精品解析：江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一下学期3月检测数学试题

无锡市第一中学2024-2025学年度第二学期阶段性质量检测试卷高一数学 2025.3 一．单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算与模的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得或， 所以的值为3或. 故选：C 2. 已知平面上四点，，，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可 【详解】，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； 因为， 故，故选项D正确. 故选：D. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为 A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形． 【详解】由题意知， 由正弦定理得 又 展开得， 又角A，B，C是三角形的内角 又 综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C． 【点睛】本题主要考查了解三角形相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用． 4. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原图形，结合图形可解. 【详解】根据斜二测画法还原得下图， 因为，所以 所以原图形的面积 故选：C 5. 已知正方体的棱长为2，、是线段上的动点且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先证明平面，再利用锥体体积公式计算体积得到答案. 【详解】如图所示：连接与交于点，平面，平面， 故，又，， 在平面内， 故平面. . 故选：C 6. 在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】∵有两解， ∴，∴， 故选：D． 7. 已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，平方求得，结合投影向量的计算公式，即可求解； 【详解】由，，且， 平方得，解得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B. 8. 如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，用表示线段长，结合给定图形借助向量加法、数量积的运算律及定义计算即得. 【详解】过点作于，令，由，得， ，由分别为的中点，得，， 所以. 故选：B 二．多选题（共3小题，每题6分，错选得0分，少选得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量不能比较大小，但向量的模能比较大小 B. 与是否相等与与的方向无关 C. 若，，则 D. 若向量与向量是共线向量，则，，，四点在一条直线上 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的定义以及向量模的定义可判断A，B；举反例时可判断C；由共线向量的定义可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A正确； 对于B：与分别表示向量与的大小，与，的方向无关，故选项B正确； 对于C：当时，向量与可以是任意向量都满足，，故选项C不正确； 对于D：若向量与向量是共线向量，表示与方向相同或相反，得不出，，，四点在一条直线上，故选项D不正确； 故选：AB. 10. 在中，记角的对边分别为，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】正弦定理结合二倍角公式可得，可判断A；二倍角公式结合平方关系可求得，可判断B；利用余弦定理可求得c，并结合已知验证可判断C；根据面积公式直接求解，可判断D. 【详解】由正弦定理可得， 所以，即， 因为，所以，A正确； 因为， 所以，B正确； 由余弦定理得：，即， 解得或，若，则， 又因为，所以， 则有，故，故C错误； 由上可得，，D正确. 故选：ABD 11. 在中，已知，BC、AC边上两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的余弦值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】画出图形，由同时平方可求；同理由同时平方可求；由，代换成基底向量可求的余弦值；结合重心性质全部代换成可验证选项D. 【详解】如图所示：由题可知，分别为中点，则， 同时平方得 ， 则，故A错误； 又， 同时平方得， 则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将向量移入坐标系，分别求出相关向量的坐标，利用向量运算的坐标公式计算即得. 【详解】 如图将向量放入平面直角坐标系中， 则，，， 则，故. 故答案为：. 13. 在中，，，，点P是线段上一动点，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，根据题意求得各点坐标，利用向量的坐标运算求得数量积，再结合二次函数求最值即可得解. 【详解】 在中，由余弦定理得，所以是直角三角形， 以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 设点P坐标为，，， ，， 直线对应一次函数为， 所以，， ， ，对称轴，当时， 取得最小值. 故答案为： 14. 在中，角，角A的平分线AD与BC边相交于点D，则的最小值为_________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】依题意，，设， 依题意是角A的角平分线，， 由三角形的面积公式得， 整理得，则， 所以 . 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角形面积得到，从而得解. 四．解答题（共5题，共77分） 15. 设向量 （1）若向量 与向量 平行，求 的值； （2）若向量 与向量 互相垂直，求 的值. 【答案】（1）；（2）1或. 【解析】 【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可； (2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可. 详解】（1）， 向量 与向量 平行， （2）因为 ， ， 因为 与 互相垂直，所以 ，       即 ， ，解得 或 . 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数两角和的正弦公式，可求得答案; （2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 根据正弦定理及， 得. ∵， ∴. ∵， ∴. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理得， 即， ∵， ∴，即， 当且仅当时取等号. ∴. ∴的最大值为. 17. 如图，在中，点在线段上，且，. （1）若是正三角形，求的长； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得的长； （2）利用两角差正弦公式可求得的值，利用正弦定理可求得的长，可得出的长，再利用三角形的面积公式及可求得结果. 【小问1详解】 解：因为，， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 解：因为，则为锐角，则， 则， 由正弦定理得，则， 因此，. 18. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 问题：锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． （1）求A； （2）若，为AB的中点，求CD的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简即可； （2）利用向量的几何意义与数量积，通过条件先计算得，再得，由二次函数的单调性计算即可得出结果. 【小问1详解】 若选①， ， ∵； 若选②，， ∵； 若选③ ∵， 而. 【小问2详解】 如图所示，设，则，，， ∵是锐角三角形，∴， ，当时取得最小值，故. 19. 法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. （1）求角A； （2）若，且的周长为9，求； （3）若的面积为，求的角平分线的取值范围. 【答案】（1）； （2）9； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式计算得解. （2）则（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用数量积的定义计算即得. （3）由（2）中信息，利用三角形面积公式求出，再求出的范围，借助函数单调性求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 又，则， 又，于是即，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由正的周长为，得， 依题意，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 在中，由余弦定理得，即，联立解得， 所以. 【小问3详解】 由正的面积为，得， 由（2）知，即， 由，得， 于是，又，则， 又，即，解得，因此， 令函数，而函数与在上均单调递增， 则函数在上单调递增，从而，则， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市第一中学2024-2025学年度第二学期阶段性质量检测试卷高一数学 2025.3 一．单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知向量，，若，则值为（ ） A 3 B. C. 3或 D. 5 2. 已知平面上四点，，，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为 A 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 8 5. 已知正方体的棱长为2，、是线段上的动点且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 二．多选题（共3小题，每题6分，错选得0分，少选得部分分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量不能比较大小，但向量的模能比较大小 B. 与是否相等与与的方向无关 C 若，，则 D. 若向量与向量是共线向量，则，，，四点在一条直线上 10. 在中，记角的对边分别为，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的余弦值为 D. 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则_______. 13. 在中，，，，点P是线段上一动点，则的最小值是______. 14. 在中，角，角A的平分线AD与BC边相交于点D，则的最小值为_________. 四．解答题（共5题，共77分） 15. 设向量 （1）若向量 与向量 平行，求 的值； （2）若向量 与向量 互相垂直，求 的值. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 17. 如图，在中，点在线段上，且，. （1）若是正三角形，求的长； （2）若，，求的值. 18. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 问题：锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． （1）求A； （2）若，为AB的中点，求CD的取值范围． 19. 法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. （1）求角A； （2）若，且的周长为9，求； （3）若面积为，求的角平分线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$