中考计算专题 弧长的计算 计算天天练 2025年中考数学一轮复习（江苏适用）

第八章 圆 第八章 圆中相关计算 知识点 1 弧长的计算（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．已知扇形的半径为3，扇形的弧长π，则此扇形的圆心角的度数为_________． 2．已知弧的长度为2π，弧的半径为6，则弧的度数为_________． 3．如图，若长为周长的，则_________． 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为 cm． 5．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是_________． 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F． （1）求证：直线DF是⊙O的切线； （2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长． 第八章 圆 弧长的计算（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，在扇形OAB中，已知，，过弧AB的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分图形的周长为_________． 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ） 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O半径为5，则的长度是______． 4．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，点M为上的一点，过M作于N，交AB于C，若MC＝CN＝，则此扇形的半径为___． 5．如图，内接于，D是上一点，，． （1）求证：； （2）若的半径为3，求的长． 6．已知：如图，D是外接圆上一点，且满足，连接． （1）求证：是的外角的平分线． （2）若，求劣弧的长度． 第八章 圆 弧长的计算（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出图形并直接写出顶点的坐标_______； （2）将绕着点按逆时针方向旋转得到，请画出； （3）在第（2）题中，请求出点转到位置时所经过的路径长_______． 2．如图1，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，C，D为⊙O上两点，连结OP，CD，PD＝PC．已知AB＝8． （1）若OP＝5，PD＝3，求证：PD是⊙O的切线； （2）若PD、PC是⊙O的切线； ①求证：OP⊥CD； ②连结AD，BC，如图2，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，求弧CD的长． 3．如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，点B坐标为（，），OC＝2，动点P从点C向点B运动，连接OP，将△COP沿OP翻折，C的对应点为Q． （1）求∠COD的度数； （2）当点P从点C运动到点B的过程中，画出点Q运动的路径，并求该路径的长； （3）当点P从点C运动到点B的过程中，点Q落在一次函数y＝kx＋4的图象上的次数有且只有1次，求k的取值范围． 弧长的计算（一）参考答案 1.解：设扇形圆心角度数为n°，根据 解得：n=60， 故此扇形的圆心角的度数为60°． 2.解：∵弧的长度为2π，弧的半径为6 ∴2π= 解得n=60° 故答案为：60°． 3.解：设∠AOB=x，圆的半径为r， ∴，圆的周长， ∵弧AB的长是圆周长的， ∴， ∴， 故答案为：. 4.解：∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°， ∴AD＝AB﹣BD＝18cm， ∴的长为：＝15π（cm）， 5.解：如图， 点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝， 6.（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形． （2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长； 所以 7.证明：如图，连结OD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠ACB， ∴∠B＝∠ODC， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB， ∴∠ODF＝∠BFD＝90°， ∵OD为半径， ∴直线DF是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB， ∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°， ∴劣弧DE的长为． 弧长的计算（二）参考答案 1.解：连接OC，如图所示： ， ， 四边形CDOE是矩形， 点C是的中点， ， ， ， ， 矩形CDOE是正方形， ， ， ， ， ， 图中阴影部分图形的周长为： ． 2.解：连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E， 由垂径定理可知于点D， 又 CA、CD所对的圆周角为、，且 ，△CAD为等腰三角形 又四边形ODFE为矩形且OD=DF= 四边形ODFE为正方形 故△CFB为等腰三角形， 所对的圆心角为 3.解：连接OB、OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠A：∠C=2：3， ∴∠A+∠A=180°， ∴∠A=72°， 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=144°， ∴的长：=4π， 4.解：， ， 且， ， ， ， 连接，设半径为，则， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 5.解：（1）证明：∵，， ∴． ∴．∴． （2）解：连接、． ∵， ∴． ∵的半径为3， ∴的长． 6.解：（1）证明：∵DB=DC， ∴∠DBC=∠DCB， ∵∠DAE是圆内接四边形ABCD的外角， ∴∠DAE=∠DCB， ∴∠DAE=∠DBC， ∵∠DBC=∠DAC， ∴∠DAE=∠DAC， ∴AD是△ABC的外角∠EAC的平分线； （2）连接OB，OC，OD， 由圆周角定理得，∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°， ∴△COB为等边三角形， ∴OC=BC=4， ∵DC=DB，∠CDB=30°， ∴∠DCB=75°， ∴∠DCO=15°， ∴∠COD=150°， 则劣弧的长=． 弧长的计算（三）参考答案 1.（1）如图，为所作， 点的坐标为； （2）如图所示，为所求； （3）由勾股定理可知：， 由弧长公式可知：点所经过的路径长 2.（1）证明：∵直径AB＝8， ∴OD＝4， ∵OP＝5，PD＝3， ∴OP2＝PD2+OD2， ∴∠ODP＝90°， ∴OD⊥DP， ∴PD是⊙O的切线． （2）①证明：如图1中，连接OC． ∵PD，PC是⊙O的切线， ∴PD＝PC， ∵OD＝OC， ∴OP垂直平分线段CD， ∴OP⊥CD． ②解：如图2中，连接OD，OC． ∵OA＝OD，OB＝OC， ∴∠A＝∠ODA＝50°，∠B＝∠OCB＝70°， ∴∠AOD＝180°﹣100°＝80°，∠BOC＝180°﹣140°＝40°， ∴∠DOC＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴弧CD的长＝ ＝ ． 3.解：（1）∵点B坐标为（，），OC＝2， ∴OD＝， ∴ 在Rt△OCD中，CD＝OC， ∴∠COD＝30°； （2）沿OP翻折过程中，OC的边长不变，当P点运动到B点时Q运动到终点记做E点， 即Q的运动路径在以O为圆心半径为2的一段弧上，设此弧交BC于P，画路径图如下： ∵B（，）， ∴OD＝BD＝， ∴∠DOB＝45°， 由（1）知∠COD＝30°， ∴∠COB＝30°+45°＝75°， 由翻折知，∠BOE＝∠COB＝75°， ∴∠COE＝75°+75°＝150°， ∴的长= ∴该路径的长为π； （3）如下图， ∵一次函数y＝kx+4的图象过（0，4）， ∴取E（0，4），过点E作⊙O在段的切线EQ'， ∵OE＝4，OQ'＝2， ∴sin∠OEQ'＝ ∴∠OEQ'＝30°， ∵∠EOQ'+∠OEQ'＝90°，∠EOQ'+∠Q'OA＝90°， ∴∠Q'OA＝∠OEQ'＝30°， ∴Q'（，1）， 由（2）知，∠AOQ＝30°， ∴Q（，﹣1）， ∴当Q在y＝kx+4上时，﹣1＝k+4， 解得k＝﹣； 当Q'在y＝kx+4上时，1＝k+4， 解得k＝﹣； 当C在y＝kx+4上时，＝﹣k+4， 解得k＝4﹣； ∵点Q落在一次函数y＝kx+4的图象上的次数有且只有1次， ∴k≥4﹣或k≤﹣或k＝﹣． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$