2025年苏科版九年级数学中考专题复习专题十二讲义：几何探究

编号： 12 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 专题十二：几何探究题 教学内容 【题型分类】 考向一 动点问题 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴和y轴分别相交于A，B两点.动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动.点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒. （1）当秒时，点Q的坐标是 ; （2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式; （3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值. 2.如图① ，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm,BC＝6cm.某一时刻,动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动;同时点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为 t s. （1）若△AMN是等腰直角三角形，则t＝ （直接写出结果）; （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由; （3）如图② ，连接CN，CM，试求CN+2CM的最小值. 3.如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为（8，0），（0，6），四边形OABC是以OA，OC为边的矩形，点P从点C出发，沿折线CO-OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PQ⊥CP，交AB于点Q，交AC于点E，设点P的运动时间为t秒（0＜l＜14）. （1）求点P到点B距离的最大值; （2）当点P在CO上时，若S△CPE，求S△EQA的值; （3）如图② ，当点P在OA上，且∠OCP＝45°时,求tan∠PCE的值. 4.如图，在菱形ABCD中，AB＝4， ∠BAD＝60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D匀速运动,过点P作PQ⊥AB于点Q,作PM⊥AD交直线AB于点M,交直线BC于点F,设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）. （1）当点M与点B重合时，求t的值; （2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等; （3）求S与t的函数关系式; （4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长. 考向二 旋转问题 1.已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周. （1）如图① ，连接BG，CF，求的值; （2）当正方形AEFG旋转至图② 位置时，连接CF,BE,分别取CF,BE的中点M,N,连接MN，试探究:MN与BE的关系，并说明理由; （3）连接BE，BF，分别取BE，BF的中点N，Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积. 图① 2.在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°,AB＝5,BC＝3,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′. （1）如图① ，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长; （2）如图② ，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′交A′B于点M，求BM的长; （3）如图③ ，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE.在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值;若不存在，请说明理由. 3.在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠ACB ＝∠ADE＝90°,∠BAC＝∠DAE＝30°,BC＝ 2DE＝4,连接BD,CE,点M,N分别是CE,BD的中点，连接MN，保持△ABC固定不动，将△ADE绕点A顺时针旋转一周. （1）如图① ，当点D在AC上时，求MN的长; （2）如图② ，当点D在CA的延长线上时，连接AM,AN,求△AMN的面积; （3）△ADE在旋转过程中，当点D，E，C三点共线时，求以点C，M，N，B为顶点的四边形面积. 4.如图① ，在钝角△ABC中， ∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）. （1）如图② ，当0＜α＜180时，连接AD，CE.求证:△BDA∽△BEC; （2）如图③ ，直线CE，AD交于点G.在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由;如不变，请求出这个角的度数; （3）将△BDE从图① 位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程. 考向三 折叠问题 1.在矩形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC上的动点,且DE＝BF,连接EF.将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点G处，点B落在点H处. （1）如图① ，当线段EG与线段BC交于点P时，求证:PE＝PF; （2）如图② ，当线段EG的延长线与线段BC的延长线交于点P时，GH与线段CD交于点M， ① 求证:△PCM≌△PGM; ② 点E，F在运动过程中，点M是否在线段EF的垂直平分线上？如果在，请证明;如果不在，请说明理由. 2.如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，点B，C的对应点分别为点B′,C′. （1）当B′C′恰好经过点D时（如图① ），求线段CE的长; （2）若B′C′分别交AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°（如图② ），求△DFG的面积; （3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长. 3.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠“为主题开展数学活动. （1）操作判断 操作一:对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重 合，得到折痕EF，把纸片展平; 操作二:在AD上选一点P，沿BP折叠，使点 A落在矩形内部点M处，把纸片展平,连接PM,BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图① 中一个30°的角:_____; （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下: 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ. ① 如图② ，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °， ∠CBQ＝_____°; ② 改变点P在AD上的位置（点P不与点A， D重合），如图③ ，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由; （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长. 4.[初步尝试] （1）如图① ，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝ 90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为_____; [思考梳理] （2）如图② ，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝ 6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值; [拓展延伸] （3）如图③ ，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC ＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为 CM. ① 求线段AC的长; ② 若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$