第六单元 正比例和反比例单元知识总结＋重点突破＋提升练习-2024-2025学年六年级下学期数学单元总结练习（苏教版）

正比例和反比例 知识要点 具体内容 正比例的意义 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量相对应的两个数的比值一定，那么这两种量叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。 2.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比 例关系就可以用式子表示为（一定）。 正比例的图像 两种量成正比例关系时，画出的两种量的关系图像是一条直线。 反比例的意义 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量相对应的两个数的积一定，那么这两种量叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 2.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系就可以用式子表示为（一定）。 正比例和反比例之间的关联 已知三种量x、y、z之间有数量关系xy=z，那么： （1）当x一定时，y与z成正比例； （2）当y一定时，x与z成正比例； （3）当z一定时，x与y成反比例。 根据正、反比例的意义求未知量 【例题】表中的x和y是两种相关联的量，若x和y成正比例，则y＝（ ）；若x和y成反比例，则y＝（ ）。 x 3 9 y 120 【思路分析】因为两个相关联的量之间成正比例，比值是一定的；如果成反比例，则乘积是一定的，由此解答。 【解题步骤】x和y成正比例： 3∶120＝9∶y y＝120×9÷3 y＝1080÷3 y＝360 x和y成反比例： 3×120＝9×y y＝3×120÷9 y＝360÷9 y＝40 若x和y成正比例，则y＝360；若x和y成反比例，则y＝40。 下表中a、b是两种相关联的量。 a 20 8 b 400 当＝1000，a和b成 比例。当＝ 时，a和b成反比例。 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （1）当＝1000时，发现a和b的比值一定，据此得出a和b成正比例。 （2）如果a和b成反比例，那么a和b的乘积一定，由此列出反比例方程，求出的值。 【详解】（1）当＝1000时， ＝＝50（一定） 比值一定，则a和b成正比例。 （2）如果a和b成反比例，可得： 20＝8×400 解：20＝3200 ＝3200÷20 ＝160 当＝160时，a和b成反比例。 根据等式判断比例关系 【例题】如果4x＝3y（x、y都不为0），x∶y＝( )∶( )，x和y成( )比例。如果a∶9＝10∶b（a、b都不为0），a和b成( )比例。 【思路分析】比例的基本性质：比例的两个内项的乘积等于两个外项的乘积。将4x＝3y改写成比例时，相乘的两个数必须都是内项或者外项即可；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解题步骤】如果4x＝3y（x、y都不为0），x∶y＝3∶4， 所以x∶y＝（一定），是比值一定，所以x和y成正比例。 如果a∶9＝10∶b（a、b都不为0）， a×b＝9×10＝90（一定），是乘积一定，所以a和b成反比例。 如果＝（y不为0），那么x和y成( )比例；如果x×3＝y÷（x、y都不为0），那么x和y成( )比例。 【分析】两种相关联的量，若两种量的比值（商）一定，两种量成正比例；若两种量的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【详解】由＝得：xy＝5×8＝40，x和y的积一定，x和y成反比例；由x×3＝y÷得：x×3＝y×7，＝，x和y的比值一定，x和y成正比例。 正比例图像的认识 【例题】如图是一个水龙头打开后出水量的变化情况。 （1）这个水龙头每分钟的出水量是 　2　升。 （2）这个水龙头的出水量与时间成 　　比例关系。 （3）照这样的速度，从这个水龙头流出150升水，需要 　　小时。 【思路分析】（1）根据图示，可以得出水龙头每分钟的出水量是2升； （2）水龙头打开的时间与出水量是两种相关联的量，水龙头的出水量打开的时间每分钟的出水量，每分钟的出水量一定，也就是这两种量的比值一定，所以成正比例； （2）先求出每分钟的出水量，再用150除以每分钟的出水量就是所用的时间，然后根据1小时分，换算出时间即可。 【解题步骤】解：（1）观察图可知，水龙头每分钟的出水量是（升； （2）水龙头的出水量打开的时间每分钟的出水量，每分钟的出水量一定，也就是这两种量的比值一定，所以这个水龙头的出水量与时间成正比例关系； （2）每分钟的出水量：（升 （分 （小时） 答：需要1.25小时。 故答案为：2，正，1.25。 张师傅加工一批玩具时，加工时间与数量的变化情况如表。 加工时间时 0 1 2 3 4 5 加工数量个 0 12 24 36 48 60 （1）根据表中数据，在下图中描出加工时间和加工数量所对应的点，再把这些点依次连起来。 （2）加工玩具的数量与时间成正比例吗？为什么？ （3）6.5小时可以加工玩具 　78　个；加工102个玩具需要 　　小时。 【分析】（1）描出对应点后，注意连线要均匀。 （2）张师傅加工零件的个数加工零件的时间（一定），所以张师傅加工零件的时间和加工零件的个数成正比例；据此解答。 （3）根据工作总量与工作时间、工作效率之间的关系解答即可。 【解答】解：（1）作图如下： （2）张师傅加工零件的个数加工零件的时间（一定），所以张师傅加工零件的时间和加工零件的个数成正比例。 （3）（个 （小时） 答：6.5小时可以加工玩具78个；加工102个玩具需要8.5小时。 故答案为：78，8.5。 正比例的应用 【例题】用100千克黄豆可以榨油16千克，照这样计算，50吨黄豆可以榨油多少吨？（用比例解） 【思路分析】根据题意，100千克黄豆可以榨油16千克，每千克黄豆榨油的千克数一定，则油的千克（或吨）数与黄豆的千克（或吨）数成正比例，设50吨黄豆可以榨油x吨，列比例：100∶16＝50∶x，解比例，即可解答。 【解题步骤】解：设50吨黄豆可以榨油x吨。 100∶16＝50∶x 100x＝16×50 100x＝800 x＝800÷100 x＝8 答：50吨黄豆可以榨油8吨。 江苏省淮盐产场是中国四大盐场之一。其中，一个晒盐场用100克海水可以晒出6克盐。如果一块盐田一次放入650吨海水，可以晒出多少吨盐？ 【分析】根据题意知道，海水的质量和盐的质量的比值一定，所以海水的质量和盐的质量成正比例，由此列式解答即可。 【详解】解：设可以晒出x吨盐。 100∶6＝650∶x 100x＝6×650 100x＝3900 100x÷100＝3900÷100 x＝39 答：可以晒出39吨盐。 反比例的应用 【例题】一项工程，若每天工作8小时，则15天可以完成任务。要想12天完成任务，平均每天要工作多少小时？（用比例知识列方程解答） 【思路分析】设平均每天要工作x小时；根据题意可知，工作时间和工作天数成反比例；根据计划工作时间×计划工作天数＝实际工作时间×实际工作天数，列比例：8×15＝12x，解比例，即可解答。 【解题步骤】解：设平均每天要工作x小时。 8×15＝12x 12x＝120 x＝120÷12 x＝10 答：平均每天要工作10小时。 小明家装修客厅，准备用边长为4分米的方砖铺，需要250块。如果改用边长为5分米的方砖铺，需要多少块？ 【分析】正方形面积=边长×边长，据此可以求出方砖面积，设需要块，根据方砖块数×每块方砖的面积=客厅面积（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设需要x块。 (5×5)x=250×(4×4) 25x=250×16 25x=4000 25x÷25=4000÷25 x=160 答：需要160块。 用比例解行程问题 【例题】天津到济南高速公路距离大约为320千米，北京到天津大约为120千米，一辆汽车从北京出发经天津开往济南，当行驶到天津时用了1.5小时，按照这个速度，北京到济南全程需要多少小时？（用比例知识解答） 【思路分析】由于按照这个速度，说明速度不变，根据公式：路程÷时间＝速度，根据比和除法的关系，比号相当于除号，即路程∶时间＝速度（一定），说明路程和时间成正比例关系；可以设北京到济南全程需要x小时，用北京到天津的路程∶北京到天津的时间＝北京到济南的路程∶北京到济南的时间，据此即可列比例，再解比例即可。 【解题步骤】解：设北京到济南全程需要x小时。 120∶1.5＝（320＋120）∶x 120x＝440×1.5 120x＝660 x＝660÷120 x＝5.5 答：北京到济南全程需要5.5小时。 甲城到乙城的高速公路大约长200千米，乙城到丙城的高速公路大约长280千米，一辆汽车从甲城出发经乙城开往丙城，当行驶到乙城时用了2.5小时，按照这个速度，该车从甲城到丙城大约需要多少时间？ 【分析】由于按照这个速度，说明速度不变，根据公式：路程÷时间＝速度，根据比和除法的关系，比号相当于除号，即路程∶时间＝速度（一定），说明路程和时间成正比例关系；可以设甲到丙全程需要x小时，用甲到乙的路程∶甲到乙的时间＝甲到丙的路程∶甲到丙的时间，据此即可列比例，再解比例即可。 【详解】解：设甲到丙全程需要x小时。 200∶2.5＝（200＋280）∶x 200x＝480×2.5 200x＝1200 x＝1200÷200 x＝6 答：该车从甲城到丙城大约需要5.5小时。 复杂的比例行程问题 【例题】甲、乙、丙进行400米赛跑（假设他们的速度保持不变）。当甲到达终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有58米。那么，乙到达终点时，丙离终点还有（    ）米。 A．18 B．20 C．22 D．24 【思路分析】根据题意，当甲到达终点时，甲跑了400米，乙跑了米，丙跑了米。他们的速度保持不变，所以速度比不变，速度＝路程÷时间，故相同的时间，他们的路程比不变。假设当乙到达终点时，丙跑了米，根据乙和丙的路程比不变，列比例方程为，400米减去丙跑的路程，即可算出此时丙离终点还有多少米。 【解题步骤】当甲到达终点时，乙跑了：（米） 当甲到达终点时，丙跑了：（米） 设当乙到达终点时，丙跑了米， （米） 即当乙到达终点时，丙离终点还有20米； 故答案为：B 甲、乙、丙三人进行100米短跑赛。甲到终点时，乙跑了80米，丙离终点30米。那么，当乙到终点时，丙离终点还有多远？（用比例解） 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，速度和路程成正比例，据此求出乙和丙的速度的比；然后设当乙到终点时，丙还有x米，根据乙丙跑的路程的比＝乙丙的速度比，列出比例，求出当乙到终点时，丙还有多少米即可。 【详解】80∶（100－30） ＝80∶70 ＝8∶7 解：设当乙到终点时，丙还有x米， 100∶（100－x）＝8∶7 8×（100－x）＝100×7 800－8x＝700 800－8x＋8x＝700＋8x 700＋8x＝800 700＋8x－700＝800－700 8x＝100 8x÷8＝100÷8 x＝12.5 答：丙离终点还有12.5米。 一．选择题（共6小题） 1．下列说法中错误的是（ ）。　　 A．每本练习册的价钱一定，总价和练习册的本数成正比例关系。 B．实际距离和图上距离的比叫作比例尺。 C．在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【分析】两个相关联的量，比值一定，则成正比例； 图上距离与实际距离的比，就是一幅图的比例尺； 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的基本性质。 【解答】解：单价总价数量，每本练习册的价钱一定，总价和练习册的本数成正比例；原题说法正确； 图上距离与实际距离的比叫作比例尺，原题说法错误； 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，原题说法正确。 说法中错误的是选项。 故选：。 2．如果和均不为零），那么和（ ）。　　 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法比较 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 【解答】解： ，是一定值，所以和成正比例关系。 故选：。 3．下列每组相关联的两个量的关系可以用如图表示的是（ ）。　　 A．六（1）班今天的出勤人数和缺勤人数 B．路程一定时，速度和时间 C．圆的周长与该圆的直径 D．圆柱的体积和圆锥的体积 【分析】根据图示是一条直线，即为正比例，相对应的两个数的比值（商一定即可解答。 【解答】解：、出勤人数缺勤人数全班人数（一定），是和一定，所以出勤人数和缺勤人数不成比例关系，故错误； 、速度时间路程（一定），是乘积一定，所以行驶的速度和所用的时间成反比例关系，故错误； 、圆的周长，圆的周长和直径的比值一定，所以圆的周长和它的直径成正比例关系，故正确 、底面积和高不确定，圆柱的体积和圆锥的体积没有关系，不成比例，故错误； 故选：。 4．下面各选项中的两种相关联的量，不成比例关系的是（ ）。　　 A．每分钟打字速度一定，打字总数和打字时间。 B．长方形的面积一定，它的长和宽。 C．圆柱的体积和与它等底等高的圆锥的体积。 D．修一条公路，已修米数和未修米数。 【分析】根据正反比例的意义，逐项分析题干中的数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系或者是否成比例关系。 【解答】解：选项：根据打字总数打字时间每分钟打字速度（一定），比值一定，所以打字总数和打字时间成正比例； 选项：长宽长方形的面积（一定），即积一定，所以它的长和宽成反比例； 选项：圆柱的体积和它等底等高的圆锥的体积（一定），圆柱的体积和与它等底等高的圆锥的体积成正比例； 选项：已修的未修的米数全长（一定），和一定，所以已修的和未修的米数不成比例。 故选：。 5．下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（ ）。　　 A．读一本书，已经读了的页数与未读的页数。 B．小光的年龄和妈妈的年龄。 C．平行四边形的面积一定，它的底和高。 D．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。否则不成比例。 【解答】解：：已经读的页数未读的页数总页数（一定），是和一定，所以读一本书，已经读了的页数与未读的页数不成比例； ：妈妈年龄小光年龄年龄差（一定），是差一定，所以小光的年龄和妈妈的年龄不成比例； ：平行四边形的面积底高，平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例； ：出勤人数总人数出勤率（一定），商一定，所以出勤人数和总人数成正比例。 故选：。 6．下列关系式中，能表示和成反比例的是（ ）。　、均不为 A． B． C． D． 【分析】成反比例关系的两个量的积一定，所以、的积一定的选项中、成反比例。 【解答】解：选项中、的差一定，、不成反比例关系； 选项中、的和一定，、不成反比例关系； 选项中、的比值一定，、不成反比例关系； 选项的等式可以变形为，即、的积一定，所以、成反比例关系。 故选：。 二．填空题（共8小题） 7．如果，那么和成 　反　比例，三角形的面积一定，底和高成 　　比例。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】解：如果，那么，是乘积一定，和成反比例； 三角形的面积底高，当三角形的面积一定时，它的底和高成反比例。 故答案为：反；反。 8．、是两个相关联的量，且均不等于0。如果，那么与成 　正　比例关系；如果，那么与成 　　比例关系。 【分析】根据成正比例的两个量的比值一定，成反比例的两个量的乘积一定，判断即可。 【解答】解：、是两个相关联的量，且均不等于0。如果，（一定），那么与成正比例关系；如果，，（一定），那么与成反比例关系。 故答案为：正，反。 9．如果、都不为，那么 　　，和成 　　比例。 【分析】根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，求出与的比值，根据判断成什么比例的方法判断即可。 【解答】解：如果、都不为，那么，所以（一定），比值一定，所以和成正比例。 故答案为：；正。 10．如果，当一定时， 和成　反　比例．当一定时，和成　 　比例． 【分析】根据正比例的意义和反比例的意义：即看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例；进行解答即可． 【解答】解：如果，当一定时，即：（一定），则和成反比例； 当一定，即：（一定），则和成正比例； 故答案为：反，正． 11．如图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成 　正　比例。照这样计算，该汽车5.5小时行驶 　　。 【分析】（1）根据正比例的意义和反比例的意义进行解答即可； （2）先根据“路程时间速度”求出汽车的速度，进而根据“速度时间路程”进行解答即可。 【解答】解：（1）根据图可知：；；；；；即路程时间速度（一定），所以路程和时间成正比例关系； （2）（千米） 答：该汽车5.5小时行驶550千米。 故答案为：正，550。 12．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，　小芳　的路程与时间成正比例（填小明或者小芳）；小明追上小芳所需的时间为 　　分钟，此时他们都走了 　　米。 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。根据题意，结合路程与时间的关系图解答即可。 【解答】解：（米分） （米分） 路程时间速度，速度是一定值，所以小芳路程与时间成正比例。 （分钟） 小明追上小芳所需的时间为5分钟，此时他们都走了560米。 故答案为：小芳；5；560。 13．如图所示图象表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成 　正　比例关系。（填“正”或“反” （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是 　　。（填“香蕉”或“苹果” （3）买3千克苹果要用 　　元，20元可以买 　　千克香蕉。 【分析】（1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。 （2）从图中获得数据，香蕉的单价高于苹果的单价。 （3）单价数量总价，总价单价数量，代入即可。 【解答】解：（1）从图中可以看出，香蕉的总价和购买的数量成正比例。 （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉。 （3）（元） （千克） 买3千克苹果要用12元，20元可以买2.5千克香蕉。 故答案为：（1）正。（2）香蕉。（3）12，2.5。 14．一辆小汽车在高速上行驶路程与耗油量如表所示。 行驶路程千米 20 40 60 80 100 耗油量升 1.5 3 4.5 6 7.5 （1）这辆小汽车行驶路程与耗油量成 　正　比例关系。 （2）照这样计算，小汽车行驶240千米的耗油量是 　　升，小汽车的油箱容积是45升，加满油可以行驶 　　千米。 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）先用耗油量除以路程，求出每千米的耗油量，再乘240即可。然后用45除以每千米的耗油量解答即可。 【解答】解：（1）因为 耗油量路程（一定），商一定，所以汽车行驶的路程与耗油量成正比例关系； （2）（升 （千米） 答：行驶耗油18升。小汽车的油箱容积是45升，加满油可以行驶。 故答案为：正；18；600。 三．判断题（共5小题） 15．小新跳高的高度和身高不成比例．　　．（判断对错） 【分析】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例；如果比值或乘积不一定，就不成比例． 【解答】解：小新跳高的高度和身高这两种相关联的量，它们的比值或乘积都不一定，所以不成比例； 故答案为：． 16．笑笑每天步行上学，她的步行平均速度与上学路上所花时间成反比例关系。 　　（判断对错） 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【解答】解：步行的平均速度上学路上所花时间上学的路程（一定） 乘积一定，则她的步行平均速度与上学路上所花时间成反比例。 原题说法正确。 故答案为：。 17．当梯形的上、下底之和一定时，梯形的面积与高成正比例。 　　（判断对错） 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商一定，这两种相关联的量成正比例；据此解答。 【解答】解：梯形的面积高（上底下底），上底与下底的和一定，它们的和的就一定，是梯形的面积与高的比值一定，所以它的面积与高成正比例关系。原题说法正确。 故答案为：。 18．同一时刻，同一地点，旗杆的高度与它影子的长度成正比例关系。　　（判断对错） 【分析】两个相关联的量它们的比值（商一定，这两个量就成正比例关系，否则不成正比例关系，据此解答。 【解答】解：在同一时间，同一地点，物体的影长：物体的高度每米物体的影长（比值一定）。所以，同一时刻，同一地点，旗杆的高度与它影子的长度成正比例关系。本题说法正确。 故答案为：。 19．圆周长一定，圆周率和直径成反比例． 　错误　．（判断对错） 【分析】成反比例关系的特征：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系；因为圆周率是定量，不能随着圆直径的变化而变化，所以即使圆周长一定，圆周率和直径也不成反比例． 【解答】解：因为圆周率是定量，不能随着圆直径的变化而变化， 所以即使圆周长一定，圆周率和直径也不成反比例； 故判断为：错误． 四．解答题（共4小题） 20．买笔记本的数量和总价的关系如表： 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 6 （1）将表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）数量和总价之间成 　正　比例。 （4）如果买9本笔记本，需要 　　元钱，19.5元能买 　　本笔记本。 【分析】（1）根据表格中的数据规律，相对应数的商相等填表即可； （2）根据表格中的数据描点画图即可； （3）根据两个数量相对应的数的商一定，再根据正比例的意义可进行判断； （4）利用单价一定，总价与数量成正比例解答即可。 【解答】解：（1） 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 （2）； （3），，， 所以数量和总价之间成正比例； （4）设需要元。 设可以买本。 所以如果买9本笔记本，需要13.5元钱，19.5元能买13本笔记本。 故答案为：（1）4.5；7.5；9；10.5；（3）正；（4）13.5；13。 21．小美给一间房屋的地面铺方砖，可选方砖的尺寸与所需数量如表所示。（每块方砖都用完） 每块方砖的边长 2 3 4 6 每块方砖的面积 4 9 16 所需方砖的数量块 360 160 （1）将表格填写完整。 （2）每块方砖的 　面积　与所需方砖的数量成 　　比例。 （3）如果用边长为12分米的方砖铺这间房屋，需要多少块这样的方砖？ 【分析】（1）根据方砖的边长，利用正方形面积公式：，计算每块方砖的面积；求出房屋地面的面积，再用房屋地面的面积分别除以方砖的面积，就能求出方砖的块数； （2）两种相关联的量如果是乘积一定，就成反比例，如果比值一定，就成正比例。据此进行判断即可完成填空； （3）根据方砖的边长，利用正方形面积公式：，计算每块方砖的面积，再用房屋地面的面积除以方砖的面积，计算所需方砖的块数。 【解答】解：（1）（平方分米） （块 （块 如表： 每块方砖的边长 2 3 4 6 每块方砖的面积 4 9 16 36 所需方砖的数量块 360 160 90 40 （2）（一定） 答：每块方砖的面积与所需方砖的数量成反比例。 （3） （块 答：需要12块这样的方砖。 故答案为：面积，反。 22．下面是某辆汽车行驶路程与耗油量的对应数值表。 所行路程 0 5 10 15 20 25 耗油量 0 1 2 3 4 5 （1）汽车的行驶路程与耗油量成 　正　比例关系。（填“正”或“反” （2）把这辆汽车的行驶路程与耗油量所对应的点在右下图中描出来，并连线。 （3）所行驶路程用表示，耗油量用表示，写出与的关系式。 （4）这辆汽车行驶125千米的耗油量是 　　升。 【分析】（1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。 （2）根据给出的信息作图即可。 （3）定值。 （4）解比例即可。 【解答】解：（1）汽车的行驶路程与耗油量的比是一个定值，所以汽车的行驶路程与耗油量成正比例关系。 （2） （3）。 （4） 答：这辆汽车行驶125千米的耗油量是25升。 故答案为：（1）正。（3）。（4）25。 23．书房的面积是，刚好用了32块地砖，卧室的面积是，用同样的地砖，需要多少块？ 【分析】根据题意知道，地砖的面积一定，房子的面积地砖的块数地砖的面积（一定），所以房子的面积与方砖的块数成正比例，由此列出比例解答即可。 【解答】解：设用同样的地砖，需要块。 答：用同样的地砖，需要40块。 24．周叔叔一家去自驾游，从地途径地，到达地。下面是行驶过程中的一些统计数据。 时间 1 2 3 4 路程 80 160 240 320 耗油量 10 20 30 40 二氧化碳排放 13.2 26.4 39.6 52.8 ①观察如表，　路程　和 　　成 　　比例。 ②第一天，从地出发时，汽车油箱里有汽油，要去距离的地，途中需要加油吗？ ③第二天，要从地去地，行了3小时，发现正好行了全程的，照这样的速度，到达地还需要多少小时？ 【分析】①观察表格可知，路程和时间成正比例，行驶路程和耗油量成正比例； ②根据表格中数据可知，行驶1千米耗油的数量是0.125升；然后用400乘行驶1千米耗油量，求出行驶400千米耗油量，再与45升比较即可； ③设路程为 ，行驶完全程还需要小时，运用路程和时间成正比例关系，列式计算。 【解答】解：①观察表格可知，，比值是80，所以路程和时间成正比例（答案不唯一）。 ② （升） ，所以途中需要加油。 答：途中需要加油。 ③设路程为 ，行驶完全程还需要小时。 答：到达地还需要1小时。 故答案为：路程；时间；正。（答案不唯一） 25．下面是一辆汽车行驶6小时路程和时间的统计表，根据统计表完成问题。 路程 80 160 240 320 400 480 时间时 1 2 3 4 5 6 （1）分别在图中描出各点并顺次连接。 （2）路程和时间成 　正　比例。 （3）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是，这辆汽车从甲地出发按这个速度行驶要 　　小时到达乙地。 【分析】（1）根据统计表中的数据描点，连线即可； （2）因为行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例；据此判断； （3）根据实际距离图上距离比例尺，代入数据求出实际距离，路程速度时间，据此用实际距离除以速度即可解答。 【解答】解：（1） （2）路程时间速度（一定），路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例； （3）（厘米） 20000000厘米千米 （小时） 答：这辆汽车从甲地出发按这个速度行驶要2.5小时到达乙地。 故答案为：正，2.5。 26．阅读材料，按要求完成填空。 材料：“水钟”中的数学问题 水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，是用来计时的工具。图1为一种多级漏刻，使用时让漏壶中的水慢慢滴入箭壶，随着箭壶内的水逐渐增多，箭杆被下方的浮子托着慢慢浮起，箭杆上的标记也就随着变化，古人看箭杆上的标记，就能知道具体的时刻。 为了探索箭杆上的标记与所经历的时间之间的关系，育才小学六年级数学兴趣小组的同学们制作了如图所示的简易漏刻装置，并记录箭杆上的数据如表： 箭杆上的标记厘米 5 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 所经历的时间分钟 0 1 2 3 4 5 （1）请你根据上表的数据，填写空格中箭杆的上升高度。 箭杆的上升高度厘米 0.4 0.8 1.2 1.6 　2.0　 2.4 所经历的时间分钟 1 2 3 4 5 6 （2）根据上述表格中的数据，你认为，箭杆的上升高度和所经历的时间成 　　关系（填“正比例”或“反比例” 。 （3）照这样推算，经过 　　分钟，箭杆会上升3.6厘米。用表示经历的时间，表示箭杆上升的高度，那么表示与之间关系的等式是 　　。 【分析】（1）用0分钟时箭杆上标的厘米数减去经过5分钟时箭杆上标的厘米数即可； （2）两个相关联的量，一种量变化，另一种量也跟着变化，这两种量比值一定成正比例关系，积一定成反比例关系； （3）用3.6厘米除以每分钟上升的高度即可；箭杆上升的高度经历的时间每分钟上升的高度0.4，据此解答即可。 【解答】解：（1）（厘米） 箭杆的上升高度厘米 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 所经历的时间分钟 1 2 3 4 5 6 （2）（厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） 箭杆的上升高度和所经历的时间比值一定，箭杆的上升高度和所经历的时间成正比例关系。 （3）（分钟） 照这样推算，经过9分钟，箭杆会上升3.6厘米。用表示经历的时间，表示箭杆上升的高度，那么表示与之间关系的等式。 故答案为：（1）2.0；（2）正比例；（3）9；。15216692872；邮箱：15216692872；学号：24686339 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正比例和反比例 知识要点 具体内容 正比例的意义 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量相对应的两个数的比值一定，那么这两种量叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。 2.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比 例关系就可以用式子表示为（一定）。 正比例的图像 两种量成正比例关系时，画出的两种量的关系图像是一条直线。 反比例的意义 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量相对应的两个数的积一定，那么这两种量叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 2.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系就可以用式子表示为（一定）。 正比例和反比例之间的关联 已知三种量x、y、z之间有数量关系xy=z，那么： （1）当x一定时，y与z成正比例； （2）当y一定时，x与z成正比例； （3）当z一定时，x与y成反比例。 根据正、反比例的意义求未知量 【例题】表中的x和y是两种相关联的量，若x和y 成正比例，则y＝（ ）；若x和y成反比例， 则y＝（ ）。 下表中a、b是两种相关联的量。 a 20 8 b 400 当＝1000，a和b成 比例。当＝ 时，a和b成反比例。 根据等式判断比例关系 【例题】如果4x＝3y（x、y都不为0），x∶y＝（ ）∶（ ），x和y成（ ）比例。如果a∶9＝10∶b（a、b都不为0），a和b成（ ）比例。 如果＝（y不为0），那么x和y成（ ）比例；如果x×3＝y÷（x、y都不为0），那么x和y成（ ）比例。 正比例图像的认识 【例题】如图是一个水龙头打开后出水量的变化情况。 （1）这个水龙头每分钟的出水量是 　 　升。 （2）这个水龙头的出水量与时间成 　　比例关系。 （3）照这样的速度，从这个水龙头流出150升水，需要 　　小时。 张师傅加工一批玩具时，加工时间与数量的变化情况如表。 加工时间时 0 1 2 3 4 5 加工数量个 0 12 24 36 48 60 （1）根据表中数据，在下图中描出加工时间和加工数量所对应的点，再把这些点依次连起来。 （2）加工玩具的数量与时间成正比例吗？为什么？ （3）6.5小时可以加工玩具 　 　个；加工102个玩具需要 　　小时。 正比例的应用 【例题】用100千克黄豆可以榨油16千克，照这样计算，50吨黄豆可以榨油多少吨？（用比例解） 江苏省淮盐产场是中国四大盐场之一。其中，一个晒盐场用100克海水可以晒出6克盐。如果一块盐田一次放入650吨海水，可以晒出多少吨盐？ 反比例的应用 【例题】一项工程，若每天工作8小时，则15天可以完成任务。要想12天完成任务，平均每天要工作多少小时？（用比例知识列方程解答） 小明家装修客厅，准备用边长为4分米的方砖铺，需要250块。如果改用边长为5分米的方砖铺，需要多少块？ 用比例解行程问题 【例题】天津到济南高速公路距离大约为320千米，北京到天津大约为120千米，一辆汽车从北京出发经天津开往济南，当行驶到天津时用了1.5小时，按照这个速度，北京到济南全程需要多少小时？（用比例知识解答） 甲城到乙城的高速公路大约长200千米，乙城到丙城的高速公路大约长280千米，一辆汽车从甲城出发经乙城开往丙城，当行驶到乙城时用了2.5小时，按照这个速度，该车从甲城到丙城大约需要多少时间？ 复杂的比例行程问题 【例题】甲、乙、丙进行400米赛跑（假设他们的速度保持不变）。当甲到达终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有58米。那么，乙到达终点时，丙离终点还有（    ）米。 A．18 B．20 C．22 D．24 甲、乙、丙三人进行100米短跑赛。甲到终点时，乙跑了80米，丙离终点30米。那么，当乙到终点时，丙离终点还有多远？（用比例解） 一．选择题（共6小题） 1．下列说法中错误的是（ ）。　　 A．每本练习册的价钱一定，总价和练习册的本数成正比例关系。 B．实际距离和图上距离的比叫作比例尺。 C．在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 2．如果和均不为零），那么和（ ）。　　 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法比较 3．下列每组相关联的两个量的关系可以用如图表示的是（ ）。　　 A．六（1）班今天的出勤人数和缺勤人数 B．路程一定时，速度和时间 C．圆的周长与该圆的直径 D．圆柱的体积和圆锥的体积 4．下面各选项中的两种相关联的量，不成比例关系的是（ ）。　　 A．每分钟打字速度一定，打字总数和打字时间。 B．长方形的面积一定，它的长和宽。 C．圆柱的体积和与它等底等高的圆锥的体积。 D．修一条公路，已修米数和未修米数。 5．下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（ ）。　　 A．读一本书，已经读了的页数与未读的页数。 B．小光的年龄和妈妈的年龄。 C．平行四边形的面积一定，它的底和高。 D．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数。 6．下列关系式中，能表示和成反比例的是（ ）。　、均不为 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 7．如果，那么和成 　 　比例，三角形的面积一定，底和高成 　　比例。 8．、是两个相关联的量，且均不等于0。如果，那么与成 　 　比例关系；如果，那么与成 　　比例关系。 9．如果、都不为，那么 　 　，和成 　　比例。 10．如果，当一定时， 和成　 　比例．当一定时，和成　 　比例． 11． 如图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成 　 比例。照这样计算，该汽车5.5小时行驶 　　。 12．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，　 　的路程与时间成正比例（填小明或者小芳）；小明追上小芳所需的时间为 　 　分钟，此时他们都走了 　　米。 13．如图所示图象表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成 　 　比例关系。（填“正”或“反” （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是 　　。（填“香蕉”或“苹果” （3）买3千克苹果要用 　　元，20元可以买 　　千克香蕉。 14．一辆小汽车在高速上行驶路程与耗油量如表所示。 行驶路程千米 20 40 60 80 100 耗油量升 1.5 3 4.5 6 7.5 （1）这辆小汽车行驶路程与耗油量成 　 　比例关系。 （2）照这样计算，小汽车行驶240千米的耗油量是 　　升，小汽车的油箱容积是45升，加满油可以行驶 　　千米。 三．判断题（共5小题） 15．小新跳高的高度和身高不成比例．　　 16．笑笑每天步行上学，她的步行平均速度与上学路上所花时间成反比例关系。 　　 17．当梯形的上、下底之和一定时，梯形的面积与高成正比例。 　　 18．同一时刻，同一地点，旗杆的高度与它影子的长度成正比例关系。　　 19．圆周长一定，圆周率和直径成反比例． 　 　 四．解答题（共4小题） 20．买笔记本的数量和总价的关系如表： 数量（本） 1 2 3 4 5 6 7 总价（元） 1.5 3 6 （1）将表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）数量和总价之间成 　正　比例。 （4）如果买9本笔记本，需要 　　元钱，19.5元能买 　　本笔记本。 21．小美给一间房屋的地面铺方砖，可选方砖的尺寸与所需数量如表所示。（每块方砖都用完） 每块方砖的边长 2 3 4 6 每块方砖的面积 4 9 16 所需方砖的数量块 360 160 （1）将表格填写完整。 （2）每块方砖的 　 　与所需方砖的数量成 　　比例。 （3）如果用边长为12分米的方砖铺这间房屋，需要多少块这样的方砖？ 22．下面是某辆汽车行驶路程与耗油量的对应数值表。 所行路程 0 5 10 15 20 25 耗油量 0 1 2 3 4 5 （1）汽车的行驶路程与耗油量成 　 　比例关系。（填“正”或“反” （2）把这辆汽车的行驶路程与耗油量所对应的点在右下图中描出来，并连线。 （3）所行驶路程用表示，耗油量用表示，写出与的关系式。 （4）这辆汽车行驶125千米的耗油量是 　　升。 23．书房的面积是，刚好用了32块地砖，卧室的面积是，用同样的地砖，需要多少块？ 24．周叔叔一家去自驾游，从地途径地，到达地。下面是行驶过程中的一些统计数据。 时间 1 2 3 4 路程 80 160 240 320 耗油量 10 20 30 40 二氧化碳排放 13.2 26.4 39.6 52.8 ①观察如表，　 　和 　　成 　　比例。 ②第一天，从地出发时，汽车油箱里有汽油，要去距离的地，途中需要加油吗？ ③第二天，要从地去地，行了3小时，发现正好行了全程的，照这样的速度，到达地还需要多少小时？ 25．下面是一辆汽车行驶6小时路程和时间的统计表，根据统计表完成问题。 路程 80 160 240 320 400 480 时间时 1 2 3 4 5 6 （1）分别在图中描出各点并顺次连接。 （2）路程和时间成 　 　比例。 （3）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是，这辆汽车从甲地出发按这个速度行驶要 　　小时到达乙地。 26．阅读材料，按要求完成填空。 材料：“水钟”中的数学问题 水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，是用来计时的工具。图1为一种多级漏刻，使用时让漏壶中的水慢慢滴入箭壶，随着箭壶内的水逐渐增多，箭杆被下方的浮子托着慢慢浮起，箭杆上的标记也就随着变化，古人看箭杆上的标记，就能知道具体的时刻。 为了探索箭杆上的标记与所经历的时间之间的关系，育才小学六年级数学兴趣小组的同学们制作了如图所示的简易漏刻装置，并记录箭杆上的数据如表： 箭杆上的标记厘米 5 4.6 4.2 3.8 3.4 3.0 所经历的时间分钟 0 1 2 3 4 5 （1）请你根据上表的数据，填写空格中箭杆的上升高度。 箭杆的上升高度厘米 0.4 0.8 1.2 1.6 　2.0　 2.4 所经历的时间分钟 1 2 3 4 5 6 （2）根据上述表格中的数据，你认为，箭杆的上升高度和所经历的时间成 　　关系（填“正比例”或“反比例” 。 （3）照这样推算，经过 　　分钟，箭杆会上升3.6厘米。用表示经历的时间，表示箭杆上升的高度，那么表示与之间关系的等式是 　　。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$