第17讲 第八章 立体几何初步 章末题型大总结(9大题型)-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第17讲 第八章 立体几何初步 章末题型大总结 题型01空间几何体的结构、表面积与体积 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·期末）如图，在正方体 中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ）(棱台体积公式： A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，为圆锥底面圆的两条直径，，圆锥母线与底面所成角的正切值为，若四棱锥的体积为，则圆锥的轴截面面积为（    ） A． B． C． D． 4．（广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题）已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·广东肇庆·期末）如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 6．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知三棱锥如图所示，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为 . 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体：    (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 9．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是AB，的中点． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求三棱锥的体积． 题型02空间几何体与内切球问题 1．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在封闭的圆锥内有一个表面积为的球，若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则该球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知体积为的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为，则该正四棱锥的体积是 ． .4．（24-25高三下·四川乐山·期末）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是 . 5．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 6．（24-25高三上·山西吕梁·期末）若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 7．（24-25高三上·河北·期末）三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为 . 题型03空间几何体与外接球问题 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥的所有顶点都在球的表面上，侧棱长均为，底面中，，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川巴中·一模）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知圆柱的底面半径等于球的半径，圆柱的侧面积与球的表面积之比为，则圆柱外接球的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南通·一模）已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·四川成都·开学考试）在三棱锥平面，则此三棱锥的外接球的表面积为 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 ． 题型04平行、垂直的证明 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)求三棱柱的体积． (3)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高二上·海南三亚·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 3．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成的角为，求证：平面. 4．（湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二下·四川内江·开学考试）在三棱锥中， (1)若是的中点，是的中点，，求证：平面； (2)若，，， ①当时，求到平面的距离； ②若，，，的面积分别为，，，，类比勾股定理，写出一个关于，，，的正确等式（无需证明）. 6．（2025高一下·全国·专题练习）如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 7．（24-25高三下·浙江·开学考试）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 题型05定义法求线面角 1．（24-25高二上·北京·期中）在正三棱锥中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为 . 4．（24-25高三上·陕西西安·期末）在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 5．（24-25高二上·上海闵行·期末）在如图所示的圆柱中，是底面圆的直径，是圆柱的母线，且，点是底面圆周上的一点，且，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 题型06等体积法求线面角 1．（2024·江西新余·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点均位于一个半径为的球的球面上，，，，平面经过点，则当的体积取最大值时，直线与平面所成角的正弦值为： . 2．（24-25高二上·陕西安康·期末）如图，三棱柱中，是边长为的正三角形，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在四棱锥中，底面四边形是正方形，，平面平面. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的大小. 4．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）已知四边形是边长为2的正方形，是正三角形，平面平面，为中点． (1)证明：平面； (2)求O到平面PCD的距离； (3)求OD与平面PCD所成角θ的正弦值. 5．（24-25高三上·山东济宁·期中）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面平面.    (1)求证：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 题型07定义法，三垂线法求二面角 1．（24-25高二上·北京西城·期末）正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西运城·期末）如图，在中，O是BC的中点，，.将沿AO折起，使B点移至图中点位置.    (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值. 3．（2024·上海普陀·一模）图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. (1)求证：； (2)记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小. 4．（22-23高二下·福建福州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 5．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，. (1)若为的中点，证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 题型08面积投影法求二面角 1．（23-24高二·全国·课堂例题）四边形是边长为的正方形，和都与平面垂直，在平面同侧，且，则平面与平面所成角的余弦值为 . 2．（23-24高二·全国·课堂例题）已知正方体的棱长为1，求二面角的余弦值． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图在正方体中，是所在棱上的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值 (2)补全截面 题型09等体积法求点面距离 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在以P为顶点，为母线长的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，点C在圆O所在平面内，且AC是圆O的切线，BC交圆O于点D，连接PD，OD． (1)求证：平面PAC； (2)若，求点O到平面PBD的距离． 3．（24-25高二上·云南保山·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，点是的中点，且，． (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 4．（24-25高三上·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 5．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面ABCD，，四边形ABCD中，，，，． (1)证明：四面体BCFD为鳖臑； (2)求点C到平面BDF的距离； (3)求几何体ABCDEF的表面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 第八章 立体几何初步 章末题型大总结 题型01空间几何体的结构、表面积与体积 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出四棱锥的高，再利用锥体的体积公式计算得解. 【详解】由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，得该四棱锥为正四棱锥， 其高为，所以该四棱锥的体积是. 故选：D 2．（24-25高二上·天津·期末）如图，在正方体 中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ）(棱台体积公式： A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断正方体的截面形状、柱体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】取上靠近的三等分点，连接，可得四边形是平面在正方体的截面，且将此正方体分为棱台和另一部分，设正方体棱长为，根据公式求出棱台的体积，再根据正方体体积求出另一部分体积，即可得到结果. 【详解】因为， 所以为上靠近的三等分点， 取上靠近的三等分点， 连接， 则， 所以平面在正方体的截面为四边形， 则将此正方体分为棱台和另一部分， 设正方体棱长为，则， 所以棱台的体积， 又，，， 所以， 又正方体体积， 所以另一部分体积， 所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为. 故选：B 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，为圆锥底面圆的两条直径，，圆锥母线与底面所成角的正切值为，若四棱锥的体积为，则圆锥的轴截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥中截面的有关计算、求线面角 【分析】根据线面夹角可知圆锥的高，结合四棱锥体积可得，进而可得轴截面面积. 【详解】 如图，设圆锥底面圆的半径为，易知， 又由，可知，则为等边三角形， 所以， 又，为底面圆的直径，故为矩形， 则在中，， 因为平面， 所以圆锥母线与底面所成的角即为， 则有， 则， 则， 解得， 故圆锥的轴截面面积为， 故选：C. 4．（广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题）已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点和分别是圆柱上底面和下底面的动点，点是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据图形得到当，且时，点P到平面的高最大，再利用等体积转化法即可求得结果. 【详解】 由题意知，，三角形的面积为 设点P到平面的高为h， 又， 要使三棱锥体积的最大，则需h最大，根据图形可得， 当，且时，h最大，最大为1， . 故选：B 5．（多选）（24-25高二上·广东肇庆·期末）如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【知识点】圆台的展开图、台体体积的有关计算 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 6．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 【答案】 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求 在中，，，. 故答案为：. 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知三棱锥如图所示，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积、证明线面垂直 【分析】过点作，交于点，证明平面，分别求出三棱锥的体积，再根据即可得解. 【详解】如图，过点作，交于点， 因为，，，，平面， 所以平面，所以平面，且， 因此， 因为、分别为、的中点，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体：    (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)6． 【知识点】棱锥的展开图、棱锥中截面的有关计算 【分析】（1）作出展开图即可. （2）沿着侧棱DA把正三棱锥展开在一个平面内，利用两点间线段最短可求截面周长的最小值． 【详解】（1）展开图如下图所示．    （2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图， 线段的长为所求周长的最小值，取的中点，则， 又，可求得，则，即截面三角形周长的最小值为6．    9．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是AB，的中点． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)1 【知识点】余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、证明线面平行、求线面角 【分析】（1）通过取的中点H，根据平行四边形的判定定理和性质，结合正方体的性质、异面直线所成角的定义、余弦定理进行运算求解即可； （2）根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】（1）如图，设的中点为H，连接，因为F是的中点， 所以， 因此四边形是平行四边形， 所以， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 正方体的棱长为2，E是AB的中点， 所以，， 由余弦定理可知，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为． （2）因为平面平面， 所以平面， 因此点H，F到平面的距离相等， 即， ， 所以三棱锥的体积为1． 题型02空间几何体与内切球问题 1．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在封闭的圆锥内有一个表面积为的球，若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则该球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥中截面的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意球体与圆锥内部相切时球表面积的最大，根据圆锥轴截面求球体的半径，进而求其表面积. 【详解】要使球表面积的最大，只需球体与圆锥内部相切，此时圆锥轴截面如下， 所以球体半径，即最大面积为. 故选：B 2．（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】解法一：作出该圆台的轴截面，利用圆台的母线长为，再利用勾股定理求出，由球表面积可得答案；解法二：作出该圆台的轴截面，利用求出，即，再由球表面积可得答案. 【详解】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为 所以圆台的母线长为，故， 故球的表面积为. 解法二：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为， ，所以， 即，又，所以， 可得，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故选：B. 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知体积为的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为，则该正四棱锥的体积是 ． 【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由正四棱锥的内切球作图，根据勾股定理、三角形相似，求出四棱锥的高即可. 【详解】如图， 设正四棱锥的内切球的半径为R，H为底面中心， 由内切球的体积为，得． 连接PH．由题意得平面ABCD，球心O在PH上，， 取CD的中点F，连接HF，PF． 设点O在侧面PCD上的投影为点Q，则点Q在PF上，且，． 设O到P的距离为h，所以，即，解得， 所以． 故答案为：##. .4．（24-25高三下·四川乐山·期末）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设正四棱台的高为h，侧棱与底面所成角为，根据已知可求得，设正四棱台外接球的球心为O，半径为，利用已知可得，求解即可. 【详解】已知，， 设正四棱台的高为h，侧棱与底面所成角为，分别为上下底面的中心， 因为底面ABCD是边长为4的正方形，则， 已知，根据三角函数关系， 又因为， 即， 所以 设正四棱台外接球的球心为O，半径为 设球心O到上底面的距离为x，则球心O到下底面ABCD的距离为 上底面是边长为2的正方形，其外接圆半径， 下底面ABCD是边长为4的正方形，其外接圆半径 根据球心到正四棱台上下底面顶点距离相等 可得：， 则，即， 两边消去，可得，解得， 将代入，得 根据球的表面积公式，将代入可得 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用线面角求得正四棱台的高，进而利用空间几何体的性质求得外接球的半径. 5．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据过圆锥及内切球球心的截面图中的几何关系，设圆锥的高为，母线长为，可得，，进而根据圆锥和球的表面积可得. 【详解】 由题意，过圆锥的高及内切球球心的截面图如图，设圆锥的高为，母线长为， 则在中，， 由得，又，故， 代入，可得，得，故， 圆锥的表面积为， 内切球的表面积为，故圆锥表面积与其内切球的表面积之比为， 故答案为： 6．（24-25高三上·山西吕梁·期末）若圆台的上下底面半径分别为，且，则该圆台内切球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设为圆台的母线长，根据，结合勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体表面积公式求解即可. 【详解】如图，为圆台的母线长，分别为上，下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点． 则由题意可得：， ． 因此可得：内切球半径，即得内切球的表面积为． 故答案为：． 7．（24-25高三上·河北·期末）三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出锥体体积，再结合等体积法求解内切球的半径即可. 【详解】设球半径为r，平面，显然, 又，平面,故平面， 平面,则. 由于平面ABC，，， 则 ,. ，,, 故三棱锥侧面积为， . 故答案为：. 题型03空间几何体与外接球问题 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的表面积的有关计算、证明线面垂直、二面角的概念及辨析 【分析】外接球的球心为，半径为为中点，为中点，由二面角的定义可得为二面角的平面角，所以有，作于，由题意可求得，进而可得，即可得答案. 【详解】如图，设外接球的球心为，半径为为的中点，为的中点， 连接，因为，所以， 又，所以， 由，得， 所以，所以，则， 所以为二面角的平面角，则． 作于，因为，都在平面内， 所以平面，又平面，所以， 又，都在平面内，则平面， 易知平面，所以，则有， 即， 由题意可得， ， 设，则，得，从而得， 故三棱锥外接球的表面积为． 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥的所有顶点都在球的表面上，侧棱长均为，底面中，，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意求得，利用余弦定理求得，利用正弦定理求得四边形的外接圆半径，在底面内的射影为四边形外接圆的圆心，利用勾股定理求得，利用球心在上，求得外接球的半径，可求球的面积. 【详解】由于，所以， 连接，在中，由余弦定理可得． 设四边形的外接圆半径为， 则在中，由正弦定理可得，则，得． 因为四棱锥的侧棱长均相等，因此顶点在底面内的射影到四边形各顶点的距离相等， 故在底面内的射影为四边形外接圆的圆心， 连接，则． 设球的半径为，当在线段上时，，，解得； 当在线段的延长线上时，，，此时无解． 所以，因此球的体积. 故选：B． 【点睛】方法点睛：破解几何体的外接球问题的思路： （1）定球心，柱体及台体的外接球球心一般在上、下底面圆或上、下底面多边形外接圆的圆心连线所在直线上，锥体的外接球球心往往是先找出锥体某个面的外接圆圆心，再过此圆心作该面的垂线来确定； （2）求球半径，通常是在过球心的某个平面中，找出球的半径，底（侧）面外接圆的半径及球心到底（侧）面的距离，利用勾股定理，求出球的半径； （3）用公式，即利用球的表面积或体积公式求解，根据几何体的特征，有时也可通过补形将锥体的外接球转化为柱体的外接球来求解． 3．（2025·四川巴中·一模）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意可知三棱锥的外接球的球心O在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球心O到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，再根据勾股定理，建立方程，即可求解． 【详解】如图，设PM的中点为N，则由平面PAB，可知， 又，，所以，所以， 所以， 又三棱锥的外接球的球心O在过M且垂直平面PAB的垂线上， 设球心O到平面PAB的距离为t，球O的半径为R， 则，解得， 所以， 所以球O的表面积为 故选：B 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知圆柱的底面半径等于球的半径，圆柱的侧面积与球的表面积之比为，则圆柱外接球的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设出圆柱的底面半径与高，借助圆柱侧面积公式与球的表面积公式可得圆柱的底面半径与高的关系，再求出圆柱外接球的体积与球的体积即可得解. 【详解】设圆柱的底面半径与球的半径都为，圆柱的高为， 则圆柱的侧面积为，球的表面积为， 则，则， 则圆柱外接球的体积为， 球的体积为，则. 故选：C. 5．（2025·江苏南通·一模）已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积． 【详解】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 6．（24-25高三下·四川成都·开学考试）在三棱锥平面，则此三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求等边三角形外接圆半径，根据几何关系确定外接球球心位置，列勾股定理方程确定该三棱锥的外接球的半径即可. 【详解】 因为，所以为等边三角形， 所以，等边外接圆的半径为， 如图，三棱锥外接球球心为，半径为， 设球心到平面的距离为，外接圆圆心为， 连接，则平面， 取中点，所以， 又平面，所以，则四边形是矩形， 所以在和中， 由勾股定理可得，解得：，表面积. 故答案为： 7．（2025高三·全国·专题练习）在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直 【分析】当平面平面时三棱锥的体积最大，设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，即可得解. 【详解】当平面平面时三棱锥的体积最大， 如图，取的中点为，连接，，则， 设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心， 则在上，在上，且，且， 平面，平面， 因为平面平面，平面平面，平面，，故平面， 故，同理，故四边形为平行四边形， 因为平面，平面，故， 故四边形为矩形，故，而， 故外接球半径，故外接球的表面积为． 故答案为： 题型04平行、垂直的证明 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)求三棱柱的体积． (3)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，为的中点，证明见解析. 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）由，可得平面，进而得，在等腰梯形中，可证得，从而得证； （2）由即可得解； （3）取的中点，的中点，连结，，，可证得四边形为平行四边形，从而得证，进而得证. 【详解】（1）证明：∵，∴． ∵在等腰梯形中，， ∴在四棱锥中，． 又，平面， ∴平面． 又∵平面，∴． ∵在等腰梯形中，，，且， ∴，，， 由勾股定理得，故， ∴， ∴由勾股定理逆定理得． ∵，平面， ∴平面． （2）∵，平面， ∴． （3）线段上存在一点，使得平面，为的中点，证明如下： 证明：取的中点，的中点，连结，，． ∵，分别为，的中点， ∴且． ∵且， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． 2．（24-25高二上·海南三亚·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【详解】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 3．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成的角为，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）取中点，连接，，由线面平行的判定定理即可得证； （2）先由题意得到，，由线面垂直的判定定理证明平面，从而得证. 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，且， 是的中点，底面是平行四边形，且， 且， 四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 平面. （2）平面，所以为与平面所成的角， ，又平面，，， 即为等腰直角三角形， 为中点，， 又平面，平面，， 又底面是平行四边形且，平行四边形为矩形，则， 又平面，平面， 平面，， 又平面， 平面， 由（1）可知，平面. 4．（湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（I）8；（II）存在， 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、点到直线距离的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）通过证明平面可完成证明； （2）（I）在平面内作于，连接，由面面垂性质可得平面， 据此可得，，即可得体积； （II）方法1，以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 假设在侧面内存在点，设，由平面，可得点N坐标，然后由向量知识可得答案； 方法2，由题可得点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心，由（I） 可得，然后由图及勾股定理可得答案. 【详解】（1）由四边形是直角梯形，，， 可得，，从而是等边三角形， ，BD平分.∵E为的中点，，， 又，，平面，平面 平面，平面，所以平面平面. （2）（I）在平面内作于，连接，由（1）有平面， 又平面，∴平面平面. 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得，，，为的中点， .又， 所以三棱锥P-BDC的体积为； （II）（传统方法）由条件可知，， 且三角形为，的等腰锐角三角形， 所以点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心， 所以点N必在侧面PCD的内部. 由（I）知三棱锥的体积为，， 由体积转化可得，， 在直角中，由勾股定理可得， E为PC的中点， 所以点到直线PC的距离 5．（24-25高二下·四川内江·开学考试）在三棱锥中， (1)若是的中点，是的中点，，求证：平面； (2)若，，， ①当时，求到平面的距离； ②若，，，的面积分别为，，，，类比勾股定理，写出一个关于，，，的正确等式（无需证明）. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行、求点面距离、平面与空间中的类比 【分析】（1）通过构造辅助线，结合中位线性质，证明面面平行，从而证明平面. （2）①运用等体积法计算即可；②类比平面勾股定理，得出结论即可. 【详解】（1） 取的中点，连接. 在中，因为是的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，可得. 又因为平面ABC，平面， 根据直线与平面平行的判定定理，所以平面. 因为，即，且是中点（是中点）， 所以在中，可得， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边），可知. 又因为平面ABC，平面， 根据直线与平面平行的判定定理，所以平面. 因为平面，平面，， 且平面，平面，根据平面与平面平行的判定定理， 可得平面平面. 又因为平面，根据两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面， 所以平面. （2）①已知， 在中，，将 其代入面积公式可得：. 在三棱锥中，高， 将其代入体积公式可得：. ，，，且， 则根据勾股定理可求得. 则为等边三角形. 面积. 根据等体积法知道：，设到平面的距离， 代入求知，得到，即， 解得. ②类比平面勾股定理，得出结论.下面计算证明： 设，则， 而，，， 故 ， 故. 6．（2025高一下·全国·专题练习）如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，理由见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可； （2）结合条件及线面垂直的判定定理，可得平面，进而证得平面. 【详解】（1）分别为中点，. 又平面，平面，直线平面. （2）直线平面，理由如下： 选①，，在中，，，则， 又，，则， 又，，平面， 平面，， 又，，平面， 平面，又分别为的中点， ，则平面. 选②，为四面体外接球的直径， 则，，又，， 平面，平面， 分别为AC，AD的中点， ，则平面. 选③，平面，平面，， 又，，平面，平面， 分别为的中点，，则平面. 7．（24-25高三下·浙江·开学考试）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且的中点分别为. (1)证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值； (2)设截面与平面的交线为，确定的位置并说明理由. 【答案】(1)证明见解析， (2)答案见解析 【知识点】证明面面平行 【分析】（1）先用线面平行证明面面平行，然后利用线面垂直作出与平面所成的角,在直角三角形中求出该角正弦值，最后利用面面平面，得出该正弦值即为所求； （2）通过作图得出截面与平面的交线，然后利用平行确定共面，最后得证. 【详解】（1）证明：因为是中点，是中点，所以，又，所以 又平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面，平面 所以平面平面 ； 因为平面,平面， 所以平面，则就是与平面所成的角， 又平面平面，所以就是直线与平面所成角. 因为在直角梯形中，，所以 在中，， 所以 , 即直线与平面所成角的正弦值为. （2） 延长交于点连接，延长与交于点， 因为由分别为中点，所以，所以， 所以是中点，取中点，则就是所求的直线 理由如下：由以上作图过程可知，是中点，是中点， 所以,即，又 所以，所以四点共面， 所以平面，又平面 所以平面平面，所以就是所求的直线 题型05定义法求线面角 1．（24-25高二上·北京·期中）在正三棱锥中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【知识点】求线面角 【分析】由题意画出图形，取底面三角形的中心，可得直线PA与平面ABC所成角，利用解三角形即得. 【详解】如图， 取底面正三角形的中心O，连接，则底面ABC， 连接并延长，交于D，则为直线与平面所成角， 可得，则， 在中，有，即. ∴直线与平面所成角的大小为60°. 故选：C. 2．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【知识点】求线面角、圆台的结构特征辨析、面面垂直证线面垂直 【分析】由圆中直径所对圆周角为直角以及可得下底面各个线段长，根据等腰梯形，求得圆台的体高，利用线面角的定义以及直角三角形的性质，可得答案. 【详解】在下底面内过点作，垂足为，连接，如下图： 在圆内，易知，由，且， 则，，可得， 在中，， 在等腰梯形中，由，，，则， 在中，， 在圆台内易知平面平面，由图可知平面平面， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 在中，. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】借助正方体的性质，根据线面角的定义作出所求的角，然后在直角三角形中求解余弦值即可. 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即与平面所成角，连接， 由正方体的性质可知平面，故是与平面所成角， 设正方体的棱长为2， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 4．（24-25高三上·陕西西安·期末）在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】利用线面垂直，构造线面角，再根据几何关系，即可求解. 【详解】如图，连接．平面，所以直线与平面所成的角为． 设，易得， ， 所以． 故答案为： 5．（24-25高二上·上海闵行·期末）在如图所示的圆柱中，是底面圆的直径，是圆柱的母线，且，点是底面圆周上的一点，且，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 【答案】/ 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】根据线面垂直可得为直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】由于点是底面圆周上的一点，故, 又平面，平面，故平面， 故平面，故为直线与平面所成的角， 由于，，故, 故, 故答案为：. 题型06等体积法求线面角 1．（2024·江西新余·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点均位于一个半径为的球的球面上，，，，平面经过点，则当的体积取最大值时，直线与平面所成角的正弦值为： . 【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用球的性质和空间垂直关系，即可利用距离与斜线段之比为线面角的正弦值，进行求解即可. 【详解】由条件：在一个圆周上运动，由平面与平面固定，所以到平面的距离为定值，由，要使得最大，只需要最大，      由经过球心，所以的外接圆就是球的大圆，半径为， 由于，所以当时，最大，此时到的距离为： ，即最大面积为; 取为中点，连接，由于，所以由勾股定理可知： ，即为的外心，由球的性质可知：平面， 再取为中点，因为，所以，且经过点， 因为平面，所以平面平面， 在平面内，过作，因为平面平面， 所以平面，即， 则△∽△，，， 又，所以，可算得， 连， ，故：， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高二上·陕西安康·期末）如图，三棱柱中，是边长为的正三角形，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】求线面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算、证明面面垂直 【分析】（1）取中点，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）由（1）中信息，利用等体积法求得点到平面的距离，再求出即可求出线面角的正弦. 【详解】（1）三棱柱中，取中点，连接， 由是边长为的正三角形，得， 由，得，而， 则，即，而面， 因此面，又平面，所以平面平面. （2）连接，则是平行四边形对角线的中点， 又平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，由余弦定理得， ，， ，由，得， 则，由，得， 又，于是， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在四棱锥中，底面四边形是正方形，，平面平面. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明异面直线垂直、求线面角 【分析】（1）根据面面垂直的性质，可得平面，进而可证再结合正方形的性质，有，由此可证平面，通过线面垂直即可证； （2）先通过证线面垂直求得点到平面的距离为，在通过线面平行得到点到平面的距离，利用勾股定理确定，即可求得直线与平面所成角的正弦值，由此即可求解. 【详解】（1）连接交于点， 平面平面，平面平面， ，平面， 平面， 又平面，， 四边形是正方形，， ，平面，平面， 平面，平面， . （2） 取中点，连接，不妨设. 是正方形，所以， 由（1）知平面，平面， ， 平面，平面，， 平面，又平面，于是， ，是中点，， ，平面，平面， 平面， 在中，，所以， 在中，，所以， 点到平面的距离为. ，平面，平面， 平面， 点到平面的距离. 设直线与平面所成角为，于是， 又， 直线与平面所成角的大小为. 4．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）已知四边形是边长为2的正方形，是正三角形，平面平面，为中点． (1)证明：平面； (2)求O到平面PCD的距离； (3)求OD与平面PCD所成角θ的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【知识点】面面垂直证线面垂直、锥体体积的有关计算、求线面角、求点面距离 【分析】（1）根据题意结合面面垂直的性质分析证明； （2）根据题意利用等体积法求点到面的距离； （3）根据（2）中结果，结合线面夹角的定义分析求解. 【详解】（1）因为是正三角形，为中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由题意可知：， 由（1）可知：平面，平面，则， 可知， 设O到平面PCD的距离为， 因为，即，解得， 所以O到平面PCD的距离为. （3）由（2）可知：O到平面PCD的距离为， 所以OD与平面PCD所成角θ的正弦值为. 5．（24-25高三上·山东济宁·期中）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面平面.    (1)求证：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、求线面角、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）利用面面垂直的性质定量，得到平面，从而有，再结合条件及线面垂直的判定定理，得到平面，利用线面垂直的性质定理，即可证明结果； （2）法一：利用题设条件，利用等体积法，直接求出到平面的距离为，再利用线面角的定义，即可求解；【详解】（1）由题意知平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）法一：取中点为，连结、，因为，点是中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 则，则，，，所以是等腰三角形， 则，又. 设到平面的距离为， 则由得，，解得， 所以直线与平面所成的角的正弦值为， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 题型07定义法，三垂线法求二面角 1．（24-25高二上·北京西城·期末）正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线平行 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，得到即为侧面与底面所成角，求出各边长，得到. 【详解】连接相交于点，取的中点，连接，，， 则⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，⊥，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为侧面与底面所成角， 正四棱锥的所有棱长均为2，故， 由勾股定理得， 由， 故. 故选：D 2．（24-25高三上·山西运城·期末）如图，在中，O是BC的中点，，.将沿AO折起，使B点移至图中点位置.    (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）在平面内，作于点D，判断当D与O重合时，三棱锥的体积最大，过O点作于点H，连AH，说明即为二面角的平面角，然后解三角形即可得到结果. 【详解】（1）且O是BC中点， 即， 又，平面，平面， 平面； （2）如图：    在平面内，作于点D，则 由（1）可知， 又，OA，平面OAC， 平面OAC，即是三棱锥的高. 又， 所以当D与O重合时，三棱锥的体积最大， 过O点作于点H，连. 由（1）知平面，又平面， ，，AO，平面AOH， 平面AOH，且平面AOH， ，即为二面角的平面角. 中， ，， 故二面角的余弦值为. 3．（2024·上海普陀·一模）图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. (1)求证：； (2)记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析，理由见解析，， 【知识点】证明线面平行、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）通过条件证明面，进而证明面，即可求解； （2）以为临边，构造矩形,通过中位线可说明点即为点，再通过二面角平面角的概念求得为二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）因为，， ， 所以，所以，即， 图2中，， 则,所以，又， 又为平面内两条相交直线， 所以面，又在面， 所以又， 为平面内两条相交直线， 所以面，又在面内， 所以. （2） 以为临边，构造矩形,连接，易知过点， 因为分别为的中点， 所以，又在平面内，在平面外，所以平面, 即点就是点， 由（1）知面，在面内， 所以，又， 是平面内两条相交直线， 所以面，在面内， 所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为, 所以， 所以二面角的大小为. 4．（22-23高二下·福建福州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明. （2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到是二面角的平面角，从而计算得到结果. 【详解】（1）连接，交于点， 由底面是正方形，可知为的中点， 又是的中点，是的中位线， ， 又平面，平面， 平面. （2）设，， 底面，底面，， 即是直角三角形，， 又E是的中点，， 同理可得，且，，平面， 平面，， 在直角中，， ，， 又，二面角的平面角为， . 二面角的平面角的余弦值为. 5．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，. (1)若为的中点，证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，得到线面平行； （2）证明线面垂直，得到线线垂直，找到即为二面角的平面角，并得到其余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 又底面是一个直角梯形，，， 所以，， 故，，四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角， 又，所以， 故二面角的余弦值为. 题型08面积投影法求二面角 1．（23-24高二·全国·课堂例题）四边形是边长为的正方形，和都与平面垂直，在平面同侧，且，则平面与平面所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【知识点】求二面角 【分析】设平面与平面所成角的大小为，根据和都与平面垂直，则在平面上的射影为，分别求得和由求解. 【详解】设平面与平面所成角的大小为， 在平面上的射影为，易得. 如图所示：    易知， ， 故答案为： 2．（23-24高二·全国·课堂例题）已知正方体的棱长为1，求二面角的余弦值． 【答案】 【知识点】求二面角 【详解】为在平面内的射影，利用面积射影法可求出结果. 【分析】设二面角的平面角为， 因为平面，所以为在平面内的射影， 因为，所以， 又， 所以， 所以二面角的余弦值为. 3．（2024高三·全国·专题练习）如图在正方体中，是所在棱上的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值 (2)补全截面 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】判断正方体的截面形状、求二面角 【分析】（1）利用投影面积法可得，可设正方体的棱长为2，计算即可求解； （2）利用正方体截面的性质即可得结果. 【详解】（1）由投影面积法可得， 因为是所在棱上的中点，设正方体的棱长为2， 则， ，，， 所以在中，边上的高为， 所以， 所以. （2）如图，设所在直线与所在直线交于点，与所在直线交于点， 连接交于点，连接交于点，连接， 则五边形是平面截正方体所得的截面. 题型09等体积法求点面距离 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用线面垂直的性质得到，又，由线面垂直的判定定理，可得面，从而可得，再分别求出，，利用等体法，即可求解. 【详解】因为平面，又面，则， 又，，面，所以面， 又面，所以，又，是边长为的正方形， 所以，则，， 设点到平面的距离为， 由，得到，解得， 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在以P为顶点，为母线长的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，点C在圆O所在平面内，且AC是圆O的切线，BC交圆O于点D，连接PD，OD． (1)求证：平面PAC； (2)若，求点O到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求点面距离 【分析】（1）由题意可知，，从而可得平面，从而由勾股定理得由线面垂直的判定定理可得到证明； （2）由条件计算和，然后利用即可得到结果. 【详解】（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以. 又在圆锥中，垂直底面圆，底面圆， 所以，而，平面，所以平面，平面，从而. 在三角形中，，所以， 又平面.所以平面. （2）因为，，， 所以在直角中，. 又，则是等腰三角形， 所以，. 又，所以 设点到平面的距离为，由， 即，所以. 3．（24-25高二上·云南保山·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，点是的中点，且，． (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求点面距离、线面垂直证明线线垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由平面，得，再结合利用线面垂直的判定定理证得平面，从而可得； （2）解法1：由已知得是等边三角形，则，由得，从而可得，再由平面，可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；解法2：取的中点F，连接利用等体积法由可求得结果. 【详解】（1）证明：∵平面，且平面ABCD， ∴． 又，平面， ∴平面． 平面，∴． （2）∵ ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∴即 又∵平面，平面， ， 从而两两垂直． 在中， ∴ 在，． 法二：（等体积法）∵平面，平面，∴, ∴， ∵点是的中点，∴， 取的中点F，连接则 ∴ 在中，边上的高 ∴ 取的中点，连接，由（1）知是边长为2的等边三角形， 则， ∵平面，平面，∴平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面， ∵点是的中点，∴到平面的距离为， 又记点到平面的距离为， 则由即 得． 4．（24-25高三上·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）要证明线面平行，通常可以通过构造线线平行，利用线面平行的判定定理来证明.（2）求点到平面的距离，可以利用等体积法来求解. 【详解】（1）    取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，所以在中， 根据三角形中位线定理，，且. 已知底面是直角梯形，，，，所以，且. 由此可得，且，所以四边形是平行四边形. 那么. 又因为平面，平面， 根据线面平行的判定定理，所以平面. （2）因为平面，平面,所以. 在直角梯形中，，， 根据勾股定理可得. 又，，， 所以，则. 因为平面，平面，所以，又，所以平面. 因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半. 计算，，则. 设点到平面的距离为，，. 由，即，解得. 所以点到平面的距离. 5．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面ABCD，，四边形ABCD中，，，，． (1)证明：四面体BCFD为鳖臑； (2)求点C到平面BDF的距离； (3)求几何体ABCDEF的表面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【知识点】求组合多面体的表面积、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）因为四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑，所以结合线面垂直的性质和勾股定理证明垂直； （2）根据等积法求点C到平面的距离； （3）因为几何体的表面积根据三角形和梯形面积公式即可求出表面积. 【详解】（1）取的中点，连接， 平面，，平面， 又平面，，为直角三角形. 四边形中，，，，， ，四边形为平行四边形，， ，， ，， 在中，，，，为直角三角形， 在中，，，，为直角三角形， 四面体为鳖臑. （2）设点C到平面的距离为， ，即，解得. （3）取的中点，连接， 根据题意可知，四边形为平行四边形， ， ，易得为直角三角形， ， 又因为的边上的高为，， 几何体的表面积 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$