专题01 任意角重难点题型专训（8大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题01 任意角重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 周期现象 题型二 任意角的概念 题型三 找出终边相同的角 题型四 根据图形写出角(范围) 题型五 轴线角 题型六 确定已知角所在象限 题型七 由已知角所在的象限确定某角的范围 题型八 确定n分角所在象限 知识点一 周期变化的应用 自然界中存在着丰富的周期变化，利用这些变化的周期性可以帮助人类解诀许多问题．例如，利用海水的潮汐发电，可解决能源紧张问题；利用候鸟的迁徙现象，可帮助人类研究生物的演变过程；利用一年四季的周期变化，可帮助农民种植农作物． 各种周期变化中，事物变化或者变化发生的重复出现，从数学的角度来研究，实际上是其中某些变量经过一个固定的时间间隔会出现重复变化，这个时间间隔就是周期． 知识点二：任意角 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”. (3)角的表示 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称=. (5)角的加、减法 ①角的加法 设,是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是+. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为-. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有-=+(-).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 知识点三 终边相同的角 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角. 一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. (4)角的终边的对称问题与垂直问题 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 α与β的终边关于直线y=x对称 α与β的终边关于直线y=-x对称 【经典例题一 周期现象】 【例1】（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）下列现象不是周期现象的是（    ） A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间 【答案】D 【分析】根据周期现象的定义逐一判断四个选项的正误即可得符合题意的选项., 【详解】对于A：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象； 对于B：分针每隔一小时转一圈，是周期现象； 对于C：天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象； 对于D：某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象， 故选：D. 1．（23-24高一下·全国·课后作业）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（    ） A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 【答案】B 【分析】利用时钟的周期为60分钟,分析100分是多少个周期,由此即可得到答案. 【详解】一个周期是60分钟,则100分钟是一个周期,故100分钟后分针指在10点处. 故选：B 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ． 【答案】4 【分析】分析运动的过程，先求出半个周期，即可求出整个周期. 【详解】简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过M、N两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等.那么平衡位置O到N点的时间t1=0.5，因过N点后再经过t2=1质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，所以振子从O点经过N点到最大位置，再返回平衡位置O点的时间是0.5+1+0.5=2，为半个周期，因此，质点振动的周期是T=2×2=4. 故答案为：4. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）钟表的分针每小时转一圈，它的变化是周期变化吗？ 【答案】是 【分析】根据周期变化的定义分析可得结论. 【详解】解：根据题意，钟表的分针每小时转一圈， 即钟表的分针每小时转一圈，分针会重复出现在同一位置，具有“周而复始”的变化规律， 符合周期变化的定义，其变化是周期变化. 【经典例题二 任意角的概念】 【例2】（2023高一上·浙江台州·专题练习）已知，则的余角是（    ） A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64° 【答案】A 【分析】根据余角的定义进行计算即可. 【详解】的余角为. 故选：. 1．（22-23高一上·全国·课后作业）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 【答案】B 【分析】由题意可得，，从而可求出，进而可得答案. 【详解】由题意可得，设，则 ， 解得， 所以射线绕端点顺时针旋转， 故选：B 2．（23-24高一上·福建南平·期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 . 【答案】 【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案. 【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）初中几何研究过角的度量，当时是用（角）度来作单位度量角的.那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？ 【答案】答案见解析 【分析】根据1°的角的定义可得结论. 【详解】规定周角的作为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关. 【经典例题三 找出终边相同的角】 【例3】（24-25高一上·甘肃·期末）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用终边相同的角的表示方法，逐一检验即得. 【详解】因为与角终边相同的角是，， ，则与角终边相同的角是， 而其他选项的角都不能用类似的式子表示． 故选：C． 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）与30°角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同角概念求解即可. 【详解】与30°角终边相同的角的集合是. 故选：C 2．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）在的范围内，与终边相同的角是 ． 【答案】 【分析】利用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】由， 可得在的范围内，与终边相同的角是. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知. (1)写出与角终边相同的角的集合； (2)写出在内与角终边相同的角. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据任意角的定义，即旋转周期，可得答案. （2）由（1）结论，可得，解出的值，即可得到答案. 【详解】（1）与角终边相同的角的集合为. （2）令，得. 又，∴k=-2，-1，0， ∴在内与角终边相同的角是，，. 【经典例题四 根据图形写出角(范围)】 【例4】（22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 1．（23-24高一·全国·课后作业）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只有当角的终边与在直线上时，与函数的图象无交点，其余情况一直有交点，结合选项可得答案． 【详解】当角的终边与直线重合时，角的终边与函数的图象无交点.又因为角的终边为射线， 所以，. 故选：C 2．（24-25高一上·天津津南·期中）如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    【答案】 【分析】根据图形分别表示终边为，的角的集合即可得到结果. 【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 3．（2024高一·全国·专题练习）写出如图所示阴影部分的角α的范围. （1） ； （2） . 【答案】（1）{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}；（2）{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}. 【分析】（1）分别写出与45°角终边相同的角和与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角，再表示出其范围. （2）分别写出与45°角终边相同的角和与－60°＋360°＝300°角终边相同的角，再表示出其范围. 【详解】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式， 与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式. 所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}. （2）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式， 与－60°＋360°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式， 所以图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}. 【经典例题五 轴线角】 【例5】（2022·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解 【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是 故选：A 1．（22-23高一下·上海·课后作业）终边在坐标轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】终点在坐标轴上的角每增加后终点依然落在坐标轴上， 【详解】解：任取一个角使其终边落在坐标轴上，不妨设为0，则该角每增加后终点依然落在坐标轴上， 故终边落在坐标轴上的角的集合为． 故选：． 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）象限角、轴线角的概念 （1）象限角：若角的顶点在 ，角的始边与 重合，则 ，就称这个角是第几象限角. （2）轴线角：若角的终边在 上，则这个角不属于任何象限. 【答案】 原点 x轴非负半轴 角的终边在第几象限 坐标轴 【分析】略 【详解】略 3．（22-23高一·江苏·课后作业）分别用弧度制表示下列角的集合： （1）终边落在x轴上的角； （2）终边落在y轴上的角． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用轴线角的表示即可求解. （2）利用轴线角的表示即可求解. 【详解】（1）设终边落在x轴上的角， 则. （2）设终边落在y轴上的角为， 则 【经典例题六 确定已知角所在象限】 【例6】（24-25高一上·广东东莞·期中）是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】分析可知的终边与的终边相同，结合象限角的定义可得结论. 【详解】因为，可知的终边与的终边相同， 而为第二象限角，所以是第二象限角. 故选：B. 1．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）若，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，所以与的终边相同，易知的终边在第三象限． 故选：C． 2．（24-25高一上·上海·课前预习）象限角：把角置于平面直角坐标系中，使得角的 与坐标原点重合，角的 与x轴的正半轴重合，此时角的 在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 【答案】 顶点 始边 终边 【解析】略 3．（2023高一上·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？ (1)420º； (2)－75º； (3)855º； (4)－510º 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据任意角在坐标系中的画法画图即可，（画图标准为：角的顶点在原点，始边在轴正半轴，正角逆时针旋转，负角顺时针旋转）进而可判断角所在象限. 【详解】解： 【经典例题七 由已知角所在的象限确定某角的范围】 【例7】（22-23高一上·陕西西安·期末）已知是第二象限角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第二象限角 【答案】B 【分析】先根据所在的象限确定的范围，从而确定的范围，讨论为偶数和为奇数时所在的象限即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以，， 则，， 当为偶数时，为第一象限角， 当为奇数时，为第三象限角. 故选：B. 1．（22-23高一下·宁夏银川·期中）已知α锐角，那么2α是（    ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 【答案】A 【分析】α锐角，0°<α<90°，进而得到0°<2α<180°. 【详解】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°， 故选：A． 2．（21-22高一下·陕西西安·阶段练习）终边落在第四象限内的角的集合可表示为 . 【答案】 【分析】按照第四象限角的概念直接写出即可. 【详解】终边落在第四象限内的角的集合可表示为. 故答案为：. 3．（23-24高一·江苏·课后作业）已知是第四象限角，分别确定，，是第几象限角． 【答案】，，分别是第一、二、三象限角. 【分析】由条件可得，然后分别算出，，的范围，即可得到答案. 【详解】因为是第四象限角，所以 所以，为第一象限角； ，为第二象限角； ，为第三象限角 【经典例题八 确定n分角所在象限】 【例8】（22-23高三上·新疆阿勒泰·阶段练习）若角是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：C. 1．（22-23高一·全国·课后作业）若是第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限； B．第三或第四象限； C．第一或第三象限； D．第二或第四象限． 【答案】D 【分析】根据是第三象限角的范围，可判断所在的象限. 【详解】因为为第三象限角, 即 , 所以,, 当 为奇数时, 是第四象限的角; 当 为偶数时, 是第二象限的角. 故选:D. 2．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）若是第三象限的角，则是第 象限角； 【答案】一或三 【分析】根据的范围求得的范围，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， ， 所以当为奇数时，在第三象限；当为偶数时，在第一象限. 故答案为：一或三 3．（21-22高一·全国·课后作业）若，，试确定，分别是第几象限角． 【答案】为第一象限角；为第一或第三象限角 【分析】分别求得和，根据对的取值的讨论可求得结果. 【详解】由得：，为第一象限角； 由得：， 当时，，则为第一象限角； 当时，，则为第三象限角； 综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角. 1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据分针与时针的特点求解即可. 【详解】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时， 根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内， 因此从1时开始，1时到2时之间重合一次，2时到3时之间重合一次 10时到11时之间重合一次，11时到13时之间重合一次（12时），13时到14时之间重合一次. 每个小时分针与时针会重合1次， 所以一共会重合12次. 故选：B. 2．（21-22高一上·全国·课后作业）已知集合，则M，P之间的关系为（　　） A．M=P B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据集合的关系即得. 【详解】因为， ， 所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定与角终边相同的角为，，再依次判断每个选项即可. 【详解】与角终边相同的角为，， 对选项A：取，不是整数解，A错误； 对选项B：取，不是整数解，B错误； 对选项C：取，，C正确； 对选项D：取，不是整数解，D错误. 故选：C 4．（21-22高一上·江西景德镇·期末）终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的定义即可写出答案. 【详解】终边在第四象限的角的集合是或. 故选：C. 5．（2022高一上·全国·专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可. 【详解】∵角的终边在第一象限， ∴，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限， 当时，此时的终边落在第二象限， 当时，此时的终边落在第三象限， 综上，角的终边不可能落在第四象限， 故选：D. 6．（22-23高一下·上海·课后作业）自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转 周． 【答案】 【分析】通过两个车轮转动的齿数相同，计算即可得出结果. 【详解】两个车轮转动的齿数相同，大轮有48齿，小轮有20齿， 当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿， 小轮转动周. 故答案为：. 7．（23-24高一下·全国·课前预习）终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 【答案】 【分析】略. 【详解】略. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角，都是锐角，且角的终边与角的终边相同，角的终边与角的终边相同，则 ， ． 【答案】 【分析】根据角，都是锐角，可得，，进而结合终边相同的角的特点求解即可. 【详解】因为角，都是锐角，所以，， 则，， 由题意可知，，， ，， 则，， 解得，. 故答案为：；. 9．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知角，则角的终边落在第 象限. 【答案】一 【分析】根据终边相同角及象限角的定义判断即可. 【详解】因为，所以角的终边与的终边重合， 又为第一象限角，所以角的终边落在第一象限. 故答案为：一 10．（21-22高一·全国·课后作业）若α是第二象限角，则180°－α是第 象限角． 【答案】一 【分析】利用象限角的定义进行求解. 【详解】若α是第二象限角，则，， 所以，， 即，， 所以180°－α是第一象限角． 故答案为：一. 11．（23-24高一·全国·课堂例题）k·360°，k·180°，k·90°要如何理解？能否进行推广？ 【答案】答案见解析 【详解】可以理解为每旋转360°，180°，90°，就到了所求角终边的位置．比如，终边落在坐标轴上：角的终边，每旋转90°，都落在坐标轴上，故角的集合可写成． 此表示可以进行推广．比如，终边落在直线y＝x上的角的集合：先确定一个角（一般情况下可以找直线的倾斜角）如45°，由于角的终边旋转180°后落在直线上，故所求集合可写成． 12．（24-25高一上·全国·课前预习）如图所示，角的终边是射线．角的终边与角的终边有什么关系？如何表示与角终边相同的角？    【答案】相同， 【详解】角的终边与角的终边相同， 角终边相同的角可表示为. 13．（23-24高一·上海·课堂例题）找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角是第几象限的角： (1)； (2)． 【答案】(1)与角的终边重合，第四象限角； (2)与角的终边重合，第二象限角. 【分析】（1）（2）将给定角写成，即可求解得答案. 【详解】（1），且， 所以角与角的终边重合，它是第四象限角. （2），且， 所以角与角的终边重合，它是第二象限角. 14．（22-23高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角 【分析】根据象限角的表示方法，得到和的表示，进而判定其象限，得到答案. 【详解】因为是第二象限角，所以， 可得， 所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角． 又由 ， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 【答案】答案见解析. 【分析】根据所在象限得出的取值范围，再分别计算出，，的范围，即可判断出所在象限. 【详解】∵是第三象限的角， ∴（）， ∴（）， ∴（）， ∴是第四象限的角. ∵（）， ∴（）， ∴是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角. ∵（）， ∴（）. 若（）， 则（）， ∴是第一象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第三象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第四象限的角， ∴是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 综上所述，结论是：是第四象限的角，是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角，是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 任意角重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 周期现象 题型二 任意角的概念 题型三 找出终边相同的角 题型四 根据图形写出角(范围) 题型五 轴线角 题型六 确定已知角所在象限 题型七 由已知角所在的象限确定某角的范围 题型八 确定n分角所在象限 知识点一 周期变化的应用 自然界中存在着丰富的周期变化，利用这些变化的周期性可以帮助人类解诀许多问题．例如，利用海水的潮汐发电，可解决能源紧张问题；利用候鸟的迁徙现象，可帮助人类研究生物的演变过程；利用一年四季的周期变化，可帮助农民种植农作物． 各种周期变化中，事物变化或者变化发生的重复出现，从数学的角度来研究，实际上是其中某些变量经过一个固定的时间间隔会出现重复变化，这个时间间隔就是周期． 知识点二：任意角 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”. (3)角的表示 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称=. (5)角的加、减法 ①角的加法 设,是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是+. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为-. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有-=+(-).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 知识点三 终边相同的角 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角. 一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. (4)角的终边的对称问题与垂直问题 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 α与β的终边关于直线y=x对称 α与β的终边关于直线y=-x对称 【经典例题一 周期现象】 【例1】（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）下列现象不是周期现象的是（    ） A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间 1．（23-24高一下·全国·课后作业）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（    ） A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）钟表的分针每小时转一圈，它的变化是周期变化吗？ 【经典例题二 任意角的概念】 【例2】（2023高一上·浙江台州·专题练习）已知，则的余角是（    ） A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64° 1．（22-23高一上·全国·课后作业）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 2．（23-24高一上·福建南平·期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 . 3．（24-25高一上·上海·课前预习）初中几何研究过角的度量，当时是用（角）度来作单位度量角的.那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？ 【经典例题三 找出终边相同的角】 【例3】（24-25高一上·甘肃·期末）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）与30°角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）在的范围内，与终边相同的角是 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知. (1)写出与角终边相同的角的集合； (2)写出在内与角终边相同的角. 【经典例题四 根据图形写出角(范围)】 【例4】（22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 1．（23-24高一·全国·课后作业）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津津南·期中）如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    3．（2024高一·全国·专题练习）写出如图所示阴影部分的角α的范围. （1） ； （2） . 【经典例题五 轴线角】 【例5】（2022·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·上海·课后作业）终边在坐标轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）象限角、轴线角的概念 （1）象限角：若角的顶点在 ，角的始边与 重合，则 ，就称这个角是第几象限角. （2）轴线角：若角的终边在 上，则这个角不属于任何象限. 3．（22-23高一·江苏·课后作业）分别用弧度制表示下列角的集合： （1）终边落在x轴上的角； （2）终边落在y轴上的角． 【经典例题六 确定已知角所在象限】 【例6】（24-25高一上·广东东莞·期中）是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 1．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）若，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一上·上海·课前预习）象限角：把角置于平面直角坐标系中，使得角的 与坐标原点重合，角的 与x轴的正半轴重合，此时角的 在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 3．（2023高一上·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？ (1)420º； (2)－75º； (3)855º； (4)－510º 【经典例题七 由已知角所在的象限确定某角的范围】 【例7】（22-23高一上·陕西西安·期末）已知是第二象限角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第二象限角 1．（22-23高一下·宁夏银川·期中）已知α锐角，那么2α是（    ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 2．（21-22高一下·陕西西安·阶段练习）终边落在第四象限内的角的集合可表示为 . 3．（23-24高一·江苏·课后作业）已知是第四象限角，分别确定，，是第几象限角． 【经典例题八 确定n分角所在象限】 【例8】（22-23高三上·新疆阿勒泰·阶段练习）若角是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 1．（22-23高一·全国·课后作业）若是第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限； B．第三或第四象限； C．第一或第三象限； D．第二或第四象限． 2．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）若是第三象限的角，则是第 象限角； 3．（21-22高一·全国·课后作业）若，，试确定，分别是第几象限角． 1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（21-22高一上·全国·课后作业）已知集合，则M，P之间的关系为（　　） A．M=P B． C． D． 3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·江西景德镇·期末）终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 5．（2022高一上·全国·专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（22-23高一下·上海·课后作业）自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转 周． 7．（23-24高一下·全国·课前预习）终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角，都是锐角，且角的终边与角的终边相同，角的终边与角的终边相同，则 ， ． 9．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知角，则角的终边落在第 象限. 10．（21-22高一·全国·课后作业）若α是第二象限角，则180°－α是第 象限角． 11．（23-24高一·全国·课堂例题）k·360°，k·180°，k·90°要如何理解？能否进行推广？ 12．（24-25高一上·全国·课前预习）如图所示，角的终边是射线．角的终边与角的终边有什么关系？如何表示与角终边相同的角？    13．（23-24高一·上海·课堂例题）找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角是第几象限的角： (1)； (2)． 14．（22-23高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 学科网（北京）股份有限公司 $$