北师大版八年级数学期中模拟试卷01 -2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

2024-2025学年度北师大版八年级数学期中模拟试卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共31分） 1．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）若点在第二象限，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在式子，，，，，中属于代数式的有(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．（本题3分）（22-23八年级下·四川达州·期中）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．   B．   C．   D．   5．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）（21-22八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 9．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（本题4分）（23-24八年级下·天津西青·期中）的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共27分） 11．（本题3分）（21-22八年级下·山东菏泽·期中）写一个解集为的不等式为 ． 12．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）若，则x的取值范围是 ． 13．（本题3分）（23-24八年级下·全国·期中）《国家学生体质健康标准》规定：体重指数 一个学生正常的体重指数为，则身高2米的小逸的体重m（千克）满足 才算合格． 14．（本题3分）（24-25·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为 ． 15．（本题3分）（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ． 16．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是 ． 17．（本题4分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，．作，点A在内，点D在上，．若D为的中点，且，则 （用含的代数式表示）． 18．（本题5分）（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 三、解答题（共62分） 19．（本题6分）（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）八年级上学期举行了数学运算竞赛，为了奖励获奖的同学，需要购买我校文创手提袋和文创水性笔作为奖品．已知1个文创手提袋和3支文创水性笔共需24元；2个文创手提袋和2支文创水性笔共需36元． (1)求文创手提袋和文创水性笔的单价各为多少元？ (2)学校购买文创手提袋和文创水性笔两种奖品共150件，且文创手提袋的数量不少于文创水性笔的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 20．（本题6分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，函数和的图象相交于点． (1)求a，m的值； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 21．（本题6分）（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为 (1)将先向左平移个单位，再向上平移个单位得到，在图中画出，直接写出点的对应点的坐标____； (2)在图中作出关于原点成中心对称的，并直接写出点的对应点的坐标_______ 22．（本题6分）（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 23．（本题8分）（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图1，这是某超市的儿童玩具购物车，图2是它的简化平面示意图，测得支架，，两轮中心之间的距离． (1)求点到的距离； (2)如图2，小康建立适当的平面直角坐标系，使得所在的直线为轴，点在轴上，请求，，三点的坐标． 24．（本题10分）（23-24八年级下·江西吉安·期中）（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 25．（本题10分）（23-24八年级下·北京西城·期中）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知三点，中两点间的距离的最小值为三点间的“最佳间距”． 如：，那么“最佳间距”是3． (1)已知点． ①若三点的“最佳间距”是2，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出三点间的“最佳间距”的最大值． (2)已知点，点的坐标是，求三点的“最佳间距”的最大值及相应的点的坐标； 26．（本题10分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度北师大版八年级数学期中模拟试卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共31分） 1．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：C． 2．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）若点在第二象限，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了象限内点坐标特征，根据第二象限的点横坐标是负数，判断出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴只有D符合条件， ∴点的坐标可能为， 故选：D． 3．（本题3分）（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在式子，，，，，中属于代数式的有(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】代数式的概念、不等式的定义 【分析】此题考查了代数式，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式．依此对每个选项分别进行分析，即可得出答案． 【详解】解：在式子，，，，，，中，是不等式，是等式， 属于代数式的有，，，，共4个， 故选：B． 4．（本题3分）（22-23八年级下·四川达州·期中）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】说出一个图形到另一个图形的运动过程 【分析】根据平移、旋转的性质，结合图形，对选项进行一一分析，再解答． 【详解】解：A、不能通过平移得到，故本选项错误； B、是平移变换，不能通过旋转得到，故本选项错误； C、既符合平移变化，又能旋转得到，故本选项正确； D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平移和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换． 5．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：B 6．（本题3分）（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况种又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， ∵由平移得到， ， ∵， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作， 同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为18度或36度或108度， 故选：C． 7．（本题3分）（21-22八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式．首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数过点， ， 解得：， ， 不等式的解集为． 故选：D． 8．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过P作于H，根据角平分线的性质得到，，根据平行线的性质和三角形的外角性质求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过P作于H，    ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 故选：C． 9．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，根据作图过程可得是的垂直平分线，可得，然后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：，， ， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 10．（本题4分）（23-24八年级下·天津西青·期中）的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共27分） 11．（本题3分）（21-22八年级下·山东菏泽·期中）写一个解集为的不等式为 ． 【答案】 【知识点】不等式的解集 【分析】根据题意写出不等式即可． 【详解】解：∵x+2＜0的解集是x＜-2， 故答案为：x+2＜0． 【点睛】本题考查了不等式的解集，解题关键是熟练运用解不等式的知识，写出不等式． 12．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，根据题意可得，再由算术平方根的非负性得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 13．（本题3分）（23-24八年级下·全国·期中）《国家学生体质健康标准》规定：体重指数 一个学生正常的体重指数为，则身高2米的小逸的体重m（千克）满足 才算合格． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 14．（本题3分）（24-25·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3或13 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．分，和三种情况分别求出x的值，从而确定出三角形的三边，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，最后根据三角形的周长的定义即可求解． 【详解】解：分以下三种情况： ①当， 解得， ，， 三角形的三边分别为8、8、13，， ∴此时能组成三角形； ∴底边长为13； ②， 解得， ， 三角形的三边分别为13、13、3，， ∴此时能组成三角形，底边为3； ③， 解得，舍去 综上所述，该三角形的底边等于3或13． 故答案为：3或13 15．（本题3分）（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】在直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得，依据中心对称可得，据此即可求解． 本题主要考查了直角三角形的性质：的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵与关于中心对称， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题综合考查了数形结合及方程思想，结合图象，利用已知点得出平移规律，再根据题意，利用方程达到解决问题的目的． 首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出、 、的值， 设点的坐标为， 点点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【详解】解：由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点点重合得到方程组， 解得 ， 即． 故答案为：. 17．（本题4分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，．作，点A在内，点D在上，．若D为的中点，且，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理． 根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，进而根据三角形的内角和定理求出． 【详解】如图，连接． ∵垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（本题5分）（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 【知识点】图形类规律探索、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了图形规律，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，理解图示，掌握角度，边长的计算方法，找出规律是解题的关键． 根据题意，运用含角的直角三角形，可求出，根据等边三角形的性质可得，从而求出，由此可得，如图所示，过作于点，过作于点，以此类推得到，过作于点，计算方法同理可得，，根据三角形面积的计算可得的面积为，由此代入，计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴等边的边长，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，, ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴等边的边长， 在中，， ∴，， ∴， 同理，在中，的边长， ∵，，， ∴的边长， 如图所示，过作于点，过作于点，以此类推得到，过作于点， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， 同理，， ∴， 同理，， ∴， ∴的面积为， ∴的面积为：． 故答案为：． 三、解答题（共62分） 19．（本题6分）（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）八年级上学期举行了数学运算竞赛，为了奖励获奖的同学，需要购买我校文创手提袋和文创水性笔作为奖品．已知1个文创手提袋和3支文创水性笔共需24元；2个文创手提袋和2支文创水性笔共需36元． (1)求文创手提袋和文创水性笔的单价各为多少元？ (2)学校购买文创手提袋和文创水性笔两种奖品共150件，且文创手提袋的数量不少于文创水性笔的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)文创手提袋的单价为15元，文创水性笔的单价为3元 (2)当购买文创手提袋75件，购买文创水性笔75件时，购买总费用最少，最少为1350元． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设文创手提袋的单价为x元，文创水性笔的单价为y元，根据1个文创手提袋和3支文创水性笔共需24元；2个文创手提袋和2支文创水性笔共需36元列出方程组求解即可； （2）设购买文创手提袋m件，则购买文创水性笔件，根据文创手提袋的数量不少于文创水性笔的数量列出不等式求出m的范围，再列出w关于m的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设文创手提袋的单价为x元，文创水性笔的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：文创手提袋的单价为15元，文创水性笔的单价为3元； （2）解：设购买文创手提袋m件，则购买文创水性笔件， 由题意得，， ∴， 设总费用为w元， 由题意得，， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w最小，最小值为， ∴， 答：当购买文创手提袋75件，购买文创水性笔75件时，购买总费用最少，最少为1350元． 20．（本题6分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，函数和的图象相交于点． (1)求a，m的值； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）先把点代入，可得，再把点代入，即可求解； （2）求出和，即可求出答案； （3）结合，观察图象的位置关系即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴． ∵函数的图象经过点， ∴，解得． （2）由（1）得到直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）结合，观察图象得： 当时，函数的图象位于的图象的下方，即， 当时，函数的图象与的图象相交于点，即， ∴的解集为． 21．（本题6分）（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为 (1)将先向左平移个单位，再向上平移个单位得到，在图中画出，直接写出点的对应点的坐标____； (2)在图中作出关于原点成中心对称的，并直接写出点的对应点的坐标_______ 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查作图—平移变换、中心对称； （1）根据平移的性质作图，根据坐标系写出点的坐标，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图，根据坐标系写出点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，； （2）解：如图所示，即为所求，； 22．（本题6分）（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、不等式的性质 【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质将化为，然后通过无理数的大小估算及不等式的性质确定的符号，最后通过化简绝对值即可得出答案； （2）利用完全平方公式将化为，然后利用的非负性及不等式的性质即可得出答案； （3）利用完全平方公式可得，即，然后由不等式的性质可得，，于是可得答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； ； 故答案为：，； （2）解： ， ， ， 即：， 的最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，利用二次根式的性质化简，化简绝对值，无理数的大小估算，不等式的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式及不等式的性质是解题的关键． 23．（本题8分）（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图1，这是某超市的儿童玩具购物车，图2是它的简化平面示意图，测得支架，，两轮中心之间的距离． (1)求点到的距离； (2)如图2，小康建立适当的平面直角坐标系，使得所在的直线为轴，点在轴上，请求，，三点的坐标． 【答案】(1)点到的距离为 (2)，， 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、坐标与图形综合 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，坐标与图形； （1）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据等面积法，即可求解； （2）由（1）可得，可得的坐标，根据勾股定理先求得的长，进而得出点的坐标，根据得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：因为，所以， 所以， 所以是直角三角形，． 设点到的距离为， 因为，所以 所以点到的距离为． （2）因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 24．（本题10分）（23-24八年级下·江西吉安·期中）（1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）2 【知识点】二次根式的乘法、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接， 由题意得： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）过点A作，使，连接， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 25．（本题10分）（23-24八年级下·北京西城·期中）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知三点，中两点间的距离的最小值为三点间的“最佳间距”． 如：，那么“最佳间距”是3． (1)已知点． ①若三点的“最佳间距”是2，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出三点间的“最佳间距”的最大值． (2)已知点，点的坐标是，求三点的“最佳间距”的最大值及相应的点的坐标； 【答案】(1)①，或 ② 3； (2)三点间的“最佳间距”的最大值为2，此时 【知识点】已知两点坐标求两点距离、写出直角坐标系中点的坐标、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查了点坐标、绝对值运算，两点间的距离，不等式等知识点，理解新定义，正确分情况讨论是解题关键． （1）① 根据两点间的距离公式，可得，，，而，，，故三点的“最佳间距”是2，即，由此得解； ② 由于，，，而，，故三点的“最佳间距”的最大值是3． （2）根据新定义，找到分别与点，，的对应关系，找到对应横纵坐标间的关系，分情况讨论即可求解； 【详解】（1）解：① ，，，，而，，， 又 三点的“最佳间距”是2， ，， ，或． 如图所示， ② ，，，，而，， 当时， 三点间的“最佳间距”的最大值为3. （2）解： 点，点，， 根据“最佳间距”的定义， ① 若对应，对应，则对应， 则，点坐标为，，，， 当时，，， 三点间的“最佳间距”的最大值为2．此时. ② 若对应，对应，则对应， ,点坐标为, ，，，且有，， 又 ， ，， ，， ，分情况讨论， 1）当，，， 令，解得， 当，，而， 三点间的“最佳间距”为，最大值为，此时． 当，，而， 三点间的“最佳间距”为，最大值为，此时． 2）当，，， ， ，而， 三点间的“最佳间距”为，最大值为1．此时． 综上所述，三点间的“最佳间距”的最大值为2，此时． 26．（本题10分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由，可得，，由F是的中点，可得，进而可证，由全等的性质即可得证； （2）由和E为边的中点，可证，再由等腰三角形性质和判定，即可得证； （3）由，，得，再由点E是的中点，可证，由全等三角形的性质可得，由平分，结合等腰三角形的判定，可证，由等腰三角形三线合一可得，由，，可得，进而可证，最后可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ， ∵点F是的中点， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：分别延长与的延长线交于点G． ∵， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∵，， ∴，，， ，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定，理清角度关系和线段的关系，作出正确的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$