精品解析：四川省绵阳市绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）3月考试题 数 学 命题：刘燕 何彬兰 审题：高二数学组 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等比数列中，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】因为是等比数列，所以的偶数项也是等比数列，由此可以利用等比中项性质求出结果. 【详解】因为是等比数列， ∴成等比数列， ∴，且， ∴. 故选：A 2. 设是等比数列，成等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由等差中项列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列， 所以，即， 所以，解得， 所以. 故选：A 3. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据速度的变化快慢得答案. 【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合. 故选：C. 4. 数列前项和，则该数列的第4项为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】， 该数列的第4项. 故选：B. 5. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 6. 设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. 7. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和判断的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，单调递减， 此时，； 当时，，单调递减， 此时，， 所以取到最小值时的值是. 故选：B. 8. 南宋数学家杨辉所著《九章算法•商功》中，有如下图形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个，第三层有6个，设各层球数构成一个数列，且满足，则（ ） A. B. 65 C. 67 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得递推关系式，再利用累加法求出数列的通项公式，即可求解. 【详解】最上层有1个球，第二层有3个，第三层有6个， ，， 当时， ，也适合该式， ， . 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列通项公式中，数列是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可. 【详解】时，比较与的大小， 对于A，， 所以数列是递增数列，A正确； 对于B，， 所以数列是递减数列，B错误； 对于C，， 所以数列递减数列，C错误； 对于D，， 所以数列是递增数列，D正确. 故选：AD 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若是等差数列，，若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求. 【详解】对于A，因为等比数列， 所以成等比数列， 所以，即， 解得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以是等差数列， 由得， 所以 ，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D， 因为， 所以， 所以，又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 在等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大自然数等于197 【答案】AB 【解析】 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据，可得选项C错误；根据，，可得选项D错误. 【详解】因为等比数列中，，所以与同号，所以； 又与一个大于1，一个小于1，再有，所以，. 所以数列是各项均为正数的递减的等比数列，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为， ，所以使成立的最大自然数等于198.故错误. 故选：AB 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分. 12. 若数列满足，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用累乘法求得数列通项公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 显然，满足上式，故. 故答案为：. 13. 有两个等差数列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数有________项． 【答案】16 【解析】 【分析】由已知可得新数列是等差数列，得出通项公式即可求解. 【详解】等差数列2，6，10，，190的首项为，公差为， 等差数列2，8，14，，200的首项为，公差为， 这两个等差数列的公共项为2，14，26，也是等差数列，设为， 因为首项为，公差为和的最小公倍数为，所以， 所以，所以， 因为，所以新数列的项数有项. 故答案为：. 14. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，，将原式重新结合，即可得答案. 【详解】因为， 所以，且， 所以， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到数列为递增数列，且，得到或时，取得最小值，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 由，，可得，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得数列为递增数列，且， 所以当时，；当时，；当时，， 所以，当或时，取得最小值，即， 所以，故的最小值为. 16. 高校学校会给家庭贫困学生提供勤工俭学，有三种付酬方案：第一种，第一天付元，以后每一天是前一天的倍；第二种，第一天付元，以后每一天比前一天都多付元；第三种，每天支付元． （1）设工作天，三种付酬方式的前天的收入和分别记为、、，请求出、、； （2）因为学习需要，小王同学准备为自己添置一台元笔记本电脑，他打算用勤工俭学的方式来挣得这笔资金，他该选择哪一种领取报酬方式更划算?为什么? 【答案】（1），， （2）选择第一种，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合题意设出每个方案对应的数列，再利用公式法求和即可. （2）结合题意建立不等式，再对比较大小，得到最佳方案即可. 【小问1详解】 设第一种付酬方式第天支付金额为， 第二种付酬方式第天支付金额为，第三种付酬方式第天支付金额为， 则，，， 而为数列的前项和，， 为数列前项和，， 为数列的前项和，. 【小问2详解】 由（1）可得，即，解得； 而，即，解得； 而，即，解得. 因为，所以选择第一种付酬方式可以更快获得元，故选择第一种. 17. 已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”） （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）选择见详解， （2）证明见详解 【解析】 【分析】(1)选①，利用进行求解，选②，利用进行求解； (2)利用裂项相消法即可求出，进而判断范围. 【小问1详解】 选①：， 当时，， ，即， 又时，得，则， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，； 选②：， 时， ，， 又时，，满足上式， ； 【小问2详解】 由(1)知，，， 设，则，则， 又， ， 综上：. 18. 已知数列中，. （1）证明：数列为等比数列； （2）若，设的前项和为. ①求； ②若都有不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用构造法结合等比数列的概念即可证明； （2）利用错位相减法求出，原式等价于，利用作差法比较大小，进而确定的最大值即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 又，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列； 【小问2详解】 ①由(1)知，则 ， 则， ， 两式相减得，， 所以， ②等价于， ， 因为， 当时，，当时，， 当时，，即， 所以，所以. 19. 正项数列满足，其前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等比中项法可得数列为等比数列，根据等比数列的通项公式和前项和公式求解即可； （2）①根据等差数列的性质可得，然后利用定义法验证即可；②由题意可得数列，分，，分别求解即可. 【小问1详解】 因为在数列中，，所以数列为等比数列， 设公比，因为.，，显然不为1， 所以，， 又为正项数列，解得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故； 【小问2详解】 ①当时，可得，当时，得， 当时，得， 因为数列为等差数列，可得，可得， 当时，由，可得， 又由，当时，数列为等差数列； ②由题意知，，，， ，， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 ， 又因为，所以， 即，所以， 因为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意，舍去； 综上所述，满足题意的正整数仅有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）3月考试题 数 学 命题：刘燕 何彬兰 审题：高二数学组 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等比数列中，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. D. 1 2. 设是等比数列，成等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 3. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ） A. B. C D. 4. 数列前项和，则该数列第4项为（ ） A 19 B. 20 C. 21 D. 22 5. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉所著《九章算法•商功》中，有如下图形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个，第三层有6个，设各层球数构成一个数列，且满足，则（ ） A. B. 65 C. 67 D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列通项公式中，数列是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若是等差数列，，若，则 D. 若，，则 11. 在等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大自然数等于197 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分. 12. 若数列满足，，则________． 13. 有两个等差数列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数有________项． 14. 已知函数，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求的最小值. 16. 高校学校会给家庭贫困学生提供勤工俭学，有三种付酬方案：第一种，第一天付元，以后每一天是前一天的倍；第二种，第一天付元，以后每一天比前一天都多付元；第三种，每天支付元． （1）设工作天，三种付酬方式的前天的收入和分别记为、、，请求出、、； （2）因为学习需要，小王同学准备为自己添置一台元笔记本电脑，他打算用勤工俭学的方式来挣得这笔资金，他该选择哪一种领取报酬方式更划算?为什么? 17. 已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”） （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前项和为，求证：. 18. 已知数列中，. （1）证明：数列等比数列； （2）若，设的前项和为. ①求； ②若都有不等式成立，求的取值范围. 19. 正项数列满足，其前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足（，） ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$