2025年苏科版数学九年级中考专题复习专题十讲义：函数的性质探究题

编号： 10 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 专题十：函数的性质探究题 教学内容 【题型分类】 类型一 新函数性质探究题 1.函数是刻画事物运动变化过程和发展规律的重要模型，应用非常广泛.用图象的方法研究函数，形象直观.在现实生活中，我们常用函数图象的方法研究函数，小华根据相关数据和学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，过程如下. 列表: 描点:在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示. （1）该函数的自变量x的取值范围是_____; （2）根据函数解析式，表格中的m＝_____，n＝_____; （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象. 2.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整. （1）列表: 其中a＝_____，b＝_____; （2）描点:在如图所示的平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，并画出该分段函数的图象; （3）结合图象与表格，写出两条该函数的性质; （4）若直线y＝-x+m与函数图象有且只有一个交点，则m的取值范围为________. 3.在初中阶段的函数学习中，我们学习了列表、描点、连线画函数图象;并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数|的图象和性质的部分过程，请补充完整. （1）对于函数y＝||，当-3＜x＜0时，y随x的增大而_____;当x＜-3或x＞0时，y随x的增大而______; （2）自变量x的取值范围是不等于-3的全体实数，x与y的几组对应值列表如下: 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象; （3）若方程|＝a有2个实数根，请结合图象直接写出a的取值范围. 4.我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数x（x-3）2性质的部分过程，请将下列探究过程补充完整. （1）列表: 其中m＝______，n＝_____; （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出剩余的两个点，并用光滑的曲线画出该函数图象; （3）该函数图象是否为是轴对称或中心对称图形？若是轴对称图形，请写出对称轴;若是中心对称图象，请写出对称中心; （4）请结合函数的图象，当0≤x≤3时，求y的最大值; （5）请结合函数的图象，求方程x（x-3）2＝ 的解. 类型二 分析实际问题探究函数性质 1.提出问题: 如图① ，小红用一张边长为6dm的正三角形硬纸板设计一个无盖的正三棱柱糖果盒，从三个角处分别剪去一个形状大小相同的四边形，其一边长记为xdm，再折成如图② 所示的底面边长为a的无盖糖果盒，它的容积记为ydm3.小红根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 分析问题: 如图③ ，连接OB，由题意可知∠AOB＝30°，AB⊥AO.∵AO＝xdm，∴，底面边长a＝ （6-2x）dm.∴底面积为（6-2x）2×22（3-x）2（3-x）2dm2，则y与x之间的函数关系式为:·（3-x）2＝x（3-x）2（0＜x＜3），问题就转化为研究该函数了. 解决问题: 借鉴我们已有的研究函数的经验，利用图象法，探索函数y＝x3-x）2（0＜x＜3）. （1）实践操作:补充表格中的数据，并用描点法画出函数y＝x（3-x）2（0＜x＜3）的图象; x 0.5 1 1.5 2 2.5 y 3.125 3.375 0.625 （2）观察猜想:观察该函数的图象，猜想当x＝时，函数y＝x（3-x）2（0＜x＜3）有最值（填“大”或“小”），其值为_____; 思考:上面学习过程是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是_____; A.演绎 B.数形结合 C.抽象 D.公理化 （3）解决问题:若该糖果盒的容积超过2dm3，估计糖果盒的底边长a的取值范围.（保留一位小数） 2.以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4. 度量操作 （I）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，在探究三边关系时，通过画图、度量和计算，收集到一组数据如下表:（单位:厘米） AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析: ① 设BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图① 所示的坐标系中描出对应的点; ② 连线; 观察思考 （Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想：当x＝_____时，y最大; （Ⅳ）进一步猜想:若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝ 时， AC+BC最大; 推理证明 （V）对（Ⅳ）中的猜想进行证明. 问题1.在图① 中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线; 问题2.补全观察思考中的两个猜想:（Ⅲ）_____;（Ⅳ）_____; 问题3.证明上述（Ⅳ）中的猜想; 问题4.图② 中折线B-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米.∠E＝∠F＝∠G＝90°.平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°.线段FM，FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值. 类型三 分析几何问题探究函数性质 1.如图① ，在△ABC中，AC＝BC， ∠ACB＝90°，AB＝4cm.点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动.过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E.设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）. （1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据: 变量a (cm) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 变量h (cm) 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0 在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图② ;以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图③ . 根据探究的结果，解答下列问题: ① 当a＝1.5时，h＝ ;当h＝1时，a＝ ; ② 将图② ，图③ 中描出的点顺次连接起来; ③ 下列说法正确的是______;（填“A”或“B”） A.变量h是以a为自变量的函数 B.变量a是以h为自变量的函数 （2）如图④ ，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为 S. ① 分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，S关于a的函数表达式; ② 当时，求a的值. 2.如图① ，在等腰Rt△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E,D是AB边上一动点,连接CD交AE于点P,连接BP.已知AB＝ 6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm. 小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整: （1）列表:按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值: x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 2.49 2.64 2.88 3.25 3.80 4.65 6.00 y2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.51 0.00 请你通过计算补全表格（保留两位小数）; （2）描点、连线:如图② ，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象; （3）解决问题: ① 当AP＝2BD时,AP的长度约为_____cm; ② 当BP平分∠ABC时,BD的长度为 cm. 3.小明在学习中遇到这样一个问题:如图① ,在矩形ABCD中,AB＝6cm,BC＝ 8cm,AE＝3CE,P是BC边上一动点,射线PE交矩形ABCD的边于点F.探究线段PB,PE, EF长度之间的关系.小明分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题. （1）根据点P在BC边上的不同位置，画出相应的图形，测量线段PB，PE，EF的长度，得到 下表的几组对应值，请补全表格: 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 PB/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 PE/cm 6.18 5.22 4.27 3.35 EF/cm 2.06 2.09 2.14 2.24 位置6 位置7 位置8 位置9 PB/cm 5.0 6.0 7.0 8.0 PE/cm 1.80 1.50 1.80 2.5 EF/cm 3.61 4.50 5.41 7.5 （2）将线段PB的长度作为自变量x，PE和EF的长度都是x的函数，分别记为yPE和yEF，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yPE的图象（如图② 所示），请在同一坐标系中画出函数yEF的图象; （3）当线段BP的取值范围为 时，EF ＝3PE. 类型四 结合变换探究函数性质 1.定义:点P（a，b）关于原点的对称点为P′，以PP′为边作等边△PP′C，则称点C为P的“等边对称点“; （1）若P（1，），求点P的“等边对称点”的坐标; （2）若P点是双曲线（x＞0）上一动点，当点P的“等边对称点”点C在第四象限时. ① 如图① ，请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式; 如果不是，请说明理由; ② 如图② ，已知点A（1，2），B（2，1），点G是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A，G，F，C 这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C的纵坐标ya的取值范围. 2.二次函数y＝a（x-h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝ a（x-h）2+k（a≠0）的m阶变换. （1）二次函数y＝2（x+3）2-2的顶点关于原点的对称点为______，这个抛物线的2阶变换的解析式为_____; （2）若二次函数M的5阶变换的关系式为y5＝（x+1）2+4. ① 二次函数M的解析式为_____; ② 若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作PH⊥AB于点H，请求出PH最小时，点P的坐标. 3.学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形. 试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题. [初步感知] 如图① ，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（-1，1）. （1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 ; （2）若点P′的运动轨迹经过点P2（2，1），求原一次函数的表达式; [深入感悟] 如图② ，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积; [灵活运用] 如图③ ，设A（1，），α＝60°，点P是二次函数x2图象上的动点.已知点B（2，0）， C（3.0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值;若没有，请说明理由. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$