专题02 相交线与平行线（3考点梳理+14题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题02 相交线与平行线（3考点梳理+14题型解读+提升训练） 清单01 相交线 1.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 2.同位角（F型）：在截线的同旁, 又分别在直线的相同一侧的位置。 3.内错角（Z型）：在截线的两旁, 又分别在直线之间。 4.同旁内角（U型）：在截线的同旁, 又分别在直线之间。 5. 两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。 6.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。 其中一条直线叫做另一条直线的斜线 。 7.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线 。它们的交点叫垂足。 8.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。 9.垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 10.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 清单02 平行线 1.平行线概念：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如直线、是平行线，记作： 2.两条直线平行的判定 方法1 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 图形：如下左图； 符号： 方法2 文字：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 图形： 如上中图； 符号： 方法3 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 图形：如上右图； 符号： 3.平行线的性质 基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行的传递性：若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 即：若，则a//c. 平行线的性质1：两直线平行，同位角相等. 图形：如下左图； 符号： 平行线的性质2：两直线平行，内错角相等. 图形：如上中图； 符号： 平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。 图形：如上右图； 符号： 4.两平行线间的距离：两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。 清单03 命题与证明 1 命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 2 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 3 证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 【考点题型一】对顶角相等（） 【例1】（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 【变式1-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时， ． 【变式1-3】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【考点题型二】垂线的定义理解（） 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行； D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式2-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线，交于点，为过点的射线，若，，则直线和的夹角度数为 ，直线与所在直线的位置关系是 ．    【变式2-3】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线，交于点，，，则的度数为 ． 【考点题型三】点到直线的距离（） 【例3】（21-22七年级下·上海松江·期中）如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【变式3-1】（2023七年级下·上海·专题练习）下列图形中，线段的长表示点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在三角形中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长度，线段的长度是点 到直线 的距离． 【变式3-3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【考点题型四】用直尺、三角板画平行线（） 【例4】（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【变式4-1】（22-23七年级下·上海静安·期中）如图，在中，    (1)画出点A到边的垂线，垂足为D． (2)过点A作的平行线． (3)点A到直线的距离是线段______的长度． 【变式4-2】（20-21七年级下·上海宝山·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．    (1)找一格点D，使得直线，画出直线． (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足． 【变式4-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）按要求作图，并填空． (1)过点作直线的垂线和平行线，分别交直线，于点，； (2)点到直线的距离是线段______的长度． 【考点题型五】同位角、内错角、同旁内角（） 【例5】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式5-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 【变式5-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，与是直线和直线被直线 所截而得到的 角． 【变式5-3】（21-22七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE． ∠A的同位角是　　． ∠ABD的内错角是 　　． 点B到直线AC的距离是线段 　　的长度． 点D到直线AB的距离是线段 　　的长度． 【考点题型六】平行公理推论的应用（） 【例6】（22-23七年级下·上海静安·期中）下列说法中，正确的个数有（      ） ①在同一平面上垂直于同一条直线的两条直线平行；②同位角相等；③两直线平行，内错角相等；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6-1】（21-22七年级下·上海·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 【变式6-2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，若，，，那么 ． 【变式6-3】（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线上，，说明与平行的理由． 【考点题型七】同位角相等两直线平行（） 【例7】（22-23七年级下·上海虹口·期末）下列各图中，已知，则可以得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式7-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么 ． 【变式7-2】（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，过直线外一点D画已知直线AB的平行线．首先画直线AB，将三角尺的一边紧靠直线AB，将直尺紧靠三角尺的另一边；然后将三角尺沿直尺下移；最后当三角尺原紧靠直线AB的那一边经过点D时，画直线CD．这样就得到CD∥AB．这种画法的依据是 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　　） 【变式7-4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【考点题型八】内错角相等两直线平行（） 【例8】（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在四边形中，，可以判断 ，理由是 ． 【变式8-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，则 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，请写出所有的平行线，并说明理由． 【变式8-4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，，，证明：． 【考点题型九】同旁内角互补两直线平行（） 【例9】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【变式9-1】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，下列条件中： （1）∠B+∠BCD＝180°； （2）∠1＝∠2； （3）∠3＝∠4； （4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有 个． 【变式9-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【变式9-4】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB//EF的理由． 【考点题型十】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例10】（22-23七年级下·上海静安·期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（    ） A．相等或互补 B．相等 C．互补 D．以上都不对 【变式10-1】（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知AB∥MN∥DC，AD∥BC，∠CBD＝∠CDB，则图中与∠CBD相等的角除了∠CDB外还有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式10-2】（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．    【变式10-3】（20-21七年级下·上海静安·期中）已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．    (1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．    (2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由． 【考点题型十一】根据平行线的性质求角的度数（） 【例11】（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、两点分别落在直线、上，若，则的度数为 ． 【变式11-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，则 ． 【变式11-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，如果平分，，，那么的度数是 ． 【变式11-3】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【考点题型十二】根据平行线判定与性质证明（） 【例12】（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图所示，能说明AB∥DE的有（　　） ①∠1＝∠D；②∠CFB+∠D＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠D． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，．请填写的理由． 解：因为 所以， 得（等量代换）， 所以（_____） 得（_____） 由 得_____=_____（_____） 所以（_____） 所以（两直线平行，同位角相等） 【变式12-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，交于点，且，求证：平分． 【考点题型十三】根据平行线的判定与性质求角度（） 【例13】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，，那么三者之间的关系为（    ）．    A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为 ． 【变式13-3】（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，已知是的平分线，且，，求的度数．    ∵是的平分线（已知） ∴____=____(___) 又∵（已知）（完成以下说理过程） 【考点题型十四】判断命题真假（） 【例14】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【变式14-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下列命题是真命题的有（　　）个 ①“画线段”不是命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式14-2】（2024七年级下·上海·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．同位角相等 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式14-3】（20-21七年级下·上海徐汇·期中）下列说法正确的是（     ） A．两条平行线之间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离； B．经过一点一定有一条直线与已知直线平行； C．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补； D．垂直于同一条直线的两条直线平行． 【提升训练】 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 3．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 4．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，平分，平分，且，下列结论： ①； ②平分； ③； ④． 其中正确的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，则 ， ， ． 6．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，与是 角，与是 角． 7．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，，那么的度数 ． 8．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，，，平分，则 三、解答题 9．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    10．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线与平行线（3个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 相交线 1.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 2.同位角（F型）：在截线的同旁, 又分别在直线的相同一侧的位置。 3.内错角（Z型）：在截线的两旁, 又分别在直线之间。 4.同旁内角（U型）：在截线的同旁, 又分别在直线之间。 5. 两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。 6.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。 其中一条直线叫做另一条直线的斜线 。 7.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线 。它们的交点叫垂足。 8.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。 9.垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 10.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 清单02 平行线 1.平行线概念：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如直线、是平行线，记作： 2.两条直线平行的判定 方法1 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 图形：如下左图； 符号： 方法2 文字：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 图形： 如上中图； 符号： 方法3 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 图形：如上右图； 符号： 3.平行线的性质 基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行的传递性：若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 即：若，则a//c. 平行线的性质1：两直线平行，同位角相等. 图形：如下左图； 符号： 平行线的性质2：两直线平行，内错角相等. 图形：如上中图； 符号： 平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。 图形：如上右图； 符号： 4.两平行线间的距离：两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。 清单03 命题与证明 1 命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 2 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 3 证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 【考点题型一】对顶角相等（） 【例1】（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角．利用对顶角的定义及邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：如图，， ∵与互余， ∴与互余， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，对顶角相等的性质，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键． 由已知条件和观察图形，再利用垂直和角平分线的性质即可求出角的度数，再根据选项即可作出判断． 【详解】解：， ， 又， ， 平分， ， 和是对顶角， ， ， A选项说法正确， ， ， B选项说法正确， ， C选项说法正确， ， 的补角为， ∴D选项说法不正确， 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时， ． 【答案】/57度 【分析】根据垂直的定义求出，可得的度数，再根据对顶角相等即可得出答案． 本题考查了垂线，对顶角，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 【详解】解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 【考点题型二】垂线的定义理解（） 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下列语句中，正确的有（　　）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ④垂直于同一条直线的两条直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，同一平面内，两直线只有相交和平行两种位置关系，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可得答案． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ③在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，原说法正确； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法错误． 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B．如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； C．在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行； D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，同一平面内，两直线不相交就互相平行，同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得答案． 【详解】解：A、同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，不符合题意； B、同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面上，如果两条直线不相交，那么它们就一定平行，原说法正确，符合题意； D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线，交于点，为过点的射线，若，，则直线和的夹角度数为 ，直线与所在直线的位置关系是 ．    【答案】 垂直 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，根据的度数可得第一空的答案，根据平角的定义求出的度数即可得到第二空的答案． 【详解】解：∵， ∴直线和的夹角度数为； ∵， ∴， ∴， ∴直线与所在直线的位置关系是垂直， 故答案为：；垂直． 【变式2-3】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线，交于点，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，先由垂线的定义得到的度数，再求出的度数，最后根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型三】点到直线的距离（） 【例3】（21-22七年级下·上海松江·期中）如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离．利用点到直线的距离定义判断即可． 【详解】解：A、点B到的距离是线段的长，本选项错误，符合题意； B、点B到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； C、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； D、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意， 故选：A． 【变式3-1】（2023七年级下·上海·专题练习）下列图形中，线段的长表示点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断． 【详解】解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了点到到直线的距离的定义，解题关键在于熟练掌握点到直线距离定义． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在三角形中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长度，线段的长度是点 到直线 的距离． 【答案】 / C / 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离为该点到该直线的垂线段的长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度，线段的长度是点C到直线的长度， 故答案为：；C；． 【变式3-3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 【考点题型四】用直尺、三角板画平行线（） 【例4】（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 【变式4-1】（22-23七年级下·上海静安·期中）如图，在中，    (1)画出点A到边的垂线，垂足为D． (2)过点A作的平行线． (3)点A到直线的距离是线段______的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂线的画法画图即可； （2）根据平行线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，判断即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）如图，即为所求； （3）点A到直线的距离是线段的长度． 【点睛】本题考查了垂线，平行线，点到直线的距离，掌握相应的画法和定义是解题的关 【变式4-2】（20-21七年级下·上海宝山·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．    (1)找一格点D，使得直线，画出直线． (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直线的定义，平行线的定义画出图形即可． （2）根据直线的定义，垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）直线如图所示； （2）直线，点F如图所示．    【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式4-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）按要求作图，并填空． (1)过点作直线的垂线和平行线，分别交直线，于点，； (2)点到直线的距离是线段______的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画平行线，垂线，点到直线的距离； （1）根据要求画出图形即可． （2）根据点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：点到直线的距离是线段的长度． 【考点题型五】同位角、内错角、同旁内角（） 【例5】（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查了对顶角的性质、邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离、同旁内角的定义等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：① 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角不一定互为邻补角，故原说法错误； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误； ⑤如图，和不是同旁内角，故原说法错误； 综上可知，正确的说法是③，共1个， 故选：B 【变式5-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】本题考查三线八角，涉及三线八角定义及图形，根据定义及图形逐项验证即可得到答案，熟记三线八角定义、识别图形是解决问题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，说法正确，不符合题意； B、与是同位角，说法错误，符合题意； C、与是内错角，说法正确，不符合题意； D、与是内错角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，与是直线和直线被直线 所截而得到的 角． 【答案】 / 内错 【分析】本题考查了内错角的定义，两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截而得到的内错角． 故答案为：，内错． 【变式5-3】（21-22七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE． ∠A的同位角是　　． ∠ABD的内错角是 　　． 点B到直线AC的距离是线段 　　的长度． 点D到直线AB的距离是线段 　　的长度． 【答案】∠BDC、∠BED、∠EDC；∠BDC ；BD ；DE 【分析】根据两直线被第三条直线所截，位置相同的角是同位角，可得一个角的同位角，根据两直线被第三条直线所截，角位于两直线的中间，截线的两侧是内错角，可得一个角的内错角，根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离，可得答案． 【详解】解：∠A的同位角是∠BDC、∠BED、∠EDC， ∠ABD的内错角是∠BDC， 点B到直线AC的距离是线段 BD的长度， 点D到直线AB的距离是线段 DE的长度， 故答案为：∠BDC、∠BED、∠EDC；∠BDC ；BD ；DE． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键． 【考点题型六】平行公理推论的应用（） 【例6】（22-23七年级下·上海静安·期中）下列说法中，正确的个数有（      ） ①在同一平面上垂直于同一条直线的两条直线平行；②同位角相等；③两直线平行，内错角相等；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据平行线的判断和性质，平行公理分别判断即可． 【详解】解：①在同一平面上垂直于同一条直线的两条直线平行，故正确； ②两直线平行，同位角相等，故错误； ③两直线平行，内错角相等，故正确； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确； ∴正确的个数有3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行公理，平行线的判断和性质，是基础概念题，熟记概念是解题的关键． 【变式6-1】（21-22七年级下·上海·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 【答案】/ 【分析】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理的推论解答即可． 【详解】解∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用 【变式6-2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，若，，，那么 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟记两条直线平行，内错角相等是解决问题的关键．过点作，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-3】（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线上，，说明与平行的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性；由可分别得，则；由得，则，由平行的传递性质即可得与平行． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点题型七】同位角相等两直线平行（） 【例7】（22-23七年级下·上海虹口·期末）下列各图中，已知，则可以得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据平行线的判定条件逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A、，，， ， ，符合题意，选项正确； B、不能得到，不符合题意，选项错误； C、不能得到，不符合题意，选项错误； D、不能得到，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题关键． 【变式7-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知点A、、和点、、分别在同一直线上，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定，对顶角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：如图，设交于点M， ∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；． 【变式7-2】（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，过直线外一点D画已知直线AB的平行线．首先画直线AB，将三角尺的一边紧靠直线AB，将直尺紧靠三角尺的另一边；然后将三角尺沿直尺下移；最后当三角尺原紧靠直线AB的那一边经过点D时，画直线CD．这样就得到CD∥AB．这种画法的依据是 ． 【答案】同位角相等两直线平行． 【分析】根据同位角相等两直线平行解答即可． 【详解】如图，由画法可知∠BEF＝∠DFG， ∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）， 故答案为：同位角相等两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线判定方法的应用，熟练掌握同位角相等两直线平行是解答本题的关键． 【变式7-3】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　　） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先由对顶角相等和已知条件证明，进而可证明，再由平行线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质） ∴（同位角相等，两直线平行） 【变式7-4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【答案】对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可．掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：因为（对顶角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等． 【考点题型八】内错角相等两直线平行（） 【例8】（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，即可解答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项错误； B、根据，不能判定，故该选项错误； C、∵，∴，故该选项正确； D、根据，不能判定，故该选项错误； 故选：C． 【变式8-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在四边形中，，可以判断 ，理由是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行即可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行． 【变式8-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵（已知） ∴（内错角相等两直线平行） 故答案为：；． 【变式8-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，请写出所有的平行线，并说明理由． 【答案】，；理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平得出；根据等量代换可得，进而根据内错角相等两直线平行，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴; ∵，， ∴， ∴． 【变式8-4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，，，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定、垂直，解答本题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据已知条件证明，再根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型九】同旁内角互补两直线平行（） 【例9】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行．根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为与，不是同位角，也不是内错角，故不能判断两直线平行，故符合题意； 、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行）；故不符合题意； 故选：C． 【变式9-1】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 利用同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行对A、B、C进行判断；根据同旁内角互补，两直线平行对D进行判断． 【详解】解：A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，符合题意； D、当时，，不符合题意． 故选：C． 【变式9-2】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，下列条件中： （1）∠B+∠BCD＝180°； （2）∠1＝∠2； （3）∠3＝∠4； （4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有 个． 【答案】3 【分析】根据平行线的判定定理即可判断． 【详解】解：（1）∠B+∠BCD=180°，则AB∥CD； （2）∠1=∠2，则AD∥BC； （3）∠3=∠4，则AB∥CD； （4）∠B=∠5，则AB∥CD， 故能判定AB∥CD的条件个数有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【变式9-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【答案】65 【分析】本题考查平行线的判定，对顶角的性质，分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 先由对顶角的性质求得，再根据平行线的判定定理和角平分线的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：65． 【变式9-4】（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB//EF的理由． 【答案】见解析 【分析】根据同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行、平行公理即可得出AB∥EF． 【详解】解：， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、熟练运用平行公理是解决此题的关键． 【考点题型十】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例10】（22-23七年级下·上海静安·期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（    ） A．相等或互补 B．相等 C．互补 D．以上都不对 【答案】A 【分析】画出图形，根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行分析． 【详解】解：如图所示， 和，和两对角符合条件． ∴，或， 即两个角相等或互补， 故选：A．    【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题时要联想的平行线的性质定理，正确认识其基本图形，就不会忽视互补的情况． 【变式10-1】（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知AB∥MN∥DC，AD∥BC，∠CBD＝∠CDB，则图中与∠CBD相等的角除了∠CDB外还有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及角的等量代换进行判断即可得出结果． 【详解】解：如图，设MN交BD于点O． ∵AD∥BC，CD∥AB， ∴∠CBD＝∠ADB，∠ABD＝∠CDB， ∵∠CBD＝∠CDB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB， ∵CD∥MN， ∴∠CDB＝∠MOD， ∴∠MOD＝∠BON＝∠CBD， ∴与∠CBD相等的角有4个（除了∠CDB外）． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的基本性质，属于中考常考题型． 【变式10-2】（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线，、、、之间的数量关系是 ．    【答案】 【分析】过点作，，根据平行线的性质，可得，，，继而可得． 【详解】解：如图，过点作，过作   ， ， ， 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式10-3】（20-21七年级下·上海静安·期中）已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．    (1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．    (2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，如图1，由得，由得，则，所以； （2）如图2，根据平行线的性质由得，根据三角形外角性质得，所以，即． 【详解】（1）．理由如下： 过点作，如图1， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，， ， 而， ， 即．    【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【考点题型十一】根据平行线的性质求角的度数（） 【例11】（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、两点分别落在直线、上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线， ∴， 故答案为：． 【变式11-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而根据平角的定义可得，结合已知条件求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式11-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，如果平分，，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的相关计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再用平行线的性质即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【变式11-3】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十二】根据平行线判定与性质证明（） 【例12】（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，利用平行线的判定定理，逐一判断即可得出结论． 【详解】解：、， （同位角相等，两直线平行），故能判定； 、， （内错角相等，两直线平行），故能判定； 、， （同位角相等，两直线平行），故不能判定； 、， （同旁内角互补，两直线平行），故能判定； 故选：C． 【变式12-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图所示，能说明AB∥DE的有（　　） ①∠1＝∠D；②∠CFB+∠D＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠D． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线，根据以上知识逐条分析． 【详解】解：①∵∠1＝∠D， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）； ②∵∠CFB＝∠AFD（对顶角相等），又∠CFB+∠D＝180°， ∴∠AFD+∠D＝180°， ∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）； ③中的∠B和∠D不符合“三线八角”，不能构成平行的条件； ④∵∠BFD＝∠D， ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）； 所以①②④都能说明AB∥DE． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【变式12-2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，．请填写的理由． 解：因为 所以， 得（等量代换）， 所以（_____） 得（_____） 由 得_____=_____（_____） 所以（_____） 所以（两直线平行，同位角相等） 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据垂直的定义得到，得出，根据平行线的性质得到，再结合，得到，根据平行线的判定得到，即可得证． 【详解】解：因为 所以， 得（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行） 得（两直线平行，同旁内角互补） 由 得（同角的补角相等） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行． 【变式12-3】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，交于点，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的意义；根据已知得出，即可得出，结合已知等量代换可得，即可得证． 【详解】解： ， （已知） （垂直的意义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） 平分（角平分线的意义） 【考点题型十三】根据平行线的判定与性质求角度（） 【例13】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据，可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式13-1】（22-23七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，，那么三者之间的关系为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点E作，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键 【变式13-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为 ． 【答案】/144度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式13-3】（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，已知是的平分线，且，，求的度数．    ∵是的平分线（已知） ∴____=____(___) 又∵（已知）（完成以下说理过程） 【答案】，过程见解析． 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的判定与性质，求解即可． 【详解】解：∵是的平分线（已知） ∴ 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 【考点题型十四】判断命题真假（） 【例14】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理、命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；定理是通过逻辑推理证明为真的命题或公式．据此判断即可． 【详解】解：A．命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B．真命题不一定是定理，故此选项不符合题意； C．真命题的逆命题不一定是真命题，故此选项不符合题意； D．假命题的逆命题不一定是假命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式14-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下列命题是真命题的有（　　）个 ①“画线段”不是命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可． 【详解】解：①“画线段”不是命题；是真命题，符合题意； ②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；是假命题，不符合题意； ③“对顶角相等”的逆命题是假命题，不符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式14-2】（2024七年级下·上海·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．同位角相等 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】此题考查平行线的性质、命题与定理，根据平行线的性质，对顶角和垂直的判定解答即可． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式14-3】（20-21七年级下·上海徐汇·期中）下列说法正确的是（     ） A．两条平行线之间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离； B．经过一点一定有一条直线与已知直线平行； C．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补； D．垂直于同一条直线的两条直线平行． 【答案】A 【分析】利用平行公理、平行线的定义分别对四个选项进行判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A.两条平行线之间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，说法正确，符合题意； B.在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； C.如果两条平行直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补，原说法错误，不符合题意； D.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行公理、平行线的定义，难度不大． 【提升训练】 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，平行公理，两直线的位置关系，垂线的定义，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. 直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离，故该选项正确，符合题意； C. 同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，故该选项不正确，不符合题意； D. 同一平面内，如果两条直线不垂直，那么这两条直线相交或平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次再向左拐 D．第一次向左拐，第二次再向左拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 根据平行线的性质分别判断得出即可． 【详解】解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行， ∴两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等． A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，故此选项符合题意； B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，故此选项不符合题意； C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题的判断．对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．根据命题的概念逐一判断即可. 【详解】解：A、连接A、B两点，不是命题，故A不符合题意； B、画一条线段等于已知线段，不是命题，故B不符合题意； C、过点M作直线的垂线，不是命题，故C不符合题意； D、同旁内角不互补，两直线不平行，是命题，故D符合题意； 故选：D. 4．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，平分，平分，且，下列结论： ①； ②平分； ③； ④． 其中正确的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义， 根据平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义分别对每个小题进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 又∵平分，即， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， 又∵，， ， ∴， 故③正确； ④∵， ∴，． ∵无法证明， ∴无法证明． 故④不正确． 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，则 ， ， ． 【答案】 /度 /度 /度 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等；根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：；；． 6．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，与是 角，与是 角． 【答案】 同位 同旁内 【分析】此题考查了同位角、同旁内角的定义；根据同位角、同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可得，与是是同位角；与是是同旁内角； 故答案为：同位、同旁内． 7．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，，那么的度数 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 8．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，，，平分，则 【答案】/151度 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得，由角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，即可得出答案．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    【答案】的度数是，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，先根据平行线的性质得出与的度数，再由角平分线的性质即可得出结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：的度数是． 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 10．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，可得．再由，可得，即可求解； （2）过点作，可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）过点作的平行线．可得，进而得到，，再由的平分线和的平分线交于点，可得，，再由（2）得：，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$