专题02 相交线与平行线（高频易错重难点60题14种题型专项训练）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题02 相交线与平行线 （高频易错重难点60题14种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 对顶角相等 · 题型二 垂线的定义理解 · 题型三 点到直线的距离 · 题型四 平行公理的应用 · 题型五 同位角、内错角、同旁内角 · 题型六 同位角相等两直线平行（高频） · 题型七 内错角相等两直线平行（高频） · 题型八 同旁内角相等两直线平行（高频） · 题型九 两直线平行同位角相等 · 题型十 两直线平行内错角相等 · 题型十一 两直线平行同旁内角互补 · 题型十二 根据平行线的性质探究角的关系（重点） · 题型十三 根据平行线判定与性质求角度（重点） · 题型十四 根据平行线判定与性质证明（难点） 题型一 对顶角相等 1.（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，直线相交于点，如果平分，那么度度数为 ．    2．（21-22七年级下·上海闵行·期中）若与是对顶角，与互余，且，那么 ． 3．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，AB、CD交于点O，若，射线OE平分∠AOC，那么∠EOD= 度． 4.（20-21七年级下·上海静安·期中）如图：已知直线与相交于点O，，，试说明的理由．    题型二 垂线的定义理解 5．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与直线相交于点，，，那么的度数是 度． 6．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，CO与DO互相垂直，那么 ． 7.（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线交于O，且，，则 ．    8.（21-22七年级下·上海·期末）已知：如图，直线AB与直线DE相交于点C，CF⊥DE，∠ACD＝25°，求∠BCE和∠BCF的度数． 题型三 点到直线的距离 9.（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么下列哪条线段的长表示点A到距离（    ）    A． B． C． D． 10．（20-21七年级下·上海·期中）已知点A在直线l外，点B在直线l上，点A到直线l的距离记作a，A、B两点的距离记作b，则a与b的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 12.（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，垂足为点E，D为的中点，则点A到直线的距离是线段 的长度．    13．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，，，垂足为，线段 的长表示点到直线的距离．    题型四 平行公理的应用 14.（22-23七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 15．（20-21七年级下·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长度 C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线平行于已知直线 16.（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 17.（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知，点在的上方，则、、之间存在怎样的等量关系？说明理由． 解：过点作， ______（两直线平行，内错角相等）， （已知）， （已作）， ____________（______）． 题型五 同位角、内错角、同旁内角 18.（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 20.（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，和是直线 与直线 被直线 所截得到的 角．的内错角有 个，的同位角有 个． 21．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图所示的5个角中，内错角有 对，同旁内角有 对．    22.（20-21七年级下·上海静安·期中）如图，已知点A与直线a、b相交于点O，试问，能否过点A作直线l，使得整个图形中，有且只有两个角能与构成同位角？若能，请画出所有情况并写出的同位角；若不能，请说明理由.    题型六 同位角相等两直线平行 23.（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，，试说明直线与平行．    解∶∵，垂足为B，垂足为D，(已知)， ∴____，____(_____) 即，， 又∵(___)， ∴____=____(___)， ∴ (___)． 24．（20-21七年级下·上海静安·期中）如图，，和分别平分和，，请完成的说理过程．    解：和分别平分和（已知） ，（  ） 又（已知） ____________（等量代换） （已知） ________________________（等量代换） （    ）． 25．（21-22七年级下·上海松江·期中）如图，已知，平分，平分，且，请填写说明DE∥BF的理由的依据． 解：因为平分，平分（已知） 所以，（______） 因为（已知） 所以（______） 因为（______） 所以（______） 所以DEBF（______） 题型七 内错角相等两直线平行 26.（21-22七年级下·上海·期中）如图所示，已知，，，下列条件中，能得到AB∥CD的是（    ） A． B． C． D． 27．（20-21七年级下·上海宝山·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠4 D．∠2＝∠5 28．（20-21七年级下·上海·期末）如图，一定能推出的条件是（    ） A． B． C． D． 29.（20-21七年级下·上海静安·期中）如图所示，（已知）， ．    30．（20-21七年级下·上海闵行·期中）1.如图，如果，那么 ．    31.（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 题型八 同旁内角互补两直线平行 32.（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 33．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 34.（20-21七年级下·上海·期中）如图，如果∠A+ ＝180°，那么AD//BC． 35．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线a，b都与直线c相交，下列命题中，能判断的条件是 （把你认为正确的序号填在横线上）． ①；②；③；④．    36.（20-21七年级下·上海闵行·期中）如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，，． (1)请说明的理由； (2)若DE平分，，判断CD与EG的位置关系，并说明理由． 题型九 两直线平行同位角相等 37.（22-23七年级下·上海·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 38.（20-21七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知a∥b，如果∠1＝70°，∠2＝35°，那么∠3＝ 度． 39．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为 ．    题型十 两直线平行内错角相等 40.（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，下列说法中正确的是（     ）    A． B． C． D． 41．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 42.（21-22七年级下·上海杨浦·期末）如图，于A点，过A点作，若，则 ． 43．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，点P是直线上的点，，，那么的度数是 度．    44.（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知，BD//EF，那么∠B与∠1相等吗？为什么？ 题型十一 两直线平行同旁内角互补 45.（23-24七年级下·上海浦东新·期中）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线的位置关系是 ． 46．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，，求的度数． 题型十二 根据平行线的性质探究角的关系 47.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 48．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 49.（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 ． 50.（20-21七年级下·上海·期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为（旋转角，请探究下列问题： (1)如图2，当旋转角满足时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由； (2)如图3，当旋转角满足时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由； (3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数． 题型十三 根据平行线判定与性质求角度 51 ．（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知∠1＝50°，要使a∥b，那么∠2等于（　　） A．40° B．130° C．50° D．120° 52．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 53.（20-21七年级下·上海·期末）如图，已知，，，则的度数为 ．    54．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知，，那么 度．    55.（22-23七年级下·上海松江·期末）如图，已知点分别在的边上，，，，求：的度数．    56．（21-22七年级下·上海徐汇·期中）如图，已知∠ABC＝，，求的度数． 解：因为（已知）， 所以 （    ）， 得 （    ）． 因为∠ABC＝（已知）， 所以＝ ＝ （等式性质）． 题型十四 根据平行线判定与性质证明 57．（21-22七年级下·上海松江·期中）如图，下列说理正确的是（   ） A．由，得，理由是同位角相等，两直线平行 B．由，得，理由是同位角相等，两直线平行 C．由，得，理由是两直线平行，内错角相等 D．由，得，理由是同位角相等，两直线平行 58.（21-22七年级下·上海·期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是 ． 59.（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知点D是延长线上一点，， ，与互补吗？请说明理由． 60．如图，，，，试说明． $$专题02 相交线与平行线 （高频易错重难点60题14种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 对顶角相等 · 题型二 垂线的定义理解 · 题型三 点到直线的距离 · 题型四 平行公理的应用 · 题型五 同位角、内错角、同旁内角 · 题型六 同位角相等两直线平行（高频） · 题型七 内错角相等两直线平行（高频） · 题型八 同旁内角相等两直线平行（高频） · 题型九 两直线平行同位角相等 · 题型十 两直线平行内错角相等 · 题型十一 两直线平行同旁内角互补 · 题型十二 根据平行线的性质探究角的关系（重点） · 题型十三 根据平行线判定与性质求角度（重点） · 题型十四 根据平行线判定与性质证明（难点） 题型一 对顶角相等 1.（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，直线相交于点，如果平分，那么度度数为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等． 先根据角平分线的定义，得出，再根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（21-22七年级下·上海闵行·期中）若与是对顶角，与互余，且，那么 ． 【答案】/53度 【分析】由互余的定义得到，由与是对顶角得到答案． 【详解】解：∵与互余，且， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了互余的定义和对顶角的性质，熟练掌握角之间的关系是解题的关键． 3．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，AB、CD交于点O，若，射线OE平分∠AOC，那么∠EOD= 度． 【答案】125 【分析】先根据对顶角和平角的定义求出∠AOD和∠AOC的度数，再由角平分线的定义求出∠AOE的度数即可求出∠EOD的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵OE平分∠AOC， ∴， ∴， 故答案为：125． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等，角平分线的定义，平角的定义，正确求出∠AOD和∠AOE的度数是解题的关键． 4.（20-21七年级下·上海静安·期中）如图：已知直线与相交于点O，，，试说明的理由．    【答案】见解析 【分析】首先根据等量代换和对顶角相等得到，然后利用内错角相等，两直线平行得到． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了对顶角相等，内错角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型二 垂线的定义理解 5．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与直线相交于点，，，那么的度数是 度． 【答案】65 【分析】根据对顶角相等可得，然后根据，可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：65． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等，垂线的定义，熟练掌握对顶角相等，垂线的定义，是解题的关键． 6．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，CO与DO互相垂直，那么 ． 【答案】 【分析】根据CO与DO互相垂直，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵CO与DO互相垂直， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟练掌握当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直是解题的关键． 7.（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线交于O，且，，则 ．    【答案】 【分析】根据，得，再根据，得，再根据对顶角相等得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线和对顶角的性质，解题的关键是熟练的从图中找到这些角的位置关系． 8.（21-22七年级下·上海·期末）已知：如图，直线AB与直线DE相交于点C，CF⊥DE，∠ACD＝25°，求∠BCE和∠BCF的度数． 【答案】∠BCE＝25°；∠BCF＝65° 【分析】根据对顶角相等可直接求出∠BCE＝25°，根据CF⊥DE即可求出∠BCF的度数． 【详解】解：∵∠BCE＝∠ACD（对顶角相等），∠ACD＝25°（已知）， ∴∠BCE＝25°（等量代换）． ∵CF⊥DE（已知）， ∴∠ECF＝90°（垂直的意义）， 即∠BCF+∠BCE＝90°， ∴∠BCF＝65°． 【点睛】本题考查了垂线、对顶角等知识点，解决本题的关键是理解垂线的性质、对顶角相等． 题型三 点到直线的距离 9.（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么下列哪条线段的长表示点A到距离（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离为这一点到这条直线的垂线段的长度，求解即可． 【详解】解：由点到直线的距离可得，点A到距离为线段的长度， 故选：A 【点睛】此题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解并掌握点到直线的距离． 10．（20-21七年级下·上海·期中）已知点A在直线l外，点B在直线l上，点A到直线l的距离记作a，A、B两点的距离记作b，则a与b的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况：①a和b构成一个直角三角形，且b是斜边，a是直角边，所以b＞a；②若B是垂足时，a=b． 【详解】解：如图所示： 过A作，点A到直线l的距离为a， B点在直线l上，当B点与H点重合时，， 当B与H点不重合时，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，明确点到直线的距离是这点到直线的垂线段的长度，属于基础题． 11．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 【答案】D 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】A、， 直线与直线的夹角是60度，正确，故本选项不符合题意 B、 直线与直线的夹角是90度，正确，故本选项不符合题意 C、 线段的长是点D到直线的距离，正确，故本选项不符合题意 D、不相互垂直， 线段的长不是点B到直线的距离，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离和两直线的夹角，熟练掌握点到直线的距离与两直线的夹角的定义是解题的关键． 12.（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，垂足为点E，D为的中点，则点A到直线的距离是线段 的长度．    【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离：自直线外一点作直线的垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可解答．解决本题的关键是熟记点到直线的距离概念． 【详解】解：∵，垂足为点E， ∴点A到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 13．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，，，垂足为，线段 的长表示点到直线的距离．    【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离为这一点到直线的垂线段的距离，即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 线段的长表示点到直线的距离， 故答案为：． 【点睛】此题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念． 题型四 平行公理的应用 14.（22-23七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 D．三角形任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直的定义，点到直线的距离，平行线的性质以及三角形的三边关系．熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、在同一平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法错误； B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故说法正确；； D、三角形两边之和大于第三边，故说法错误；； 故选：C． 15．（20-21七年级下·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长度 C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线平行于已知直线 【答案】C 【分析】点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度；在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线． 【详解】解：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，A、B说法均不正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，C说法正确； 在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故D说法错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定、平行公理即推论，点到直线的距离，熟练掌握平行线的判定，平行公理及推论是解题的关键． 16.（22-23七年级下·上海·期中）同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与c的关系是： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，易错点是未根据题意进行画图解答．根据平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，可知直线a与直线c的关系是平行． 【详解】解：在同一平面内，，， ． 故答案为：． 17.（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知，点在的上方，则、、之间存在怎样的等量关系？说明理由． 解：过点作， ______（两直线平行，内错角相等）， （已知）， （已作）， ____________（______）． 【答案】，理由见解析；，，，平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据平行线的性质得，根据平行于同一条直线的两条直线平行得，根据平行线的性质得，根据角之间的关系等量代换即可得． 【详解】解：过点E作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（已知）， （已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质 题型五 同位角、内错角、同旁内角 18.（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角，位于截线的同侧，且都在被截线的同一方，这样的一对角是同位角；根据同位角的概念结合图形判断即可． 【详解】解：由图知，与位于截线的同侧，且都在被截线的同一方，这两个角是同位角； 故选：B． 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，故本选项不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，故本选项不符合题意； C、与不是内错角，原说法错误，故本选项符合题意； D、与是内错角，原说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 20.（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，和是直线 与直线 被直线 所截得到的 角．的内错角有 个，的同位角有 个． 【答案】a；c；d；内错；2；4 【分析】根据同位角，内错角的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了，同位角，内错角，解题的额关键是：熟练掌握同位角，内错角的特征． 【详解】解：如图：设直线a与直线d相交于点A，直线b与直线c相交于点B， 和是直线a与直线c被直线d所截得到的内错角．的内错角是和，的同位角是，，，，共有3个， 故答案为：a；c；d；内错；2；4． 21．（22-23七年级下·上海静安·期中）如图所示的5个角中，内错角有 对，同旁内角有 对．    【答案】 2 3 【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答． 【详解】解：由图可知： 内错角有：和，和，共2对， 同旁内角有：和，和，和，共3对， 故答案为：2，3． 【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“ ”形，内错角的边构成“ ”形，同旁内角的边构成“”形． 22.（20-21七年级下·上海静安·期中）如图，已知点A与直线a、b相交于点O，试问，能否过点A作直线l，使得整个图形中，有且只有两个角能与构成同位角？若能，请画出所有情况并写出的同位角；若不能，请说明理由.    【答案】见详解 【分析】根据同位角的定义进行作图解答即可． 【详解】解：能，画出所有情况并写出的同位角，如下图所示：            图1、图2和图3中是和都是的同位角． 【点睛】本题考查了同位角的定义以及学生的作图能力，正确掌握同位角的定义是解题的关键． 题型六 同位角相等两直线平行 23.（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，，试说明直线与平行．    解∶∵，垂足为B，垂足为D，(已知)， ∴____，____(_____) 即，， 又∵(___)， ∴____=____(___)， ∴ (___)． 【答案】、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行． 【分析】根据垂直的性质，平行线的判定求证即可． 【详解】证明：∵，垂足为B，垂足为D，(已知)， ∴，(垂直的定义) 即，， 又∵(已知)， ∴ (等量代换)， ∴ (同位角相等，两直线平行)． 故答案为：、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 24．（20-21七年级下·上海静安·期中）如图，，和分别平分和，，请完成的说理过程．    解：和分别平分和（已知） ，（  ） 又（已知） ____________（等量代换） （已知） ________________________（等量代换） （    ）． 【答案】角平分线的定义；3；2；3；同位角相等，两直线平行 【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定求解即可． 【详解】解：和分别平分和（已知） ，（角平分线的定义） 又（已知） （等量代换） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，熟记平行线的判定方法并灵活运用是解本题的关键． 25．（21-22七年级下·上海松江·期中）如图，已知，平分，平分，且，请填写说明DE∥BF的理由的依据． 解：因为平分，平分（已知） 所以，（______） 因为（已知） 所以（______） 因为（______） 所以（______） 所以DEBF（______） 【答案】角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】根据角平分线定义和已知求出，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：因为平分，平分（已知）， 所以，（角平分线的定义）， 因为（已知）， 所以（等量代换）， 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定和角平分线的定义，掌握同位角相等，两直线平行是关键. 题型七 内错角相等两直线平行 26.（21-22七年级下·上海·期中）如图所示，已知，，，下列条件中，能得到AB∥CD的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，即可求解． 【详解】解：A、若，则∠4≠∠1，则不能得到AB∥CD，故本选项不符合题意； B、若，则∠5≠∠3，则不能得到AB∥CD，故本选项不符合题意； C、若，则∠4≠∠1，则不能得到AB∥CD，故本选项不符合题意； D、若，则∠5=∠3，则能得到AB∥CD，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 27．（20-21七年级下·上海宝山·期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠4 D．∠2＝∠5 【答案】B 【分析】根据平行线的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行能判定，此项不符题意； B、，不一定能判定，此项符合题意； C、，根据同位角相等，两直线平行能判定，此项不符题意； D、，根据内错角相等，两直线平行能判定，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定方法是解题关键． 28．（20-21七年级下·上海·期末）如图，一定能推出的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行；根据平行线的判定方法逐一判定即可. 【详解】解：A．和是直线和被直线所截所成的内错角， 不能推出，故本选项不符合题意； B．和是直线和被直线所截所成的内错角， 不能推出，故本选项不符合题意； C．和是直线和被直线所截所成的内错角，但不能判定， 不能判定， 和是直线和被直线所截所成的同位角，但不能判定， 不能判定， 不能推出，故本选项不符合题意； D．和是直线和被直线所截所成的同位角， 能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键． 29.（20-21七年级下·上海静安·期中）如图所示，（已知）， ．    【答案】 【分析】根据内错角相等，两直线平行证明即可． 【详解】 ． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了内错角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行． 30．（20-21七年级下·上海闵行·期中）1.如图，如果，那么 ．    【答案】 【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 31.（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 【答案】（1）平角定义；；同位角相等，两直线平行；（2）平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定． （1）根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后根据同位角相等，两直线平行可得； （2）根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： （平角定义）， （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角定义；；同位角相等，两直线平行； （2）与的位置关系是：（平行），理由如下： 平分， ， ， ， ， 故答案为：平行． 题型八 同旁内角互补两直线平行 32.（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ，故选项不符合题意； B、∵，，故选项不符合题意； C、，不能判定，故选项符合题意； D、∵，，故选项不符合题意； 故选：C． 33．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行，是解答本题的关键．根据平行线的判定作答即可． 【详解】解：A、，不能判定，故本项不符合题意； B、，可判断，不能判定，故本项不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行能判定，故本项符合题意； D、 ，可判断，不能判定，故本项不符合题意； 故选：C． 34.（20-21七年级下·上海·期中）如图，如果∠A+ ＝180°，那么AD//BC． 【答案】∠B 【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵∠A+∠B＝180°， ∴． 故答案为：∠B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 35．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线a，b都与直线c相交，下列命题中，能判断的条件是 （把你认为正确的序号填在横线上）． ①；②；③；④．    【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：①由，根据同位角相等两直线平行可判断； ②由，根据内错角相等两直线平行可判断； ③∵，， ∴，根据同位角相等两直线平行可判断； ④∵，，， ∴，根据同旁内角互补两直线平行可判断； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行是解题的关键． 36.（20-21七年级下·上海闵行·期中）如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，，． (1)请说明的理由； (2)若DE平分，，判断CD与EG的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等可证明ABEG，再根据平行线的性质得角相等，再等量代换可得∠3=∠EGC，进而可得DE BC； （2）根据已知条件可得∠B=45°，可以证明CD⊥AB，再由ABEG，即可得CD⊥EG． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）∵DE平分， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区别平行线的判定与性质并熟练运用． 题型九 两直线平行同位角相等 37.（22-23七年级下·上海·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等． 【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是， 由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：， 由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 38.（20-21七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知a∥b，如果∠1＝70°，∠2＝35°，那么∠3＝ 度． 【答案】75 【分析】根据平行线的性质和的度数得到，再利用平角的性质可得的度数． 【详解】解：如图： ，， ． ， ． 故答案为：75． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用． 39．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为 ．    【答案】/41度 【分析】根据两直线平行同位角相等求出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记平行线的性质是解题的关键． 题型十 两直线平行内错角相等 40.（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，下列说法中正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由可得到，故项符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 41．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，由可以得到的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．根据“两直线平行，内错角相等”，即可判断答案． 【详解】， ， 根据“两直线平行，内错角相等”，A、B、C三个选项均错误，只有D选项正确． 故选D． 42.（21-22七年级下·上海杨浦·期末）如图，于A点，过A点作，若，则 ． 【答案】45°/45度 【分析】本题考查平行线的性质和垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．先根据补角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 43．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，点P是直线上的点，，，那么的度数是 度．    【答案】33 【分析】求出，利用平行线的性质，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 44.（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知，BD//EF，那么∠B与∠1相等吗？为什么？ 【答案】∠B=∠1；证明见详解； 【分析】根据平行线的性质即可求证； 【详解】解：∠B=∠1，理由如下： ∵， ∴DE//BC． ∴． ∵BD//EF， ∴， ∴∠B=∠1． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及证明，掌握平行线的相关性质并灵活应用是解题的关键． 题型十一 两直线平行同旁内角互补 45.（23-24七年级下·上海浦东新·期中）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线的位置关系是 ． 【答案】互相垂直 【分析】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，此题比较简单，注意两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用． 首先根据题意画出图形，由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得，又由与分别是与的角平分线，即可求得，则可得两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直． 【详解】解：由题意可画图形如图， ， ， 与分别是与的角平分线， ，， ， ， ， 故答案为：互相垂直． 46．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】由平行线的性质得到，，再利用补角的性质得到，进而列方程解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 题型十二 根据平行线的性质探究角的关系 47.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】由平行线的性质以及角平分线的定义求得，再证明得到，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴与互余的角有，共5个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义以及互余的定义，由角平分线的定义及平行线的性质得出是解题关键． 48．（22-23七年级下·上海·期中）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作，过M作，推出，根据平行线的性质得出，，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过C作，过M作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 49.（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，由对顶角相等得：，，， ∵， ，， ，， 故答案为：． 50.（20-21七年级下·上海·期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为（旋转角，请探究下列问题： (1)如图2，当旋转角满足时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由； (2)如图3，当旋转角满足时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由； (3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)∠BCD=∠ACE，理由见解析； (2)∠BCE-∠ACD=120°，理由见解析； (3)旋转角为60°或240°． 【分析】（1）结合图形，根据等边三角形及各角之间的数量关系即可得出结果； （2）结合图形利用各角之间的数量关系即可得出结果； （3）由平行线的性质进行分类讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：∠BCD=∠ACE，理由如下： ∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∠ACE+∠ACD=∠DCE=60°， ∴∠BCD=∠ACE； （2）∠BCE-∠ACD=120°，理由如下： ∵∠BCE=∠BCA+∠ACD+∠DCE， ∴∠BCE-∠ACD=∠BCA+∠DCE=120°； （3）∵DE∥BC， ∴①∠BCD=∠D=60°，边CD与边AC重合， 旋转角α=60°； ∴②∠BCD+∠D=180°， 旋转角α=180°+60°=240°， ∴当DE∥BC时，旋转角为60°或240°． 【点睛】题目主要考查角度之间的计算、平行线的性质等，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 题型十三 根据平行线判定与性质求角度 51 ．（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知∠1＝50°，要使a∥b，那么∠2等于（　　） A．40° B．130° C．50° D．120° 【答案】C 【分析】先假设a∥b，由平行线的性质即可得出∠2的值． 【详解】解：假设a∥b， ∴∠1=∠2， ∵∠1=50°， ∴∠2=50°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，即同位角相等，两直线平行． 52．（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，由垂线的定义得出，再由平行线的判定与性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 53.（20-21七年级下·上海·期末）如图，已知，，，则的度数为 ．    【答案】/120度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：过作，    ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 54．（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知，，那么 度．    【答案】 【分析】由邻补角的定义可得，从而可，即可判定，则有，再由对顶角相等可求． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 55.（22-23七年级下·上海松江·期末）如图，已知点分别在的边上，，，，求：的度数．    【答案】 【分析】根据，推导，从而得出，，再利用推导出． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 56．（21-22七年级下·上海徐汇·期中）如图，已知∠ABC＝，，求的度数． 解：因为（已知）， 所以 （    ）， 得 （    ）． 因为∠ABC＝（已知）， 所以＝ ＝ （等式性质）． 【答案】，内错角相等两直线平行，∠A+∠ABC=180°，两直线平行同旁内角互补， ABC，149° 【分析】利用平行线的判定和性质，进行角的计算即可； 【详解】解：因为（已知）， 所以（内错角相等两直线平行）， 得∠A+∠ABC=180°（两直线平行同旁内角互补）． 因为∠ABC＝（已知）， 所以＝ABC ＝149°（等式性质）． 故答案为： ，内错角相等两直线平行 ，∠A+∠ABC=180° ，两直线平行同旁内角互补，ABC，149° 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，掌握其判定和性质是解题关键． 题型十四 根据平行线判定与性质证明 57．（21-22七年级下·上海松江·期中）如图，下列说理正确的是（   ） A．由，得，理由是同位角相等，两直线平行 B．由，得，理由是同位角相等，两直线平行 C．由，得，理由是两直线平行，内错角相等 D．由，得，理由是同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的性质与判定判断即可． 【详解】解：由，得，理由是两直线平行，同位角相等；故A选项错误； 由，得，理由是内错角相等，两直线平行，故B选项错误； 由，得，理由是两直线平行，内错角相等，故C选项正确； 由，得不到，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，解题关键是熟练掌握平行线的性质与判定． 58.（21-22七年级下·上海·期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是 ． 【答案】∠1+∠2＝90°或互余 【分析】根据平行线的性质可得∠2＝∠CDE，根据垂直的定义可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠CDE． ∵EF⊥BD， ∴∠FED＝90°． ∴∠1+∠FDE＝90°． ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：∠1+∠2＝90°或互余． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 59.（22-23七年级下·上海·期中）如图，已知点D是延长线上一点，， ，与互补吗？请说明理由． 【答案】互补；理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键，先证，得出，进而证明，从而证出结论． 【详解】解：与互补，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 60．如图，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线的性质求出，求出，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． $$