精品解析：江西省上饶市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试卷

上饶市第一中学2027届高一年级第一次月考 数学试卷 考试时间：2025年3月 考试时长：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，上交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】由弧度制定义，该扇形的半径为， 所以该扇形的面积为. 故选：B 2. 如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据终边相同的角分别表达出，再分析，即可. 【详解】利用终边相同的角的关系，得，. 则与有关，故AC错误； 又．因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示，所以. 故选：D． 3. 设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得函数的最小正周期为T=6，再由时，，代入可求得答案. 【详解】因为，所以函数的最小正周期为T=6，所以， 又当时，，所以，所以， 故选：C. 4. 函数在区间上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将表达式化简，结合正弦函数的图象即可得解. 【详解】由题意， 所以函数在区间上的图象大致如图： . 故选：A. 5. 将函数的图象向右平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用平移变换和伸缩变换得到的图象，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】解：将的图象向右平移个单位长度得： 的图象， 再将图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）得： 的图象， 因为， 所以， 所以． 所以函数的值域为． 故选：D 6. 对于的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，从而转化成求在区间上的最小值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，则，对称轴， 所以当时，取到最小值，最小值为， 故选：A. 7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的区间单调性有、，即可求参数范围. 【详解】在上递增，且，故，得，即， 在上递减，且， 而，，只需，得， 综上，. 故选：C 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析、、时解析式以及值域，然后作出的图象，结合图象确定出符合条件的的范围，再根据与所求的取值范围的关系求解出的最大值. 【详解】当时，，此时 当时，，此时 当时，，此时， 结合为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示： 由图象可知，若要恒成立，只需要分析内的图象即可， 因为图象的对称性，不妨考虑时的情况， 当时，，所以， 当时，，所以或， 结合图象，若成立，则有，所以， 又因为若对任意，都有， 则有，所以，所以， 所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角α的终边在第一象限，那么角的终边可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】先写出角α的终边在第一象限角的集合，再通过运算进行求解判断即可. 【详解】因为角α的终边在第一象限， 所以，， 即，． 当时，，则终边在第一象限； 当时，，则终边在第二象限； 当时，，则终边在第三象限； 当时，，则终边在第一象限． 故选：ABC． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象与轴的交点坐标为 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】观察图象确定函数的周期，结合周期公式求，判断A，根据时，函数无意义，求，判断B，再求判断C，结合对称的性质及正切函数性质判断D. 【详解】由图可知，的最小正周期，又，所以，故，A正确； 由图象可知时，函数无意义，故， 由，得，故B正确， 因为，所以， 即的图象与轴的交点坐标为， C错误； 因为， 所以 所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦型函数的相关性质逐项求解判断即可. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，故A对； 对于B选项，由得， 所以，函数的单调递增区间为，故B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，故C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间上的值域为，故D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________________________. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】 故答案为：. 13. 已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可知半个周期，求得，代入点的坐标结合已知可求得，再利用图象平移即可得出的解析式，进而求出. 【详解】由图象可知的最小正周期为， 解得， 代入可得， 解得， 又，所以， 故， 左移个单位长度得， 故． 故答案为： 14. 数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， 则等边三角形的边长， 分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为， 等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解即可； （2）先利用诱导公式化简，再将（1）中的结论代入即可. 【小问1详解】 由题意知，， ， ， 【小问2详解】 由（1）知，,. ∴. 16. 设函数. （1）求函数的定义域及对称中心； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的性质，采用整体代入的方法即可求得答案； （2）结合正切函数的单调性，采用整体代入的方法列出不等式求解即可得答案. 【小问1详解】 ∵函数， 由，，解得，； 故函数的定义域为. 令，，解得，， 故函数的对称中心为，. 【小问2详解】 因为，， 所以 则，， 解得，， 故原不等式的解集为. 17. 已知（为常数）. （1）求的递增区间； （2）求的最大值及取得最大值时的集合； （3）若时，的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型复合函数直接求单调区间即可； （2）利用正弦函数性质直接求解即可； （3）根据的范围，直接求解析式的最值，即可得到答案. 【小问1详解】 令， 解得. 所以的递增区间. 【小问2详解】 由正弦函数性质知， 当时， 即，取得最大值为. 【小问3详解】 因为，所以， 则，且时取得最小值， 所以，则. 18. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间. （1）求d与时间t（单位：s）之间函数关系 （2）在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象 【答案】（1）； （2）图象见解析 【解析】 【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系式； （2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象. 【小问1详解】 由题意， 所以，， 因为逆时针方向每分转2圈，所以, 因为时，，所以，即， 又，所以 ，所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数， 列表如下 x 0 1 0 0 描点连线，图象如图. 19. 已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”． （1）判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由； （2）证明：函数在上为“伴和函数”； （3）若函数在上为“1伴和函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） 不存在，理由如下： 若，则，整理得， 因为，该方程无实数解， 所以不存在实数，使得函数为“伴和函数”； （2） 若函数在上为“伴和函数”，则， 得，整理得， 设， 因为在内连续，且，则， 所以在内存在零点，所以在内存在零点， 即方程在内存在实根， 故在上为“伴和函数”． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义得到，利用判别式判断是否存在实根，即可得结论； （2）根据已知可得，令并应用零点存在定理判断零点的存在性，即可证结论； （3）根据题设有，令，问题化为有解，结合对勾函数性质求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若函数在上为“1伴和函数”，则， 即， 整理得， 令，则， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：根据函数新定义，应用方程法、零点存在性定理及函数在给定区间内有解求解证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上饶市第一中学2027届高一年级第一次月考 数学试卷 考试时间：2025年3月 考试时长：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，上交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 函数在区间上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 对于的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（ ） A. B. C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角α的终边在第一象限，那么角的终边可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象与轴的交点坐标为 D. 函数的图象关于直线对称 11. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间上的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________________________. 13. 已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______． 14. 数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求，的值； （2）求的值. 16. 设函数. （1）求函数的定义域及对称中心； （2）求不等式的解集. 17. 已知（为常数）. （1）求的递增区间； （2）求的最大值及取得最大值时的集合； （3）若时，的最小值为，求的值. 18. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间. （1）求d与时间t（单位：s）之间函数关系 （2）在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象 19. 已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”． （1）判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由； （2）证明：函数在上为“伴和函数”； （3）若函数在上为“1伴和函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $