第9章 第一部分图形的旋转与中心对称及平行四边形（高频考点+11个知识梳理+10个考点精析）-2024-2025学年八年级数学下册期中期末备考大讲堂（苏科版）

期中期末备考大讲堂 作者的话 在数学学习的征程中，八年级下册犹如一座承上启下的重要山峰。它既巩固了我们在之前学习中所积累的数学知识与技能，又为即将到来的更为复杂的数学学习奠定了坚实的基础。如今，期中考试的战鼓即将敲响，我们精心筹备了这场八年级数学下册期中备考复习大讲堂，旨在为同学们点亮前行道路上的灯塔，助力大家在期中考试中披荆斩棘，收获满意的成绩。 在学习的道路上，同学们可能会遇到诸多困难。知识点繁多，如同繁星点点，如何将其梳理清晰？复杂多变的题型，犹如迷宫一般，怎样找到解题的正确路径？这些都是我们在备考中需要攻克的难关。 本次复习大讲堂，将是同学们期中备考的有力助手。我们将系统梳理知识点，搭建知识框架，让繁杂的知识体系一目了然；深入剖析典型例题，传授解题技巧，使同学们在面对各类题型时游刃有余。 让我们怀揣着对数学的热爱和追求，积极参与到复习大讲堂中，为一场满意的成绩而努力拼搏！ 2024-2025学年八年级数学下册期中期末备考大讲堂 第9章 第一部分图形的旋转与中心对称及平行四边形 （高频考点+知识梳理+考点精析） 【知识点一】旋转的概念 1、概念。 将图形绕一个定点转动一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转,这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 2、旋转三要素。 旋转中心在旋转过程中保持不动,图形的旋转是由旋转中心、旋转方向(顺时针或逆时针)和旋转角决定的。 【知识点二】旋转的性质 1、一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。 【知识点三】旋转作图的步骤 1、分析题目要求,明确旋转中心、旋转角、旋转方向； 2、分析所作图形,找出构成图形的关键点； 3、作出关键点的对应点,对应点的作法是： （1）连接图形的每个关键点与旋转中心； （2）把连线绕旋转中心,按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角);； （3）在作得的角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段,得到各个关键点的对应点。 4、按原图形中各关键点的顺序,连接所作的各个关键点的对应点,并标上相应的字母。 5、写出结论,说明作出的图形。 【知识点四】中心对称 1、一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心。 【知识点五】中心对称的性质 1、性质。 (1)一个图形绕着某一点旋转180°是一种特殊的旋转,成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 (2)成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分。 【知识点六】中心对称图形 1、中心对称图形的概念。 把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心。 2、中心对称和中心对称图形的区别与联系。 3、中心对称图形和轴对称图形的区别与联系。 【知识点七】利用中心对称及其性质设计图案 1、以平面上的任意一点为对称中心,可以画出平面上一个图形关于这个点成中心对称的图形,从而设计出一些美丽的中心对称图案。 【知识点八】平行四边形 1、平行四边形的性质及表示方法。 【知识点九】平行四边形的性质 1、平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等对角相等,对角线互相平分。 【知识点十】平行四边形判定方法的选择 1、 【知识点十一】反证法 1、在证明问题时,不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立,而是先提出与结论相反的假设,然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果,说明假设是错误的,因而命题的结论成立,这种证明的方法称为反证法。 考点一生活中的旋转现象 【典例一】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例二】下列现象不是旋转的是　　 A．传送带传送货物 B．飞速转动的电风扇 C．钟摆的摆动 D．自行车车轮的运动 【典例三】下面、、、四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到　　 A． B． C． D． 【典例四】时间经过25分钟，钟表的分针旋转了　　 A． B． C． D． 考点二旋转的性质 【典例一】如图，在△中，，，，将△绕点顺时针旋转得到△，使得，交于点，则的长为　　 A． B．3 C．2 D． 【典例二】如图，在△中，，，，将△绕点顺时针旋转得到，则的长为　　 A． B．2 C．6 D． 【典例三】将△绕点按逆时针方向旋转后得到△，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【典例四】如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 考点三旋转对称图形 【典例一】如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则的最小值为 　　． 【典例二】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　　度． 【典例三】如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为，则该六边形绕点至少旋转 　　后能与原来的图形重合． 【典例四】点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转 　　后能与原来的图案互相重合． 考点四作图-旋转变换 【典例一】如图，△三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出△关于原点对称的△，并写出的坐标； （2）请画出△绕点顺时针旋转后的△． 【典例二】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出△向左平移4个单位长度后得到的△，点，，的对应点分别为点，，； （2）作出△关于原点对称的△，点，，的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． 【典例三】如图所示的平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点为旋转中心，将△顺时针旋转，得到△，请画出△； （2）将△向下平移5个单位长度得到△，请画出△，并写出三个点的坐标； 【典例四】如图，平面直角坐标系中，△的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位网格的格点上． （1）平移△，若点对应的点坐标为，画出△． （2）画出△绕点顺时针旋转的△． 考点五中心对称 【典例一】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是　　． 【典例二】如图，与关于点成中心对称，则线段与的大小关系是 　　． 【典例三】如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是 　　． 【典例四】龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，若将绕着点顺时针旋转一个小于的角得到△，射线是的角平分线且满足，则　　． 考点六中心对称图形 【典例一】如图，由4个全等的正方形组成的形图案，请按下列要求画图： （1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）； （2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）； （3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形． 【典例二】如图，方格纸中有三个点，，，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． 【典例三】如图，在方格中，正方形被分成4个全等的直角三角形，请你用这4个全等的直角三角形在下面三个方格中分别重新拼接成一个新的四边形，要求新的四边形是中心对称图形． 【典例四】观察下面网格中的图形，解答下列问题： （1）将网格中左图沿水平方向向右平移，使点移至点处，作出平移后的图形： （2）（1）中作出的图形与右边原有的图形，组成一个新的图形，这个新图形是中心对称图形，还是轴对称图形？ 考点七平行四边形的性质 【典例一】在中，，，，点为上一动点，连接，则长的最小值为　　． 【典例二】如图，在平行四边形中，，于点，是的中点，，则 　　． 【典例三】在中，的平分线把边分成5和6两部分，则的周长为　　． 【典例四】如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，且，，，那么图中阴影部分的面积为 　　． 考点八平行四边形的判定 【典例一】在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则　　． 【典例二】如图，在四边形中，，添一个条件　　，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【典例三】如图，在四边形中，，，，点从点出发以的速度向运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，、两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求的值 　　． 【典例四】如图，的顶点坐标分别为、、，点在坐标轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 　　． 考点九平行四边形的判定与性质 【典例一】如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点为射线上一点，过点作于点，连接，点为中点，则的最小值为　　． 【典例二】如图，在中，和分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是 　　． 【典例三】如图，点、是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 　　（只需要填一个正确的即可）． 【典例四】如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为 ，其中．开始运动以后，当 　　时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 考点十反证法 【典例一】用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是△的一个外角． 求证： 【典例二】用反证法证明下列问题： 如图，在中，点、分别在、上，、相交于点．求证：和不可能互相平分． 【典例三】小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线，，在同一平面内，，， 求证：　　． 证明： 【典例四】用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角． 已知：在中，．求证：，必为锐角． 学科网（北京）股份有限公司 $$期中期末备考大讲堂 作者的话 在数学学习的征程中，八年级下册犹如一座承上启下的重要山峰。它既巩固了我们在之前学习中所积累的数学知识与技能，又为即将到来的更为复杂的数学学习奠定了坚实的基础。如今，期中考试的战鼓即将敲响，我们精心筹备了这场八年级数学下册期中备考复习大讲堂，旨在为同学们点亮前行道路上的灯塔，助力大家在期中考试中披荆斩棘，收获满意的成绩。 在学习的道路上，同学们可能会遇到诸多困难。知识点繁多，如同繁星点点，如何将其梳理清晰？复杂多变的题型，犹如迷宫一般，怎样找到解题的正确路径？这些都是我们在备考中需要攻克的难关。 本次复习大讲堂，将是同学们期中备考的有力助手。我们将系统梳理知识点，搭建知识框架，让繁杂的知识体系一目了然；深入剖析典型例题，传授解题技巧，使同学们在面对各类题型时游刃有余。 让我们怀揣着对数学的热爱和追求，积极参与到复习大讲堂中，为一场满意的成绩而努力拼搏！ 2024-2025学年八年级数学下册期中期末备考大讲堂 第9章 第一部分图形的旋转与中心对称及平行四边形 （高频考点+知识梳理+考点精析） 【知识点一】旋转的概念 1、概念。 将图形绕一个定点转动一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转,这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 2、旋转三要素。 旋转中心在旋转过程中保持不动,图形的旋转是由旋转中心、旋转方向(顺时针或逆时针)和旋转角决定的。 【知识点二】旋转的性质 1、一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。 【知识点三】旋转作图的步骤 1、分析题目要求,明确旋转中心、旋转角、旋转方向； 2、分析所作图形,找出构成图形的关键点； 3、作出关键点的对应点,对应点的作法是： （1）连接图形的每个关键点与旋转中心； （2）把连线绕旋转中心,按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角);； （3）在作得的角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段,得到各个关键点的对应点。 4、按原图形中各关键点的顺序,连接所作的各个关键点的对应点,并标上相应的字母。 5、写出结论,说明作出的图形。 【知识点四】中心对称 1、一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心。 【知识点五】中心对称的性质 1、性质。 (1)一个图形绕着某一点旋转180°是一种特殊的旋转,成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 (2)成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分。 【知识点六】中心对称图形 1、中心对称图形的概念。 把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心。 2、中心对称和中心对称图形的区别与联系。 3、中心对称图形和轴对称图形的区别与联系。 【知识点七】利用中心对称及其性质设计图案 1、以平面上的任意一点为对称中心,可以画出平面上一个图形关于这个点成中心对称的图形,从而设计出一些美丽的中心对称图案。 【知识点八】平行四边形 1、平行四边形的性质及表示方法。 【知识点九】平行四边形的性质 1、平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等对角相等,对角线互相平分。 【知识点十】平行四边形判定方法的选择 1、 【知识点十一】反证法 1、在证明问题时,不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立,而是先提出与结论相反的假设,然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果,说明假设是错误的,因而命题的结论成立,这种证明的方法称为反证法。 考点一生活中的旋转现象 【典例一】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：． 【点评】本题考查了生活中的旋转现象，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 【典例二】下列现象不是旋转的是　　 A．传送带传送货物 B．飞速转动的电风扇 C．钟摆的摆动 D．自行车车轮的运动 【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等． 【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转． 故选：． 【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键． 【典例三】下面、、、四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到　　 A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质旋转变化前后，图形的相对位置不变，注意时针与分针的位置关系，分析选项易得答案． 【解答】解：根据旋转的性质，图案①顺时针旋转得到，故选． 【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【典例四】时间经过25分钟，钟表的分针旋转了　　 A． B． C． D． 【分析】先画出图形，确定时针和分针的位置利用钟表表盘的特征解答． 【解答】解：因为分针每分钟转，所以25分钟旋转了度． 故选：． 【点评】本题是一个钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是，每分钟转过的角度为6度．借助图形，更容易解决． 考点二旋转的性质 【典例一】如图，在△中，，，，将△绕点顺时针旋转得到△，使得，交于点，则的长为　　 A． B．3 C．2 D． 【分析】根据将△绕点顺时针旋转得到△，可得，故，从而，即得，由勾股定理知． 【解答】解：如图： 将△绕点顺时针旋转得到△， ， ， ， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查直角三角形的旋转问题，涉及勾股定理，含的直角三角形三边关系，解题的关键是掌握旋转的性质． 【典例二】如图，在△中，，，，将△绕点顺时针旋转得到，则的长为　　 A． B．2 C．6 D． 【分析】先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，然后利用勾股定理计算的长． 【解答】解：，，， ， △绕点顺时针旋转得到， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理． 【典例三】将△绕点按逆时针方向旋转后得到△，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出的度数，结合，即可解决问题． 【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：， ， ， 故选：． 【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是灵活运用、解题的关键． 【典例四】如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得． 【解答】解：绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 考点三旋转对称图形 【典例一】如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则的最小值为 　72　． 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为72． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【典例二】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　72　度． 【分析】观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成， 故最小旋转角为． 故答案为：72． 【点评】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 【典例三】如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为，则该六边形绕点至少旋转 　60　后能与原来的图形重合． 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义作答． 【解答】解：， 该六边形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：60． 【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角． 【典例四】点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转 　72　后能与原来的图案互相重合． 【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角． 【解答】解：连接，，则这个图形至少旋转才能与原图象重合， ． 故答案为：72． 【点评】此题主要考查了旋转图形，正确掌握旋转图形的性质是解题关键． 考点四作图-旋转变换 【典例一】如图，△三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出△关于原点对称的△，并写出的坐标； （2）请画出△绕点顺时针旋转后的△． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． 由图可得，点的坐标为． （2）如图，△即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【典例二】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出△向左平移4个单位长度后得到的△，点，，的对应点分别为点，，； （2）作出△关于原点对称的△，点，，的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． 【分析】（1）直接利用平移的性质即可知点、、的对应点、、的坐标，再在坐标系中标出各点，顺次连接即得到△； （2）分别连接、、并延长至，，，再顺次连接点、、即得到△，即可求出的坐标． 【解答】解：（1）由直角坐标系可得知：，，， △向左平移4个单位长度后，，， 如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求，． 【点评】本题考查作图平移变换，旋转变换和关于原点对称作图．掌握平移和关于原点对称图形的性质是解答本题的关键． 【典例三】如图所示的平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点为旋转中心，将△顺时针旋转，得到△，请画出△； （2）将△向下平移5个单位长度得到△，请画出△，并写出三个点的坐标； 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求，，，； 【点评】本题考查作图旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换，属于中考常考题型． 【典例四】如图，平面直角坐标系中，△的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位网格的格点上． （1）平移△，若点对应的点坐标为，画出△． （2）画出△绕点顺时针旋转的△． 【分析】（1）分别作出三顶点平移的对应点，再顺次连接可得答案； （2）作出点，绕点顺时针旋转的对应点，再顺次连接可得． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）如图，△即为所求． 【点评】本题考查了作图旋转变换：解题的关键是掌握平移变换与旋转变换的定义及其性质． 考点五中心对称 【典例一】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是　线段中点　． 【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点． 【解答】解：由对称中心为各对应点连线的中点，知线段中点是对称中心， 故答案为：线段中点． 【点评】本题考查了对称中心的确定方法，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【典例二】如图，与关于点成中心对称，则线段与的大小关系是 　　． 【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，来求解可得可得． 【解答】解：与关于点成中心对称， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了中心对称的定义，解题的关键是熟记中心对称的定义．也可用三角形全等来求解． 【典例三】如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是 　5　． 【分析】证明，利用勾股定理求解． 【解答】解：与关于点成中心对称， ， ，，， ， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查中心对称，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典例四】龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，若将绕着点顺时针旋转一个小于的角得到△，射线是的角平分线且满足，则　或　． 【分析】根据题中要求可分当在射线下方和在射线上方这两种情况，就这两种情况画出图形，分别利用题中的条件求出的度数，即可求出的度数． 【解答】解：如图所示，当在射线下方时， 射线是的角平分线， ， ，且， ， ，即， ，即， ； ②如图所示，当在射线上方时， ， ， 射线是的角平分线， ， ，即， ，即， ， ． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键：就两种情况画出图形求出的度数． 考点六中心对称图形 【典例一】如图，由4个全等的正方形组成的形图案，请按下列要求画图： （1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）； （2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）； （3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形． 【分析】（1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图； （2）如一，也是先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图； （3）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形． 注意此题有多种画法，答案不唯一． 【解答】解：如图所示． （1）如图（1），图（2），图（3）所示； （2）如图（4）所示； （3）如图（5），图（6）所示． 【点评】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键． 【典例二】如图，方格纸中有三个点，，，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． 【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形． 【解答】解：（1）甲图：平行四边形， （2）乙图：等腰梯形， （3）丙图：正方形． 【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形． 【典例三】如图，在方格中，正方形被分成4个全等的直角三角形，请你用这4个全等的直角三角形在下面三个方格中分别重新拼接成一个新的四边形，要求新的四边形是中心对称图形． 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此解答即可． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查了中心对称图形，正确把握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【典例四】观察下面网格中的图形，解答下列问题： （1）将网格中左图沿水平方向向右平移，使点移至点处，作出平移后的图形： （2）（1）中作出的图形与右边原有的图形，组成一个新的图形，这个新图形是中心对称图形，还是轴对称图形？ 【分析】（1）从和的位置，确定平移方法，然后按平移条件找出其他顶点的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）观察图形即可． 【解答】解：（1）如图所示． （2）新图形是轴对称图形． 【点评】本题的关键是作各个关键点的对应点，从而做出正确判断． 考点七平行四边形的性质 【典例一】在中，，，，点为上一动点，连接，则长的最小值为　　． 【分析】作于点，则，因为，所以，则，由，求得，则，所以长的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：作于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 长的最小值为， 故答案为：． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【典例二】如图，在平行四边形中，，于点，是的中点，，则 　　． 【分析】先延长与的延长线交于点，连接，然后根据题目中的条件，可以求得△△，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可以求得的度数． 【解答】解：延长与的延长线交于点，连接，如图所示， ， ， 是的中点， ， 四边形是平行四边形，， ，，， ，， 在△和△中 ， △△， ， 点为的中点， ， ， ， ，， 又为中点，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 【典例三】在中，的平分线把边分成5和6两部分，则的周长为　32或34．　． 【分析】据平分及可得出，，从而根据、的长可求出平行四边形的周长． 【解答】解：在平行四边形中，，则． 平分， ， ， ，， ①当，时， 平行四边形的周长为：． ②当，时， 平行四边形的周长为：． 故答案为：32或34． 【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，根据题意判断出是解答本题的关键，同学们要学会将所学知识综合起来运用． 【典例四】如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，且，，，那么图中阴影部分的面积为 　7　． 【分析】过点作于点，勾股定理求得，证明△△，进而可得阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形的对角线和相交于点， ，， ， 又， △△ 同理： 阴影部分面积面积， 故答案为：7． 【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点八平行四边形的判定 【典例一】在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则　或5　． 【分析】证明轴，再求出，进而分两种情况讨论，①点在点左侧，则；②点在点右侧，则，即可得出结论． 【解答】解：，， 轴， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， ， ①当点在点左侧，如图1，则； ②当点在点右侧，如图2，则； 综上所述，或5， 故答案为：或5． 【点评】此题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明轴是解题的关键． 【典例二】如图，在四边形中，，添一个条件　或　，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【分析】根据平行四边形的判定方法，可以再加一个：的条件，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证． 【解答】解：根据平行四边形的判定，可添加：（答案不唯一）． 故答案为：或． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，利用平行四边形的判定方法来添加条件，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行，2、一组对边平行且相等，3、两组对边分别相等，4、对角线互相平分，5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形． 【典例三】如图，在四边形中，，，，点从点出发以的速度向运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，、两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求的值 　2或6　． 【分析】由题意得 ， ，则，当从到时，，当从返回时，，再由得出方程，解方程即可． 【解答】解：，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动， ， ， ， 当从到时，，当从返回时，， ， 当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 或， 解得：或， 即的值为2或6， 故答案为：2或6． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【典例四】如图，的顶点坐标分别为、、，点在坐标轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 　　． 【分析】根据题意，点在坐标轴上，则只能在轴的正半轴上，根据平行四边形的性质即可求解． 【解答】解：依题意，点在坐标轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点在轴的正半轴上， 设， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，利用数形结合求解是解题的关键． 考点九平行四边形的判定与性质 【典例一】如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点为射线上一点，过点作于点，连接，点为中点，则的最小值为　　． 【分析】延长交于点，连接，，易得四边形是平行四边形，进而得到，，三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当时，有最小值，即有最小值，求出，即可求出，利用勾股定理即可求出，即可解答． 【解答】解：延长交于点，连接，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 点为中点， ，，三点共线， ， ， 当时，有最小值，即有最小值， △中，，， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 【典例二】如图，在中，和分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是 　6　． 【分析】先证明四边形是平行四边形，得，即可推导出，则四边形是平行四边形，设与之间的距离为，，由，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 设与之间的距离为， 四边形的面积是3， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形和四边形都是平行四边形是解题的关键． 【典例三】如图，点、是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 　　（只需要填一个正确的即可）． 【分析】由平行四边形的性质得，，若，则，所以，即可由，，证明四边形是平行四边形，于是得到问题的答案，另外，增加的一个条件也可以是． 【解答】解：四边形是平行四边形，对角线、交于点， ，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形． 故答案为：． 注：答案不唯一，如：． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【典例四】如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为 ，其中．开始运动以后，当 　6　时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】根据平行四边形的性质得到，可得当，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，故分情况讨论列方程求解即可． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，即， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 点到达点时停止运动，同时点也停止运动， ，点从点到点的运动时间为， ①当时，，，，， ， 解得：，（不符合题意，舍去） ②当时，，，， ， 解得：， ③当时，，，， ， 解得：，（点，重合，舍去） 综上所述：当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：6． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 考点十反证法 【典例一】用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是△的一个外角． 求证： 【分析】根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明． 【解答】证明：假设． ， 又，即， 假设不成立， 原命题成立，即． 【点评】本题考查反证法，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握三角形的内角和与反证法的解题思路是解题的关键． 【典例二】用反证法证明下列问题： 如图，在中，点、分别在、上，、相交于点．求证：和不可能互相平分． 【分析】利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【解答】证明：连接， 假设和互相平分， 四边形是平行四边形， ， 在中，点、分别在、上， 不可能平行于，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即和不可能互相平分． 【点评】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键． 【典例三】小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线，，在同一平面内，，， 求证：　　． 证明： 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，从这个假设出发，进行推导． 【解答】解：由命题的结论得：， 故答案为：， 证明：假设，相交于点， 则过点有两条直线，都平行于， 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以． 【点评】本题考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【典例四】用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角． 已知：在中，．求证：，必为锐角． 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、反证法的一般步骤解答即可． 【解答】证明：假设，都不是锐角，即，为直角或钝角， ， ， 当、都是直角时，， 这与三角形内角和定理相矛盾， 当、都是钝角时，， 这与三角形内角和定理相矛盾， 综上所述，假设不成立， ，必为锐角． 【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$