抢分秘籍 函数的零点与方程的解（五大题型）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（新高考通用）

函数的零点与方程的解 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】函数零点所在区间的判定 【题型二】函数零点个数的判定 【题型三】 根据函数的零点个数求参 【题型四】二分法 【题型五】等高线 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点：数形结合以及作图的规范 ：1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用 3.高考以选择填空最后一题为主，难度较大 ：深刻理解如下几个概念 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【题型一】函数零点所在区间的判定 【例1】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【例2】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3】（多选）下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【变式1】已知定义在R上的函数满足，，且，设函数，则（   ） A．只有1个零点，且该零点在内 B．有2个零点，且2个零点分别在和内 C．只有1个零点，且该零点在内 D．有2个零点，且2个零点分别在和内 【变式2】已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】函数零点个数的判定 【例1】若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【例2】若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【变式1】（多选）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知函数，，若， 则的零点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型三】 根据函数的零点个数求参 【例1】已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【例2】（多选）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ） A．方程有2个不相等实数根 B．函数在上单调递增 C．函数无最值 D．实数的取值范围为 （活动性栏目） (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 【变式1】（多选）设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 【题型四】二分法 【例1】已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【例2】已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【变式1】用二分法求方程在内的近似解时，记，若，据此判断，方程的根应落在区间 内. 【题型五】等高线 【例1】已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【例2】已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（   ） A．有最小值2 B．m的取值范围是 C． D．方程有4个不同的解 【变式1】（多选）已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间为 B．当有3个零点时， C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 【变式2】已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点：数形结合以及作图的规范 例1已知是函数的零点，则 . 例2、函数的零点个数为___. 变式1、已知函数 f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________． 变式2、设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 . 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的零点与方程的解 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】函数零点所在区间的判定 【题型二】函数零点个数的判定 【题型三】 根据函数的零点个数求参 【题型四】二分法 【题型五】等高线 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点：数形结合以及作图的规范 ：1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用 3.高考以选择填空最后一题为主，难度较大 ：深刻理解如下几个概念 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【题型一】函数零点所在区间的判定 【例1】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. 故选：B. 【例2】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【例3】（多选）下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二分法的使用条件，结合图象即可得解. 【详解】能用二分法求零点的函数必须在给定区间上连续不断， 并且有，A、B中不存在，D中函数不连续． 故选：ABD． (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【变式1】已知定义在R上的函数满足，，且，设函数，则（   ） A．只有1个零点，且该零点在内 B．有2个零点，且2个零点分别在和内 C．只有1个零点，且该零点在内 D．有2个零点，且2个零点分别在和内 【答案】C 【分析】根据已知求得，进而由解析式判断的单调性，应用零点存在性定理判断零点所在区间，即可得答案. 【详解】令，得，又， 所以，解得，所以， 令，得，所以，即． 函数在R上单调递增，且. 故选：C 【变式2】已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可. 【详解】在同一坐标系内，作，图象，如图，      由图象可排除AB选项， 又, ， ， 所以由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点， 所以C错误，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间. 【题型二】函数零点个数的判定 【例1】若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【分析】根据函数的周期性画出的图象，结合指数函数，对数函数图象画出图象数形结合得出交点个数即可得出零点个数. 【详解】∵， ∴是周期为2函数， ∵时，则，的图象如下： 时且递增，时且递减， 时且递增， 又，，，      由图知：区间上函数交点共有12个． 故选：C． 【例2】若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图象可得答案. 【详解】，，是方程的两根， 由，得或， 即的根为或的解． ∵根据题意画图：     ， 由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3. 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想，属于中档题. 【例3】已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知，讨论的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可． 【详解】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【变式1】（多选）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解. 【详解】由，，得， 求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数. 函数的导函数，当时；当时. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 时有最大值，时， 时，，. 过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示. 所以函数的零点个数为1个或2个. 故选：BC. 【变式2】已知函数，，若， 则的零点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据已知有并画出函数大致图象，数形结合确定的零点个数即可. 【详解】由题设，函数大致图象如下， 其中当趋近于时，；当趋近于时，， 判断的图象与直线的交点个数： 由图知，时它们有3个不同的交点， 所以函数的零点个数为3. 故选：B 【变式3】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用的定义，进行分段讨论，找出与图象交点个数即可. 【详解】由题，，故时，，与没有交点， 当时，，与没有交点， 当时，，与有一个交点， 当时，，与有1个交点， 当时，，与没有交点， 故共有2个交点， 故选：C. 【题型三】 根据函数的零点个数求参 【例1】已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 【详解】由题设有， 令，则有，即， 因为在区间内没有零点， 故存在整数，使得， 即，因为，所以且，故或， 所以或. 故答案为：. 【例2】（多选）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ） A．方程有2个不相等实数根 B．函数在上单调递增 C．函数无最值 D．实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】画出函数图象，根据图象可以判断ABC是否正确，对于D选项，将方程是为一元二次方程，利用韦达定理，结合分段函数的图象性质，得到根的分布，进而求出参数的取值范围． 【详解】由函数解析式，可得函数图象如图： 由图知方程有2个的不相等实数根，函数没有最值，故A、C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 由于方程有4个不同的实数根，令， 则有2个不同的实数根，所以恒成立， 设两个不等的实根为，由韦达定理知：， 则异号，由图可知：， 即函数有两零点 ，解得，故D错误. 故选：AC. （活动性栏目） (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 【变式1】（多选）设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性. 【详解】已知，所以, 当时，，方程有两个根，所以正确， 当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误, 当时，， 所以关于中心对称，所以正确， 当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确. 故选： 【题型四】二分法 【例1】已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又，， 由零点存在性定理知零点在区间上， 所以第二次应该计算，又， 所以零点在区间上． 故选：A． 【例2】已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果. 【详解】根据题干所给数据可知，，，且函数在上为增函数， 由零点存在定理可知，函数的唯一零点在区间内， 区间长度为，结合选项可知，其近似值为. 故选：B. 【变式1】用二分法求方程在内的近似解时，记，若，据此判断，方程的根应落在区间 内. 【答案】 【分析】由题意可得，根据函数的零点存在定理以及单调性求得函数的零点所在的区间. 【详解】根据题意可得在R上单调递增，且， 所以函数的零点所在的区间为. 故答案为：. 【题型五】等高线 【例1】已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【答案】ABD 【分析】画出函数的图象后可判断A的正误，由图象的局部对称性可判断B的正误，利用换元法可判断CD的正误. 【详解】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确： 由对称性可知，而，所以， 则，所以， 当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令， 则有两个不同根，， 各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误； 对于D，令在时有三个根：， 而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确． 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，一般刻画出内外两个方程对应函数的图象，再根据外方程的解判断内方程的解，从而得到原方程的解的个数. 【例2】已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（   ） A．有最小值2 B．m的取值范围是 C． D．方程有4个不同的解 【答案】ACD 【分析】由题意作出函数的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结合图象即可判断C；令，数形结合即可判断D． 【详解】解：由题意作出函数的图像，如图所示： 可得，，，， 所以有最小值2，故A正确； 有四个不等的实数解，，，，可得，故B错误； 因为为偶函数，所以图象关于轴对称， 又的对称轴为直线， 所以由对称性可知，，可得，故C正确； 令，则方程可化为方程， 结合图像得有4个解，且，，，， 因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应， 故方程有4个不同的解，故D正确， 故选：ACD． 【变式1】（多选）已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间为 B．当有3个零点时， C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 【答案】BD 【分析】函数，结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数的图象，根据图象找出单调增区间即可判断选项A；根据图象观察函数和图象有3个交点时的取值范围即可判断选项B；解方程即可判断选项C；当时，观察函数和的图象的交点个数即可判断选项D. 【详解】作出函数的图象如图所示，，， 对于A选项，由图象可知，函数的增区间为和，故A选项错误； 的零点是函数和图象交点的横坐标， 对于B选项，由图象可知，当有3个零点时，，故B选项正确； 对于C选项，由和得或，即当时，有两个零点，和1，所有零点之和为，故C选项错误； 对于D选项，当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，故D选项正确． 故选：BD. 【变式2】已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，将方程实根问题转化为直线与函数图象交点问题求解. 【详解】方程有三个不同的实数根，即函数的图象与直线有三个不同交点， 作函数的图象如图所示，， 观察图象，得当时，函数的图象与直线有三个交点， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 易错点：数形结合以及作图的规范 例1已知是函数的零点，则 . 【解析】由题可知，， 所以， 令,则单调递增，且, 所以，所以， 所以.故答案为： 例2、函数的零点个数为___. 【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点. 变式1、已知函数 f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________． 【解析】 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像 相切时，联立 整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有1<a<2. 变式2、设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 . 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$