专题02 互斥事件和独立事件重难点题型专训（7大题型+15道提优训练） -2024-2025学年高一年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第二册）

专题02 互斥事件和独立事件重难点题型专训（7大题型+15道提优训练） 题型一 判断所给事件是否是互斥关系 题型二 互斥事件的概率加法公式 题型三 利用互斥事件的概率公式求概率 题型四 互斥事件与对立事件关系的辨析 题型五 确定所给事件的对立关系 题型六 写出某事件的对立事件 题型七 利用对立事件的概率公式求概率 知识点一 事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 知识点二 互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 知识点三 相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【经典例题一 判断所给事件是否是互斥关系】 【例1】（24-25高二上·黑龙江·期末）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是（   ） A．“第一次出现的点数为1点”与“第二次出现的点数为2点”为互斥事件 B．“两次出现的点数之和大于6”与“两次出现的点数之和小于6”为对立事件 C．的概率为 D．的概率为 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 2．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 3．（2024高一下·全国·专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与恰有2名男生； (2)至少有1名男生与全是男生； (3)至少有1名男生与全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 【经典例题二 互斥事件的概率加法公式】 【例2】（24-25高二上·吉林四平·开学考试）甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.52 1．（24-25高三上·浙江金华·期末）甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知事件与互斥，且，，则 . 3．（24-25高一上·江西·期末）多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【经典例题三 利用互斥事件的概率公式求概率】 【例3】（24-25高三下·湖南·阶段练习）废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 1．（23-24高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 2．（24-25高二上·安徽·期中）现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是．问：从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率是多少？ 【经典例题四 互斥事件与对立事件关系的辨析】 【例4】（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在古典概型中，若A，B为互斥但不对立事件，则（    ）1. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）事件的互斥与对立 定义 表示法 图示 互斥 如果事件为 ，即 ，则称事件A，B互斥（或互不相容） 对立 如果某事件发生当且仅当事件不发生，则称该事件为的对立事件 或 3．（24-25高一下·全国·课后作业）从一批100件的产品中每次取出一个（取出后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件表示第次取到次品（，2，3），试用，，表示下列事件： (1)三次全取到次品； (2)只有第一次取到次品； (3)三次中至少有一次取到次品； (4)三次中恰有两次取到次品； (5)三次中至多有一次取到次品． 【经典例题五 确定所给事件的对立关系】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（   ） A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品 C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品 1．（24-25高二上·广西钦州·期末）掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）①若事件与事件是对立事件，则事件与事件互斥；②若事件与事件互斥，则事件与事件是对立事件；③若事件与事件是对立事件，则事件为必然事件；④若事件为必然事件，则事件与事件互斥． 上述命题中真命题有 ． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）抛掷一枚质地均匀的骰子，{向上的点数是1}，{向上的点数是2}，{向上的点数是1或2}. (1)事件A与事件B什么关系？ (2)，，三者之间存在怎样的关系？ (3)若{向上的点数不小于2}，则事件与事件什么关系，与存在怎样的关系？ 【经典例题六 写出某事件的对立事件】 【例6】（24-25高二上·湖北黄冈·期中）某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）掷一颗质地均匀的骰子，下列事件中与事件“向上的点数不超过3”互为对立的是（    ） A．向上的点数小于3 B．向上的点数大于3 C．向上的点数至少为3 D．向上的点数为3 2．（2024高一下·全国·专题练习）同时抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 ．（填序号） ①一个是5点，另一个是6点； ②一个是5点，另一个是4点； ③至少有一个是5点或6点； ④至多有一个是5点或6点． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件、事件的对立事件． (1)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”； (2)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”； (3)表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”； (4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”； (5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”； (6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”． 【经典例题七 利用对立事件的概率公式求概率】 【例7】（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·四川泸州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则甲、乙至少有一人中靶的概率为（    ） A．0.02 B．0.26 C．0.72 D．0.98 2．（24-25高二上·上海长宁·期末）已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 3．（24-25高二上·四川凉山·期末）翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． 1．（24-25高二上·四川南充·期末）某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于30 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染．该城市一年空气质量达到优或良的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州遵义·期末）新高考选科要求，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件C与事件D互斥 B． C．事件A与事件B对立 D． 4．（2025高二·安徽·学业考试）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 5．（24-25高三下·江苏淮安·开学考试）某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为1:4，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（    ） A．0.874 B．0.85 C．0.868 D．0.88 6．（2024高三·北京·专题练习）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是 ． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，，则 . 8．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知随机事件满足，则 ． 9．（24-25高一下·全国·随堂练习）甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则表示的含义是 ，事件“密码被破译”可表示为 ． 10．（24-25高一上·陕西·期末）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则1次活动中，甲获胜的概率为 ；2次活动中，甲1次都没获胜的概率为 ． 11．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 12．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 13．（24-25高二·上海·课堂例题）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 14．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 15．（24-25高二上·山东淄博·期末）在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: (1)只有 2 人通过体能测试的概率； (2)至少有 1 人通过体能测试的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 互斥事件和独立事件重难点题型专训（7大题型+15道提优训练） 题型一 判断所给事件是否是互斥关系 题型二 互斥事件的概率加法公式 题型三 利用互斥事件的概率公式求概率 题型四 互斥事件与对立事件关系的辨析 题型五 确定所给事件的对立关系 题型六 写出某事件的对立事件 题型七 利用对立事件的概率公式求概率 知识点一 事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 知识点二 互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 知识点三 相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【经典例题一 判断所给事件是否是互斥关系】 【例1】（24-25高二上·黑龙江·期末）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是（   ） A．“第一次出现的点数为1点”与“第二次出现的点数为2点”为互斥事件 B．“两次出现的点数之和大于6”与“两次出现的点数之和小于6”为对立事件 C．的概率为 D．的概率为 【答案】C 【分析】由互斥事件、对立事件的定义判断AB，根据古典概型，判断CD选项即可得答案. 【详解】先后抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种不同的情形． 对于A选项，“第一次出现的点数为1点”与“第二次出现的点数为2点”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误； 对于B选项，“两次出现的点数之和大于6”与“两次出现的点数之和小于6”不能同时发生， 是互斥事件，但是其中一个事件不发生时，另一个事件不一定发生（例如可发生“两次出现的点数之和为6”），所以不是对立事件，故B错误； 对于C选项，包含的样本点有，，共2个，所以，故C正确； 对于D选项，包含的样本点有，，，，，共5个， 所以，故D错误. 故选：C． 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 【答案】C 【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况，计算每个事件的概率，可得选项A错误；由相互独立的定义可知选项B错误，选项C正确；由互斥事件的概念可知选项D错误. 【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有： （1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213）， （1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314）， （2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224）， （1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种， 其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，. 由可得A与C不是对立事件，选项A错误. ，C与D不相互独立，选项B错误. ，A与D相互独立，选项C正确. 由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 3．（2024高一下·全国·专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与恰有2名男生； (2)至少有1名男生与全是男生； (3)至少有1名男生与全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 【答案】(1)是互斥事件；不是对立事件 (2)不是互斥事件 (3)是互斥事件；是对立事件 (4)不是互斥事件． 【分析】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生． 【详解】（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件． （2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件． （3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件． （4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． 【经典例题二 互斥事件的概率加法公式】 【例2】（24-25高二上·吉林四平·开学考试）甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.52 【答案】D 【分析】根据题意可知“甲获奖”与“乙获奖”两事件相互独立，由概率乘法公式和加法公式计算可得结果. 【详解】记“甲获奖”为事件，“乙获奖”为事件， 易知，且， 显然，即可得事件与事件相互独立， 因此甲、乙两人恰有一人获奖的概率为： . 故选：D 1．（24-25高三上·浙江金华·期末）甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由互斥事件的概率公式即可求解； 【详解】由题意可知：甲先走的概率为，则乙先走的概率为， 甲获胜有两种情形：甲先走且获胜；乙先走且甲获胜， 则甲获胜的概率， 故选：B. 2．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知事件与互斥，且，，则 . 【答案】0.5/ 【分析】运用互斥事件概率加法公式计算即可. 【详解】因为与互斥，所以. 故答案为：0.5. 3．（24-25高一上·江西·期末）多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设相应事件，利用列举法结合古典概型运算求解； （2）分析得分刚好得18分的可能性情况，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式运算求解. 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，， 设事件表示“猜对本题至少得2分”， 则，有7个样本点， 所以. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得18分的情况包含： 事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况， 则， 事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况， 则 事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 故乙丙总分刚好得18分的概率. 【经典例题三 利用互斥事件的概率公式求概率】 【例3】（24-25高三下·湖南·阶段练习）废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】D 【分析】根据容斥原理的概率公式计算可得答案. 【详解】设甲存活为事件，乙存活为事件，则，， 则甲乙至少有一种存活的概率为 ， 则所以甲、乙都存活的概率为. 故选：D. 1．（23-24高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 2．（24-25高二上·安徽·期中）现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是 . 【答案】 【分析】分三种情况：分别为第一次、第二次、第三次抽取到女志愿者，求出每一种情况的概率，然后利用互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】设，，分别为第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件， 则；；， 因此“恰有一名女志愿者”的概率为. 故答案为：. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是．问：从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率是多少？ 【答案】 【分析】任意取出2粒棋子，一共有2粒都是黑子、2粒都是白子和一粒黑子一粒白子3种可能，其概率之和为1，由此可以求解. 【详解】由题意, 任意取出2粒棋子, 不考虑先后顺序,一共有 2 粒都是黑子、 2 粒都是白子和一粒黑子一粒白子 3 种可能, 设事件 : 取出 2 粒都是黑子, 事件 : 取出 2 粒都是白子, 事件 : 取出 2 粒恰好是一粒黑子一粒白子， 则 两两互斥, 由已知有 , 从中任意取出2粒恰好是同一种颜色表示为, 故从中任意取出 2 粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是 . 【经典例题四 互斥事件与对立事件关系的辨析】 【例4】（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 【答案】A 【分析】根据对立事件的概念直接得出结果. 【详解】由题意知，3个小球中至少有2个白球包含的情况为：2白1红、3白， 所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白， 即至多有1个白球. 故选：A 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在古典概型中，若A，B为互斥但不对立事件，则（    ）1. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解. 【详解】由题意，事件A，B为互斥事件，但不对立事件， 根据互斥事件和对立事件的定义，可得，故ABC错误；D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课前预习）事件的互斥与对立 定义 表示法 图示 互斥 如果事件为 ，即 ，则称事件A，B互斥（或互不相容） 对立 如果某事件发生当且仅当事件不发生，则称该事件为的对立事件 或 【答案】 不可能事件 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一下·全国·课后作业）从一批100件的产品中每次取出一个（取出后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件表示第次取到次品（，2，3），试用，，表示下列事件： (1)三次全取到次品； (2)只有第一次取到次品； (3)三次中至少有一次取到次品； (4)三次中恰有两次取到次品； (5)三次中至多有一次取到次品． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）由对立事件的性质和概率的基本运算求解即可. 【详解】（1）由题意得三次全取到次品为. （2）由题意得只有第一次取到次品为. （3）由题意得三次中至少有一次取到次品为. （4）由题意得三次中恰有两次取到次品为. （5）由题意得三次中至多有一次取到次品为. 【经典例题五 确定所给事件的对立关系】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（   ） A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品 C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品 【答案】C 【分析】由对立事件的概念逐项判断即可； 【详解】任取两件所有可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品； A中，恰好有一件次品即为一件正品一件次品， 所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件； B中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件； C中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件次品与全是正品是对立事件； D中，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品； 至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件． 故选：C 1．（24-25高二上·广西钦州·期末）掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可判断A、B，根据独立事件的概率可判断C，由包含的基本事件可判断D. 【详解】因为事件可以同时发生，所以与不是互斥事件，不是对立事件. 因为事件包含的基本事件不一样，所以事件不相等. 因为，，所以. 故选：C 2．（24-25高二上·上海·课后作业）①若事件与事件是对立事件，则事件与事件互斥；②若事件与事件互斥，则事件与事件是对立事件；③若事件与事件是对立事件，则事件为必然事件；④若事件为必然事件，则事件与事件互斥． 上述命题中真命题有 ． 【答案】①③ 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分别判断. 【详解】对于①，对立事件首先互斥，故①为真命题； 对于②，两事件互斥不一定是对立事件，如将一枚硬市拋掷两次，共出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种结果，事件“两次出现正面”与事件“只有一次出现反面”互斥，但不是对立事件，故②为假命题； 对于③，事件，为对立事件，则在一次试验中，一定有一个发生，故③为真命题； 对于④，事件表示事件，至少有一个要发生，，不一定互斥，故④为假命题； 故答案为：①③. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）抛掷一枚质地均匀的骰子，{向上的点数是1}，{向上的点数是2}，{向上的点数是1或2}. (1)事件A与事件B什么关系？ (2)，，三者之间存在怎样的关系？ (3)若{向上的点数不小于2}，则事件与事件什么关系，与存在怎样的关系？ 【答案】(1)互斥 (2) (3)事件与互斥且对立，（或） 【分析】略 【详解】（1）互斥 （2）由于样本空间Ω有6个样本点，A，B，C分别有1个样本点，1个样本点和2个样本点，且事件，因此， ，，所以. （3）事件与互斥且对立，有5个样本点，则，又，所以（或）. 【经典例题六 写出某事件的对立事件】 【例6】（24-25高二上·湖北黄冈·期中）某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 【答案】C 【分析】根据题设及对立事件的定义写出A事件的对立事件即可. 【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”. 故选：C 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）掷一颗质地均匀的骰子，下列事件中与事件“向上的点数不超过3”互为对立的是（    ） A．向上的点数小于3 B．向上的点数大于3 C．向上的点数至少为3 D．向上的点数为3 【答案】B 【分析】根据对立事件的定义求解即可. 【详解】掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上的点数不超过3”的对立事件是 向上的点数大于3. 故选：B 2．（2024高一下·全国·专题练习）同时抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 ．（填序号） ①一个是5点，另一个是6点； ②一个是5点，另一个是4点； ③至少有一个是5点或6点； ④至多有一个是5点或6点． 【答案】③ 【分析】根据对立事件的概念求解. 【详解】同时掷甲、乙两枚骰子，“都不是5点且不是6点”，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”. 故答案为：③. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件、事件的对立事件． (1)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”； (2)表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”； (3)表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”； (4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”； (5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”； (6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”． 【答案】(1)答案见解析 (2)与不互斥也不对立 (3)与互斥且与对立． (4)与不互斥也不对立 (5)与互斥且与对立． (6)答案见解析 【分析】分别根据互斥事件，对立事件的定义，判断即可． 【详解】（1）因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是方片”， 所以与互斥，但与不对立． 的对立事件是“抽出的牌不是红心”， 的对立事件是“抽出的牌不是方片”． （2）因为表示“抽出的牌是红心”，表示“抽出的牌是K”； 当出现红心K时，事件、都发生，所以与不互斥也不对立． （3）因为表示“抽出的牌是红色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”； 所以与互斥且与对立． （4）因为表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”； 当出现方片2，3，4，6，10之一，则事件、都发生，所以与不互斥也不对立． （5）因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”； 所以与互斥且与对立． （6）因为表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一张方片”， 表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一张方片”． 所以与互斥，但与不对立． 的对立事件是“抽出的牌面不是方片2，3，4，5，6，7之一”， 的对立事件是“抽出的牌面不是方片8，9，10，J，Q，K，A之一”． 【经典例题七 利用对立事件的概率公式求概率】 【例7】（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得解. 【详解】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件， 小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则. 故选：C. 1．（24-25高二上·四川泸州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则甲、乙至少有一人中靶的概率为（    ） A．0.02 B．0.26 C．0.72 D．0.98 【答案】D 【分析】先求出甲乙两名运动员都没有中靶的概率，进而可得至少有一人中靶的概率． 【详解】甲乙两名运动员都没有中靶的概率为：， 则至少有一人中靶的概率为：， 故选：D． 2．（24-25高二上·上海长宁·期末）已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 【答案】/ 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为事件A与事件B互相独立，且，， 则. 故答案为：. 3．（24-25高二上·四川凉山·期末）翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求甲、乙能进入政审这一关的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）分析可知恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：甲、乙分别能进入政审这一关的概率， 所以甲、乙都能进入政审这一关的概率. （2）甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙， 所以恰好有两个人通过复检的概率. 1．（24-25高二上·四川南充·期末）某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于30 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染．该城市一年空气质量达到优或良的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】由表知空气质量为优的概率是， 由互斥事件的和的概率公式知,空气质量为良的概率为， 所以该城市空气质量达到良或优的概率， 故选：D 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求得，再利用对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因是两个互斥事件，故， 于是，. 故选：C. 3．（24-25高一上·贵州遵义·期末）新高考选科要求，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件C与事件D互斥 B． C．事件A与事件B对立 D． 【答案】C 【分析】写出试验的样本空间，判断是古典概型，利用古典概型的概率公式计算概率可判断B、D，根据互斥和对立的定义可判断A、C. 【详解】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间， 共有个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型 对于A，事件，所以事件C与事件D不互斥，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，故B错误； 对于C，，， 则，且，所以事件A与事件B对立，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：C. 4．（2025高二·安徽·学业考试）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件及相等事件的定义判断即可. 【详解】事件与能同时发生，如第一枚的点数是2，第二枚的点数是1， 所以事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B不正确； 因为，， ，， 又因为，所以事件与相互独立，故选项C正确； 显然事件与不相等，故选项D不正确. 故选：C 5．（24-25高三下·江苏淮安·开学考试）某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为1:4，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（    ） A．0.874 B．0.85 C．0.868 D．0.88 【答案】A 【分析】根据概率的乘法公式求解即可. 【详解】由题意，该产品合格的概率为. 故选：A 6．（2024高三·北京·专题练习）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是 ． ①．都是黑球     ②．恰好有1个黑球    ③．恰好有1个红球    ④．至少有2个红球 【答案】② 【分析】由互斥事件和对立事件的性质逐一判断即可； 【详解】从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在①中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故①错误， 在②中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故②正确， 在③中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故③错误， 在④中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，且概率和为1，是对立事件，故④错误． 故答案为：②． 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，，则 . 【答案】/0.4 【分析】根据互斥事件、对立事件的概率公式及所给条件求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且， ，解得， ， 故答案为：． 8．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知随机事件满足，则 ． 【答案】 【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 故, 则， 故答案为： 9．（24-25高一下·全国·随堂练习）甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则表示的含义是 ，事件“密码被破译”可表示为 ． 【答案】 只有一人破译出密码 【分析】由表示甲没有破译同时乙破译了，表示甲破译同时乙没有破译，及“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一个成功破译密码，即可求解. 【详解】由题意代表甲没有破译出密码，代表乙没有破译出密码， 则表示甲没有破译同时乙破译了，表示甲破译同时乙没有破译， 所以的含义是只有一人破译出密码， 事件“密码被破译”可以分为甲没有破译同时乙破译了或甲破译同时乙没有破译或甲乙都破译了， 所以可表示为. 故答案为：①只有一人破译出密码，② 10．（24-25高一上·陕西·期末）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则1次活动中，甲获胜的概率为 ；2次活动中，甲1次都没获胜的概率为 ． 【答案】 /0.25 【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在2次活动中，甲1次都没获胜由独立事件同时发生的概率公式得解. 【详解】由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为； 则在2次活动中，甲1次都没获胜的概率为. 故答案为：；. 11．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由互斥事件和事件概率加法公式可得； （2）将所求事件转化为这互斥事件的和事件，再由概率加法公式可求. 【详解】（1）若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局， 因为前两局比赛中，双方各先手一次， 故双方需要进行第三局比赛的概率． （2）记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥， 由， ， ， 得． 12．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 13．（24-25高二·上海·课堂例题）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张．设A：抽出红桃，B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5的倍数，F：抽出的牌点数大于9，G：抽出黑桃10．讨论： (1)A与B的关系； (2)C与D的关系； (3)B与D的关系； (4)E与F的关系； (5)B、F、G之间的关系． 【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件； (2)既是互斥事件，又是对立事件； (3)； (4)； (5) 【分析】（1）（2）根据互斥事件和对立事件的定义分析判断； （3）（4）根据事件的包含关系分析判断； （5）根据事件的运算关系分析判断. 【详解】（1）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生，所以A与B是互斥事件， 但不能保证其中必有一个发生，因为可能抽出“方块”或“梅花”，所以事件A与B不是对立事件， 所以A与B是互斥事件，不是对立事件； （2）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张,“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”是不可能同时发生，且其中必有一个发生， 所以C与D既是互斥事件，又是对立事件； （3）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的是黑桃，一定是黑色牌， 但抽出的是黑色牌，不一定是黑桃，有可能是梅花， 所以事件B发生时，事件D一定发生，而事件D发生时，事件B不一定发生， 所以； （4）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张，抽出的牌点数大于9，即牌点数为10，一定是5的倍数， 而抽出的牌点数为5的倍数，可能牌的点数为5，也可能是10， 所以事件F发生时，事件E一定发生，而事件E发生时，事件F不一定发生， 所以； （5）从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张， 若抽出的是黑桃，且牌点数大于9，则抽出的一定是黑桃10， 所以 14．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举法应用古典概型计算即可； （2）应用对立事件求概率，再应用互斥事件和概率公式及独立事件概率乘积公式计算. 【详解】（1）样本空间，共有10个样本点， 设“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故． （2）记丙得分的事件为，丁得分为，其中 由题意； 记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为，易知 由题意 15．（24-25高二上·山东淄博·期末）在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: (1)只有 2 人通过体能测试的概率； (2)至少有 1 人通过体能测试的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”， 由题意有． 设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则， 所以 ； （2）设事件“甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则的对立事件 . 学科网（北京）股份有限公司 $$