠APO， ∴∠CBP＝∠APO， 在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°， ∴∠OBA+∠CBP＝90°， 即：∠OBC＝90°， ∴OB⊥CB， 又∵OB是半径， ∴CB与⊙O相切； （2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°， ∴∠APO＝60°， ∴∠BPD＝∠APO＝60°， ∵PC＝CB， ∴△PBC是等边三角形， ∴∠PCB＝∠CBP＝60°， ∴∠OBP＝∠POB＝30°， ∴OP＝PB＝PC＝1， ∴BC＝1， ∴OB， ∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD1． 3.解:（1）证明：连接OA、AD，如图， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DAC＝90°， 又∵∠ADC＝∠B＝60°， ∴∠ACE＝30°， 又∵AE＝AC，OA＝OD， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°， ∴∠EAD＝30°， ∴∠EAD+∠DAO＝90°， ∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE， ∴AE为⊙O的切线； （2）解：由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°， ∴OA＝2，AE＝6， ∴阴影部分的面积为6×262π． 故阴影部分的面积为62π． 扇形面积的计算（二）参考答案 1.解：（1）连接CD，如图， ∵∠ACB＝90°，∠B＝24°， ∴∠BAC＝90°﹣24°＝66°， ∵CA＝CD， ∴∠CDA＝∠CAD＝66°， ∴∠ACD＝180°﹣66°﹣66°＝48°， ∴的度数为48°； （2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝AB＝， ∵CD＝CA， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， 过点C作CH⊥AD于H， ∴∠ACH=∠DCH=30°，∠CHA=90°， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD ＝； （3）过点C作CH⊥AD于H， ∴AH＝DH＝AD， ∵∠ACB＝90°，CH⊥AB， ∴∠ACB＝∠AHC， 又∠A＝∠A， ∴ ∴ ∴AC2＝AH•AB， 即AC2＝AD•AB＝6， ∴． 2.解：（1）证明：连接OC，如图， ∵CM为切线， ∴OC⊥CM， ∴∠OCM＝90°， ∵OD⊥AC， ∴AD＝CD， 即OE垂直平分AC， ∴AM＝CM， 在△AOM和△COM中 ， ∴△AOM≌△COM（SSS）， ∴∠OAM＝∠OCM＝90°， ∴AM⊥AO， ∴AM与⊙O相切； （2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝ON−DN＝x−4，OA＝x， 在Rt△OAD中，AD＝AC＝4， ∵AD2＋OD2＝OA2， ∴(4)2＋(x−4)2＝x2，解得x＝8， ∴OD＝4，OA＝8， ∴∠OAD＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴OM＝2OA＝16， ∴MN＝OM−ON＝16−8＝8． （3）∵∠AOM＝60°，∠OAM＝90°， ∴∠AMO=30° ∴在Rt△AOM中，AM＝， ∴S阴影＝S四边形AOCM−S扇形OAC ＝2××8×8−=． 3.解：（1）如图，连接OC， ∵， ∴∠A=30°， ∵∠BOC和∠A分别为所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOC=2∠A=60°， ∵∠A和∠CDF是所对的圆周角， ∴∠CDF=∠A=30°， ∵， ∴∠ABD=60°， ∴OC//DF， ∵， ∴∠OCF=∠CFD=90°， ∵OC为半径， ∴为的切线． （2）如图，连接BC， ∵∠BOC=60°，OE=2， ∴OC==4， ∵OC=OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OC=4，∠OCB=60°， ∵∠OCF=90°， ∴∠BCF=30°， ∴BF=BC·sin30°=2，CF=BC·cos30°=， ∵OC//DF， ∴四边形COBF是直角梯形， ∴S梯形COBF=， ∴S阴影=S梯形COBF-S扇形COB=-=． 扇形面积的计算（三）参考答案 1.解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心， ∴PD⊥AB， ∵∠A＝30°， ∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD， ∵PF⊥AC， ∴∠OPF＝30°， ∴OF＝OP， ∵OA＝OC，AD＝BD， ∴BC＝2OD， ∴OA＝BC＝2， ∴⊙O的半径为2， ∴劣弧PC的长＝＝＝π； （2）∵OF＝OP， ∴OF＝1， ∴PF＝＝， ∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣． 2.解：（1）由△ABC绕顶点C按顺时针旋转45°得△A1B1C知BC＝B1C、∠BCB1＝∠ACA1、AC＝A1C， ∴∠BCB1+∠B1CA＝∠ACA1+∠B1CA，即∠BCA＝∠B1CA1， 在△ACB和△A1CB1中， ∵， ∴△ACB≌△A1CB1（SAS）； （2）解：在Rt△ABC中，BC＝＝2， 扇形BCB1的面积是＝＝5π， S△CB1A1＝×6×2＝6； S扇形CAA1＝＝． 故S阴影部分＝S扇形BCB1+S△CB1A1﹣S△ABC﹣S扇形CAA1＝5π+6﹣6﹣π＝π． 3.解：连接OE，OF （1）∵CD切半圆O于点E ∴OE⊥CD， ∵BD为等腰直角△BCD的斜边， ∴BC⊥CD，∠CDB＝∠CBD＝45°， ∴OE∥BC， ∴∠ABC＝∠AOE＝60°， ∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°， ∴量角器在点G处的读数α＝弧AG的度数＝2∠ABG＝30°， （2）∵OF＝OB＝AB＝4cm，∠ABC＝60°， ∴△OBF为正三角形，∠BOF＝60°， ∴S扇形OBF＝×42•π＝π（cm2）， S△OBF＝×42＝（cm2）， ∴S阴影＝S扇形OBF﹣S△OBF＝（π﹣）cm2 ∴阴影部分的面积为（π﹣）cm2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$