2025年中考二轮专题：胡不归问题模型与练习

专题二、胡不归问题 胡不归 从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路. 由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径 AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素,当他赶到家时,老人刚刚咽气,邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…” 而如果先沿着驿道 AC 走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢? 基础模型 特点：点A为直线上一定点,点B为直线外一定点,点P在直线上运动 问题：如何确定点P,使得kAP+BP(0<k<1)的值最小 结论分析 如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化 成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解 该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下： 一找：带有系数h的线段 二构:在点B异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形: 1 以定点A为顶点作∠CAP,使得sin∠PAC=k; 2 过动点P作垂线构造 Rt△PAC: 三转化:化折为直,将kAP转化为PC: 四求解:使得kAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求BD的长度. 典型题型： 1. 如图，在 中，，，，若 是 边上的动点，则 的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，-3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则 的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 1. 如图，四边形 是菱形，，且 ， 为对角线 （不含 点）上任意一点，则 的最小值为______。 1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为______。 1. 如图，中 ，，，为边 上一点，则 的最小值为______。 1. 如图，在 中，，，半径为 的经过点 ， 是圆 的切线，且圆的直径 在线段 上，设点 是线段 上任意一点（不含端点），则 的最小值为______。 1. ∠AOB = 30°, OM = 2, D为OB上动点，求MD + OD的最小值。 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C。抛物线 的对称轴是 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B。 (1)求二次函数 的表达式； (2)点 为线段 上的动点，求 的最小值； (3)抛物线上是否存在点 ，过点 作 垂直x轴于点 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 1. 如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ，一次函数的图象与边 、、 轴分别交于点 、、，且，并且满足，点 是线段 上的一个动点。 (1) 求 的值； (2) 连接 ，若 的面积与四边形 的面积之比为 1:3，求点 的坐标； (3) 求的最小值。 参考答案： 0. 【答案】D 【分析】过点C作射线CE，使 ，再过动点D作DF ⊥ CE，垂足为点F，连接AD，在Rt 中，当A、D、F在同一直线上，即时，AD + DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长。 【详解】解：过点C作射线CE，使 ，再过动点D作DF ⊥ CE，垂足为点F，连接AD，如图所示： 在 中，， 当 在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，此时， 是等边三角形， 在 中，，， 故选：D. 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题。 1. 【答案】A 【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 。根据，求出 的最小值即可解决问题。 【详解】解：过点 作 于 ，过点 作 于 。 ∴二次函数 的图象与y轴交于点 , ∴ , ∴二次函数的解析式为 ，令 ，, 解得 或 , ∴ ，, ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ ，, ∴ , ∴ , 设 ，则 , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , ∴∠PJC = 90°， ∴pJ = PC′ ∴ ∴DP + PJ ≥ DH， ∴DP + PJ ≥ ， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4。 故选：A。 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题。 1. 【详解】如解图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 。四边形 是菱形，， ∴ 1. 【答案】6 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B′，可证△ABB是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH = ，则，即当点B′、点C、点H三点共线时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解。 【详解】解：一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴点A（3，0），点B（0，）， ∴，， ∴， 作点B关于OA的对称点B′，连接AB′、BC，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴OB = OB’ =， ∴BB = 2，AB = AB = 2 ∴AB = AB = BB， ∴△ABB是等边三角形， ∴AO ⊥ BB’， ∴∠BAO = ∠BAB = 30°， ∴CH ⊥ AB， ∴CH = AC， ∴2BC + AC = 2 ( BC + AC) = 2 ( BC + CH)， ∴当点B、点C、点H三点共线时，BC + CH有最小值，即2BC + AC有最小值。 此时，BH ⊥ AB，△ABB是等边三角形， ∴BH = AH =，∠BBH = 30°， ∴BH =， ∴2BC + AC的最小值为6。 故答案为：6。 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键。 1. 【答案】6√3 【分析】作PH⊥AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=DP+PB=，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD+2PB有最小值，即可求解。 【详解】如图，过点P作PH ⊥ AD，交AD的延长线于H， 四边形 是平行四边形， ∴ , ∴ ∴ ∴ ∴ , ∴ ∴ 当点 、点 、点 三点共线时， 有最小值，即 有最小值， 此时 , , , ∴ , 则 最小值为 , 故答案为：. 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识。构造直角三角形是解题的关键。 1. 【答案】 【分析】 过点 作关于 的平行线，过点 作 垂直于该平行线于 ，可将 转化为 ，此时 就等于 ，当 共线时，即为所要求的最小值。 【详解】 解：如图所示，过点 作关于 的平行线，过点 作 垂直于该平行线于 ， ∵ ，∠，， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ 当 、、 三点共线，即在图中 在 位置， 在 位置的时候有 最小， ∴ 当 、、 三点共线时， 有最小值， 此时 ∴ 的最小值为 ， 故答案为 。 【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将 进行转换。 1. 【答案】 【详解】思路引领：（胡不归经典）作 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，当 时，（此时点 即为点 ） 的值最小，最小值是 的长。 答案详解：如图， 作 ，过点 作 于点 ，交 于点 ， 所以当 时，（此时点 即为点 ） 的值最小，最小值是 的长， ∴在 中，， ∴ , ∴ . 答： 的最小值为 . 1. 【答案】(1)抛物线表达式为：； (2) 的最小值是； (3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似。 【分析】(1) 先求的直线与x轴，y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值，从而得抛物线的表达式； (2) 如图1，作∠OAE=30°，交y轴于E，过点P作PH⊥AE于H，当C、P、H三点共线时，AP+2PC的值最小，根据直角三角形含30度角的性质可得CH的长，从而可得结论； (3) 首先可证明△ABC是直角三角形，且有AC=2BC，然后分三种情况讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC；③当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系。 【详解】(1) 中，当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4， ∴C（0，2），A（-4，0）， 由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=-\frac{3}{2}对称， ∴点B的坐标为（1，0）。 ∴抛物线过A（-4，0），B（1，0）， 可设抛物线表达式为, 又：抛物线过点C（0，2）， ∴2=-4a， ∴a=， ∴抛物线表达式为：； (2) 如图1，作∠OAE=30°，交y轴于E，过点P作PH⊥AE于H， ②如图3，根据抛物线的对称性，当 (-3, 2) 时，； ③如图4，当 在第四象限时，设 ，则 , ∴ , 当 时，，即 , 整理得：, 解得：，, ∴ ； 当 时，，即 , 整理得：, 解得：，, ∴ . 综上所述：存在 或 或 或 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似。 【点睛】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，还考查了轴对称-最短路径问题，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质。 1. 【答案】(1) ； (2) ； (3) 【分析】(1) 利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用特定系数法即可求解； (2) 首先求出四边形在的面积，再根据条件求出和的面积，即可解决问题； (3) 过点作上x轴交于点，则，即可转化为求的最小值。作点关于一次函数的对称点，过点作x轴的重线交x轴于点，交一次函数于点，即的最小值为。算出长度即可。 【详解】(1) 解：在 中，令 ，则 , ∴ 点 的坐标为 , ∵ , , ∴ , 把 代入 中得： 解得：; (2) 解：由 (1) 得一次函数为 , , , ∴ , , , ∴ , ∴ 的面积与四边形 的面积之比为 1:3, ∴ 的面积与四边形 的面积之比为 1:4, ∴ , 设点 的横坐标为 ，则 , 解得：, 把 代入 中得：, ∴ ; (3) 解：如图所示，过点 作 轴交于点 , ∵ ∠DFO = 30°, ∴ , ∴ , 作点O关于一次函数的对称点O, 且OO与直线DF交于Q点, 过点O作x轴的垂线交x轴于点N, ∴ , ∴ , 当O、M、N在同一直线时OM + MN最小, 即的最小值为, ∴ ∠DFO = 30°, ∴ ∠ODF = 60°, ∠DOQ = 30°, ∠OON = 90° - 30° = 60°, 在Rt ∆ ODQ中, DQ = OD = , ∴ 在Rt ∆ ONO中, ∠OON = 30°, ∴ 的最小值为. 【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积、直角三角形的性质以及勾股定理，属于中考压轴题。 学科网（北京）股份有限公司 $$